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第二章《实数的初步认识》单元自测卷
一．单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法中，错误的是（ ）
A．的算术平方根是 B．的平方根是
C．的立方根是 D．的立方根等于
3．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为（ ）
A． B． C． D．
4．观察表中数据信息，下列结论正确的是（ ）
12 …
144 …
A． B．
C． D．
5．要画一个面积为50的长方形，使它的长与宽之比为，则该长方形的宽为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，将面积为10的正方形放在数轴上，以表示实数1的点A为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．根据表中的信息判断，下列判断中正确的是（ ）
①
②的算术平方根比大
③只有个正整数满足
④若一个正方形的边长为，那么这个正方形的面积是
A．①④ B．②③ C．③④ D．②③④
9．如图，四边形，，均为正方形，且正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的边长可以是（）
A． B． C． D．
10．某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能．
①：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；
②：将屏幕显示的数变成它的倒数；
③：将屏幕显示的数变成它的平方．
输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第1步到第3步循环按键．例如：当输入5时，第1步操作的结果是25，第2步操作的结果是，第3步操作的结果是，…下列说法：
①若开始输入的数据为2，那么第5步操作之后，显示的结果是4；
②若开始输入的数据为，那么第2026步操作之后，显示的结果是；
③若开始输入一个数据，经过若干步操作后，得到的结果为16，则有6种不同的值；正确的个数是（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．已知是的整数部分，是的小数部分，则的值是______．
12．如图，在数轴上，与之间的整数的个数是________．
13．将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．已知玻璃杯内部的底面半径为，则正方体的棱长为_________．（取，结果取整数）
14．若规定用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，按此规定：____．
15．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则的平方根为_________．
16．将、、、、……按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，若在，则的值为________．
三．解答题（本题共8小题，第17-第22题每小题8分，第23-第24题每小题12分，共72分）
17．计算与解方程
(1)； (2)．
18．阅读下列材料：
∵ ，即：；
∴ 的整数部分为1，小数部分为．
请根据材料提示，进行解答：
(1)的整数部分是________，小数部分是_________；
(2)若，其中：a是整数，．求的值．
19．已知的平方根是，的立方根是，与互为相反数．
(1)求，，的值；
(2)求的平方根．
20．为感谢消防英雄们对我们家园的守护，某校七年级学生制作了面积为的正方形感恩明信片．
(1)该明信片的边长为__________；
(2)制作好明信片后同学们准备用如图所示的信封寄给消防队．已知信封的长、宽之比为，面积为，请问能否在不折叠的情况下将明信片放入此信封？并说明理由．
21．已知，，，，…，．定义：，，，…．
(1)由上可知：___________，___________．
(2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想．
22．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求24389的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？
下面是小超的探究过程，请补充完整：
(1)已知是一个整数的立方，求；
①由，，可以确定是________位数；
②由24389的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是________；
③如果划去24389后面的三位389得到数24，而，，可以确定的十位上的数字是________；由此求得________
(2)已知592704也是一个整数的立方，用类似的方法可以求的值．
23．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完全数组”．这些算术平方根称为“完全子集”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数是“完全数组”，而，，称为“完全子集”．
(1)，，这三个数是“完全数组”吗？请说明理由．
(2)若，，这三个数是“完全数组”，且“完全子集”中有一个数为，求的值．
24．数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果：
(1)如图1的第1个图形，当时，拼成的大正方形的边长为__________；
如图2的第2个图形，当时，拼成的大正方形的边长为__________；
如图3的第3个图形，当时，拼成的大正方形的边长为__________；
（2）小明同学制作了一张边长为的正方形贺卡想给朋友，现有一个长方形信封如图所示．长、宽之比为，面积为．能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由．
(3)设的整数部分是，的小数部分是，的小数部分是，求的值．
参考答案
一．单项选择题
1．B
解：，
，即．
2．C
解：对于选项A：，故 A正确；
对于选项B：∵，而的平方根为，
∴的平方根是，故B正确；
对于选项C：，故C错误；
对于选项D：，故D正确．
3．D
解：∵和是一个正数的两个平方根，
∴与互为相反数，
∴，
解得：，
∴其中一个平方根为，
∴这个正数为．
4．B
解：由表格可知：，，，，
，，，
A、C、D选项错误；
，
，故B选项正确．
5．D
解：设长方形的长为，宽为，，
由题意得，，
整理得，，
解得，
∴，，
即该长方形的宽为．
6．A
解：正方形的面积为10，
正方形的边长为，
点E表示的数为．
7．D
解：，
，
，
．
8．C
解： ，
，即，故①错误；
，，
，故②错误；
，
，即，
正整数有，，，，共个，故③正确；
由表格得，故边长为的正方形面积是，④正确；
9．D
解：正方形的面积为，正方形的面积为，
正方形的边长，正方形的边长，
设正方形的边长为，由图可知，点在线段上，点在线段上，
，即，
，，，
选项均不符合题意，
，
，
正方形的边长可以是，选项 D 符合题意．
10．B
解：设当前数为：
第1步（平方）：，
第2步（倒数）：，
第3步（算术平方根）：，
第4步（平方）：，
第5步（倒数）：，
第6步(算术平方根)：，
即每6步操作完成一次完整循环，循环周期；
输入，第5步结果是，说法①正确；
周期，计算2026的余数：，余数为4，即第2026步等价于第4步，第4步结果为，不是，说法②错误；
设最终某一步得到16，分6种步数位置逆向：
若16是第1步结果：；
若16是第2步结果：；
若16是第3步结果：；
若16是第4步结果：（重复值）；
若16是第5步结果：（重复值）；
若16是第6步结果：，
汇总所有不重复的：，仅4个不同值，不是6个，说法③错误，
综上，正确的个数是1．
二．填空题
11.
