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第四章《平面直角坐标系》章节测试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．小丽同学是某校2024年入学的，她在5班，学号是23，如果用6位数字给她编学籍号，下面比较实用的是（ ）
A．202405 B．240623 C．240523 D．230524
2．若点M的坐标为，则点M在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若是y轴上一点，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
4．如图是中国象棋棋局的一部分，如果“帅”的位置用表示，“相”的位置用表示，那么“卒”的位置可表示为（ ）
A． B． C． D．
5．已知点在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知线段，平移线段后的对应线段为，若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是长方形，点的坐标分别为，，点是的中点，点在边上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点，按照此规律，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9．如图是某游乐城的平面示意图，若用表示入口处的位置，用表示球幕电影的位置，那么坐标原点表示的位置是_______．
10．若点在第二象限，且它到轴的距离是5，到轴的距离是2，则点的坐标是________．
11．点关于y轴对称的点的坐标是______．
12．已知点坐标为，点的坐标为，若轴，则___________．
13．如图，在边长为的正方形网格中建立平面直角坐标系，为坐标原点，已知，，则三角形的面积为__________．
14．用几个大小形状完全一样的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知，则点的坐标为____________．
15．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为，将三角形沿x轴正方向平移至三角形，若，则四边形的面积为________．
16．在平面直角坐标系中，对于点，若，均为整数，则称点为“整点”，特别地，当的值为整数时，则称“整点”为“特整点”，已知在第二象限，且点为“特整点”，则的值为________．
17．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动，其行走路线如图所示，第1次移动到点，第2次移动到点……第次移动到点，则的面积是________．
18．如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴负半轴上，且，点M坐标为，N点为线段上一动点，P为线段上一动点，则的最小值为______．
三、解答题（共9小题，共64分）
19．（6分）已知点，解答下列各题：
(1)若点P在x轴上，求出点P的坐标；
(2)若点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标；
(3)若点P在第二象限，且它到x轴，y轴的距离相等，求a的值．
20．（5分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，．
(1)将向轴负半轴方向平移个单位得到，画出图形并直接写出点的坐标；
(2)以原点为旋转中心，将顺时针旋转后得到，画出图形并直接写出点的坐标．
21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，长方形的两边分别在轴和轴的正半轴上，，，现有两动点，分别从，同时出发，在线段上沿方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，运动到点停止．在线段上沿方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，运动到点停止，设运动时间为秒．
(1)点的坐标为________，点的坐标为________，点的坐标为________；
(2)求线段与线段的长度（用含的代数式表示）；
(3)当的面积与面积相等时，求的值．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，若，，满足关系式：
(1)__________，__________，__________；
(2)求四边形的面积；
(3)若存在点，使的面积为四边形面积的2倍，请直接写出点的坐标
23．（6分）在平面直角坐标系中，定义：对于点，若点的坐标为，为常数，则把点叫作点的“阶变化点”．例如，点的“阶变化点”为．
(1)点的坐标为．
①点的“阶变化点”的坐标为________；
②若点的阶变化点到坐标轴距离相等，求的值．
