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第三章《圆》单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，下列各角是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
4．如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是的直径，弦垂足为点，连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，以为圆心，为半径画分别交，于点，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，是由众多边长为2的正三角形组成的网格，B、C、D均为顶点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数（，）的图象上，分别以点A，1为半径作圆，当与y轴相切，连接．若，则k的值为（　　）
A．2 B．3 C．3 D．4
9．如图，内接于，是的直径，与相交于点M，且，若的半径为， ，则的值为（ ）
A．12 B．20 C．24 D．28
10．如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点在过，，三点的圆弧上运动，当长取最小值时，与的长分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角度数是______．
12．如图，在中，是两条直径，弦，若所对圆心角的度数是，则______．
13．如图，是的直径，弦，若，则__________．
14．如图，在矩形中，以B为圆心，为半径画弧交于点C，连接，，的面积为1，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留π和根号）
15．为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为的三角尺和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若三角尺与铁环相切，且测得，则铁环的半径为________．
16．如图，在中，，，，点D是半径为4的上一动点，点M是的中点，则的取值范围是________．
三、解答题（共9小题，共72分）
17．（4分）如图，内接于，点O在上，平分交于点D，连接，延长，相交于点E，求证：．
18．（4分）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别为各边的中点．求证：E，F，G，H四点在同一个圆上．
19．（6分）如图，的半径为4，正六边形内接于，求的面积．
20．（8分）如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，交的延长线于点，，垂足为．
(1)求证：平分．
(2)若，，求的长．
21．（8分）如图，内接于，、是的高，H是的交点，的延长线交于G．
(1)试说明：．
(2)若，，求的面积．
22．如图，是的外接圆，为的直径，的平分线交于点F，交于点D，连接，过点D作，交的延长线于点E．
(1)若，求的度数；
(2)求证：直线是的切线；
(3)是否存在常数m，n，使得等式成立？若存在，请直接写出一个m的值和一个n的值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
23．（10分）如图，为的直径，，分别切于点B，D，交的延长线于点E，的延长线交于点G，于点F．若，．
(1)求证：；
(2)求的半径长；
24．（10分）仅用无刻度的直尺作图，是一种考查灵活运用图形性质和判定的绘图方式，按要求完成下面仅用无刻度的直尺作图的题目：
(1)如图①，在内，作任意两条直径、，顺次连接、、、，则画出了的一个内接矩形，请说明理由；
(2)如图②，是的直径，是弦，且，画出的内接正方形．（保留画图痕迹，不写作法）
25．（10分）如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，射线交于、两点．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：平分；
(3)若的直径是，，则点与的内切圆上各点之间距离的最大值为______ ．
参考答案
一、选择题
1．C
解：A、不是圆心角，不符合题意；
B、不是圆心角，不符合题意；
C、是圆心角，符合题意；
D、不是圆心角，不符合题意．
2．B
解：设与交于点E，如图所示：
∵，，
∴，
∵，为半径，
∴，
∴，
∴．
3．B
解：正六边形内接于，的半径为3，
，，
是等边三角形，
．
4．B
解：如图所示，连接，在优弧上取点，连接，
、是切线，
，
，
，
又∵圆内接四边形的对角互补，
．
5．A
解：，
，
，
，，
，
．
阴影部分的面积为．
，，
，
，
，
，
阴影部分的面积为．
6．B
解：如图，连接，
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的度数为．
故选：B．
7．A
解：如图，由题意可得：为所在圆的圆心，为格点，取格点，连接，过作于，
∵由题意可得：，，，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
由等边三角形的性质可得：，，而，
∴，，
∴，
∴；
∴的长；
故选：A
8．D
解：过A点作轴于点C，过B点作轴于点D，相交于E点，
∵圆的半径为1，与y轴相切，
∴A点横坐标为1，B点纵坐标为1，
∵点A，B在反比例函数，的图象上，
∴A点纵坐标为k，B点横坐标为k，
∴，，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴或，
∵，
∴．
故选：D．
9．C
解：过O作于F，连接，，，
∴，
∵的半径为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵直径，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∴
．
10．D
解：在矩形 中，，，
设过三点的圆的圆心为，半径为，连接交于点，连接，连接，交圆M于点，
则点在的垂直平分线上
∴
在中，
在 中，，即
解得，
过作交延长线于，
∵矩形中，
∴，
∴
∴四边形是矩形，
则，
∴
在中，
∵
∴当 共线时，取最小值，此时点在点的位置，
∴
在中，，，
弧的长即为 ．
二、填空题
11．
解：连接，分别作的垂直平分线，即可得到圆心，

由图可得：，，
∴，
故，
即所对的圆心角为．
故答案为：
12．
解：如图所示，连接，
∵所对圆心角的度数是
∴，
∵，
∵，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
解：∵是的直径，
∴,
∵，
∴，
∵，
∴．
14．
解：∵四边形是矩形，
．，
，的面积为1，
，
，
是等腰直角三角形，
，
∴，
，
，
∴图中阴影部分的面积．
15．
解：过作于，连接、，如图，
∵为的切线，为的切线，
∴为的平分线，即，
又∵，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，即铁环的半径为．
16．
解：取的中点，连接，取的中点，连接，，
∴是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∵是的中点，是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵点在半径为4的上，
∴，
∴，即点在以为圆心，2为半径的圆上运动，
设点到的距离为，
∵点在以为圆心，2为半径的圆上，且圆心到的距离为4 ，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
三、解答题
17．证明：∵是直径，
∴，即，
∴，．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
18．证明：∵四边形是菱形，
∴，即，．
∵是的中点，
∴．
同理可得：，，．
∴．
∴，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上，
即，，，四点在同一个圆上．
19．解：正六边形内接于，
，
，
是等边三角形，
，
如图，过O作的垂线，
则，，
，
．
20．(1)证明：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平分．
（2）∵，，
∴
又∵，，
∴，
∴，
∴的长．
21．(1)解：连接．
是的高，
．
．
，
，
，
在与中，
，
．
（2）解：连接．
，
．
，
为等边三角形，
．
，
，
，
．
22．（1）解：∵是的直径，
∴．
∵在中，，
∴，
∴．
(2)证明：连接，，
∵是的平分线，
由（1）知，，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
∵是的半径，
∴直线是的切线．
(3)存在，．
证明：连接，过点A作于点H，过点B作于点G，设，
则，
∴．
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
由（2）知，，
∴，
∴，
由（2）知，
∵，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
即，
∴成立．
23．（1）证明：∵，分别切于点，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①连接，
∵，分别切于点，，
∴，，，
∴，，
在中，，
设的半径为，则，，
在中，，
∴，
解得，
∴的半径长为；
24．（1）∵是直径，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图所示，连接，并延长交于点，连接，交于点，连接并延长交于，，连接，，，，则四边形即为所求．
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，即在的垂直平分线上，
∵，
∴，
∴，即点在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，，经过的中点，
∴是的直径，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形．
25．(1)证明：如图中，连接．
是切线，
，
，
在和中，
，
，
，
，
∵为半径，
是的切线．
(2)证明：如图中，设．
，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
平分．
（3）解：如图中，设交于点．
是的切线，
平分，
平分，
点是的内心，设的内切圆交于，
的直径为，
，
垂直平分，
，
，
，
，
点到上各点的最大距离为，
最大距离．

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