解：∵
∴，
∴．
∵
∴，
∴．
∴
．
故答案为：．
12．4
解：，
，
，
找出与之间的整数：，
整数一共有个．
13．9
解：设正方体的棱长为，
由题意得，，
将代入，
可得：，
，
，
正方体的棱长为．
14．
解：，，
，
不等式两边同时减，得
，
根据表示实数的整数部分的定义，可得．
15．
解：设三阶幻方的幻和为（即每行、每列、每条对角线的数字之和均为），
设三阶幻方的9个数字分别为：
y
0 4 x
a b
根据“每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，和均为”，可得：
，
解①得，
解②得，则，
再代入①得，
∴，
∴的平方根为．
16．
解：由图可知，第排有个数，第排有个数，，第排有个数
前排共有个数
所以第排最大的被开方数为
因为，且
所以位于第排，即
因为为偶数，由图可知偶数排从左向右被开方数递减第排第个数为即
所以
所以．
三．解答题
17．（1）解：原式
；
（2）解：
或．
18．（1）解：∵，即；
∴的整数部分是3，小数部分是；
（2）解：∵，即；
∴
故的整数部分是15，小数部分是；
故；
故．
19．（1）解：∵的平方根是，
∴，
∴，
∵的立方根是，
∴，解得，
∵与互为相反数，
∴，
综上，，，；
（2）解：由（）得，，，，
∴，
∵的平方根为，
∴的平方根为．
20．（1）解：∵正方形感恩明信片的面积为，
∴该明信片的边长为．
(2)
解：能将明信片不折叠就放入此信封，理由如下：
∵信封的长、宽之比为，
∴设信封的长是，则宽是，
∵信封的面积是，
∴，
解得：，或（不合题意，舍去），
∴，，
∴信封的长是cm，宽是cm．
∵，
∴能将明信片不折叠就放入此信封．
21．（1）解：，
，
，
故答案为：，．
(2)；
证明如下：
．
22．（1） ，
，
是两位数；
的个位数字是，中只有数字的立方的个位数字是，
的个位数字是；
，
的十位数字是，
；
（2），
，
是两位数，
的个位数字是，中只有数字的立方的个位数字是，
的个位数字是，划去后三位，得到数，
，
十位数的数是，
．
23．(1)解：是，理由如下：
，
，
，
∵其结果、、都为整数，
，，这三个数是“完全数组”
（2）解：∵“完全子集”中有一个数为，
∴当，
解得，
当，
解得，
经检验，或时均符合题意，
综上，的值为或．
24．（1）解：当时，正方形的面积为，
拼成的大正方形的边长为；
当时，正方形的面积为，
拼成的大正方形的边长为；
当时，正方形的面积为，
拼成的大正方形的边长为；
（2）解：能将这张贺卡不折叠就放入此信封；理由如下：
长、宽之比为，
设长方形信封的长为，宽为，
由题意得， 解得（负值已舍去），
长方形信封的长为，宽为，
，
，
，，
正方形贺卡的边长是，
信封的宽与长均大于正方形贺卡的边长，
能将这张贺卡不折叠就放入此信封；
（3）解：，
，即，
的整数部分是，即；
，
，即，
的整数部分是，小数部分是，即；
，
，即，
的整数部分是，小数部分是，即；
．

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