(2)已知点，，若对于线段上的任意点，都存在，使点的“阶变化点”恰好落在线段上，且点的坐标为，点的坐标为，求的取值范围．
24．（8分）如图①，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，点A，B分别在原点两侧，且A，B两点间的距离等于8个单位长度．
(1)m的值为_________；
(2)在x轴上是否存在点M，使的面积的面积，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图②，把线段向上平移2个单位得到线段，连接，，交y轴于点G，过点C作于点D，将长方形和长方形分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右平移，同时，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，当长方形和长方形重叠面积为1时，求此时点M的坐标．
25．（7分）在平面直角坐标系中，对于、两点给出如下定义：若点到轴、轴的距离中的最大值等于点到轴、轴的距离中的最大值，则称、两点为“等距点”．下图中的、两点即为“等距点”．
(1)已知点的坐标为．
①在点，，中，为点的“等距点”的是点 ；
②若点的坐标为，且、两点为“等距点”，则点的坐标为 ；
(2)若，两点为“等距点”，求的值．
26．（8分）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，已知点，若点满足，则把点称作的“五好点”；且把数值称作两点的“唯一值”．例如：点的“五好点”为，“唯一值”为．根据该约定，试解决下列问题．
(1)若点是两点的“五好点”，则_________，_________，、两点的“唯一值”_________（将正确的答案填写在相应的横线上）；
(2)已知点，点是、两点的“五好点”，此时、两点的“唯一值”．若“五好点”点在第二象限，试求的取值范围；
(3)已知点，且点是两点的“五好点”，先将点向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点，若直线与坐标系中其中一条坐标轴平行，两点的“唯一值”，求点的坐标．
27．（10分）阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路．
【问题解决】
(1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________；
【问题探究】
(2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长；
【拓展延伸】
(3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标．
参考答案
一、选择题
1．C
解：∵小丽2024年入学，6位编码下取入学年份后两位为24；小丽在5班，占2位编码为05；小丽学号是23，占2位编码为23；
∴按规则组合得到学籍号为240523．
2．B
解：∵点M的坐标为，
∴点M的横坐标为负，纵坐标为正，
∴点M在第二象限．
3．C
解：∵点在轴上，
∴，
解得．
4．D
解：如图，根据已知坐标建立平面直角坐标系，
则“卒”的位置可表示为．
5．D
解：∵点在第二象限，
∴
解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式组的解集为．
6．C
解：∵点的对应点为，
∴平移时横坐标减3，纵坐标加4.
∴点的对应点的横坐标为，纵坐标为，
即的坐标为.
7．C
解：由题意，轴，
∵点是的中点，
∴，
∵是腰长为5的等腰三角形，
∴①当时，则，
∴；
②当，点在点左侧时，作轴，则，
∴，
∴，
∴；
当，点在点右侧时，作轴，则，
∴，
∴，
∴；
综上点共有3个.
8．A
解：观察已知点坐标，
，，， ，
偶数项点 的坐标规律为 ．
，
令 ，
点 的横坐标为 ．
纵坐标为 ．
．
二、填空题
9．激光战车
解：如图所示：坐标原点表示的位置是激光战车．
10．
解：∵点在第二象限，
∴，，
∵点到轴的距离是，到轴的距离是，
∴，，
∵，，
∴，，
∴点的坐标是．
11．
解：∵关于轴对称的点的坐标满足横坐标互为相反数，纵坐标不变，且点的坐标为，
∴点关于轴对称的点的坐标是．
12．
解：点的坐标为，且轴，
，
，
故答案为：．
13．
解：如图，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两垂线交于点，
，，
点的坐标为，
，，
，
点到的距离为，点到的距离为，
，，
∴．
14．
解：设小长方形的长为x，宽为y，
依题意，得，
解得，
∴，，
∴点B的坐标为．
15．
解：点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
，
将三角形 沿 轴正方向平移至三角形 ，
点 的对应点为 ，点 的对应点为 ，点 的对应点为，
，，
设平移距离为 ，则 ，，，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，，且由图可知点 在点 左侧，
，
解得 ，
，，
点 的坐标为 ，
四边形 的高为 ，
，
四边形 是梯形，
∴．
16．6
解：点在第二象限，
，
解得：，
点为“整点”，
∴，均为整数，
为整数， 则的可能取值为，
根据“特整点”定义，需为整数，逐一验证： 当时，，，，不是整数，不符合；
当时，，，，不是整数，不符合；
当时，，，，不是整数，不符合；
当时，，，，是整数，符合；
当时，，，，不是整数，不符合；
故的值为．
17．
解：，，，，，，，，
，，，，（，1，2，…），
，
，即，
，
（）．
18．
解：如图，过点作于点，交于点 ，由垂线段最短知，此时最小，最小值为线段的长，连接，
点，点，点，
，，，
，
，且，
，
，
，解得，
的最小值为．
三、解答题
19．（1）解：∵点在轴上，
，
解得：，
则，
点的坐标为：；
（2）解：直线轴，
直线上所有点的纵坐标都相等，
，
解得：，
则，
即点的坐标为；
（3）解：点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，
，，，
即，
解得：
20．(1)如图，即为所求：
点的坐标为；
(2)如图，即为所求：
点的坐标为．
21．（1）解：∵长方形的两边分别在轴和轴的正半轴上，，，
∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；
（2）解：由题意得，，
∴，；
（3）解：∵长方形中，，
∴，，
∴，，
当的面积与面积相等时，
，
解得．
22．（1）解：∵，，，
且，
∴，，，
∴，，，
∴，，．
（2）解：由（1），得，
∴轴，，，
∴四边形为直角梯形，
∴．
（3）解：∵，，
，
，
当时，；
当时，；
∴点P的坐标为或．
23．（1）解：①，
∴点的“阶变化点”的坐标为；
②由题意得，点的阶变化点的坐标为，
点到坐标轴距离相等，
∴或，
∴或．
（2）解：∵点，
∴线段轴，
同理线段轴
由题意设点的坐标为，则点的坐标为，
点恰好落在线段上，且点的坐标为，点的坐标为，
，
，
，
即，
，
．
24．（1）解：点A，B分别在原点两侧，且A，B两点间的距离等于8个单位长度，
，，
，
解得，
故答案为：2；
（2）解：点M存在；
、，
，
的面积的面积，
，
当点M在x轴上时，设，
，
，
，
或，
答：存在点M，点M的坐标为或；
（3）解：设经过秒后长方形和长方形重叠面积为1，
由题意可知，秒后，点、、，
当长方形和长方形重叠部分在长方形左侧时，
高必为2，
底为，
，
，
点也运动秒，
∴1.5×1=1.5<2=AE
点在上，
；
当长方形和长方形重叠部分在长方形右侧时，
高必为2，
底为，
，
，
点也运动秒，
，
，
点在上，
，即，
综上所述，点M的坐标为：或．
答：点M的坐标为：或．
25．（1）解：①∵点到x、y轴的距离中最大值为3，点到x、y轴的距离中最大值为3，点到x、y轴的距离中最大值为3，点到x、y轴的距离中最大值为5，
∴与A点是“等距点”的点是，；
综上，为点的“等距点”的是点E，F；
②∵点到x、y轴的距离中最大值为3，且，
∵点的坐标为，且、两点为“等距点”，
∴，
解得或，
∴或，
∴点的坐标为或，
∵，、两点为“等距点”，
∴点的坐标为；
（2）解：∵，
∴当，两点为“等距点”时，则有：
①，且，
解得或1，且，
∴；
②，且，
解得或，且或，
∴；
综上，的值为1或2．
26．（1）解：∵点是两点的“五好点”，
∴，，
∴，，
解得，，
∴，
∴、两点的“唯一值”；
（2）解：∵点，点是、两点的“五好点”，
∴，
∵、两点的“唯一值”，
∴，
∴，
∴，
∵“五好点”在第二象限，
∴，
解得；
（3）解：∵点是两点的“五好点”，
∴，
∵先将点向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点，
∴，即，
∵两点的“唯一值”，
∴，
∴，
∵直线与坐标系中的一条坐标轴平行，，
∴分以下两种情况讨论：
当与轴平行时，，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
当与轴平行时，，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或．
27．（1）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：存在，理由如下：
①：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示：
∵，，
∴，，
由（1）同理可证，
∴，，
∴点的横坐标，点的纵坐标，
∴；
②：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示：
∵，，
∴，，
由（1）同理可证，
∴，，
∴点的横坐标，点的纵坐标，
∴；
③：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示：
设，
∵，，
∴，，，，
由（1）同理可证，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
综上，点的坐标为：，，．

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