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第一章《三角形》单元自测卷
一．单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．如图，工人师傅经常站在人字梯上安全地工作，这里面蕴含的数学道理是（ ）
A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短
C．三角形的稳定性 D．两点确定一条直线
3．如图，已知，点与点是对应点，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，中，，D是的中点，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C．平分 D．
5．到三角形三个顶点的距离相等的点是（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点
6．已知在三角形中，一条中线将三角形分成两个三角形，这两个三角形一定具备的性质是（ ）
A．全等 B．周长相等 C．面积相等 D．形状相同
7．如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，小明将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为，即，．测得，两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上，两点之间的距离．图中与全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，的面积为，平分，于点P，连接，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，，当长度最小时，的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．如图，，点，，，在同一条直线上，若，，则的长是________．
12．如图，公路与互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，两点间的距离为______________．
13．如图，在四边形中，对角线与相交于点，若平分，且，则与的位置关系是________．
14．如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，则的长为_____ ．
15．如图，在中，分别以点和点为圆心、以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，，作直线分别交，于点，，连接．若，，则的周长为________
16．如图，在中，，点是内一点，连接，，若，则的面积为______．
三、解答题（本题共8小题，第17-第22题每小题8分，第23-第24题每小题12分，共72分．）
17．如图，在和中，，连接，求证：．
18．如图，已知，，，用直尺和圆规在上找一点D，使．（不写作法，保留作图痕迹）
19．如图在方格纸中，的顶点都在方格纸的格点上．
(1)画出向上平移6格后的图形；
(2)画出的高；
(3)直接写出和的关系：_____．
20．已知：如图，在中，和的角平分线相交于点P，且，，垂足分别为E、F．求证：；
21．如图，在中，，D，E分别是，边的中点，连接，．求证：．
22．问题情境：如图1，在四边形中．，，是BC上一点，连接，，，．
问题探究：
(1)则是__________三角形；
(2)“智慧小组”的同学把题目进行改编：如图1，已知是等腰直角三角形．，，点，，在同一直线上，，，试探究，与之间的数量关系，并说明理由．
(3)“创新小组”在图1的基础上变为图2，已知点，，在直线上，，．若，，求的长．
23．某乡村规划山地休闲游园，如图，地块形如三角形的山地，中间有湖泊，三边划分功能区：边为绿地，长为4千米，边为临溪护栏，长为2千米，边为山间土路．在土路的中点处修建观景驿站，同时修建索道，连接地块顶点与驿站．
(1)直接写出山间土路边长的取值范围_________；
(2)在中，延长到点，使，连接，与全等吗？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，求索道长度的取值范围．
24．和都是等腰直角三角形，．
(1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由．
(2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
参考答案
一．单项选择题
1．D
解：A、，不满足三边关系，不能组成三角形．
B、，不满足三边关系，不能组成三角形．
C、，不满足三边关系，不能组成三角形．
D、，满足三边关系，能组成三角形．
2．C
解：人字梯与地面组成一个三角形．这样做所蕴含的数学原理是三角形的稳定性．
3．C
解：，点与点是对应点，
点与点是对应点，点与点是对应点，
，，，，，
选项A、B、D结论正确，选项C结论错误．
4．D
解：，
，故A正确；
，是的中点，
，平分，故B、C正确；
与的数量关系不确定，故D不正确，符合题意．
5．D
解：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，
到三角形三个顶点距离相等的点，是三边垂直平分线的交点．
6．C
解：如图
设是的边上的中线，
则；
设点A到的距离为h，则，，
∴，
即两个三角形面积相等．
7．C
解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
8．B
解：∵，，，
∴．
9．D
解：如图所示，延长交于点．
∵平分，
∴,
∵于点P，
∴,
∵,
∴,
∴，
∵与等底同高，
∴,
∵与等底同高，
∴,
∵，
∴．
10．C
解：由垂线段最短可知，当时，长度最小，
由作图过程可知平分，
，，
，
，
，
，
，
的面积是．
二．填空题
11．
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，且，，
∴，
解得：．
12．1.2
解：∵公路与互相垂直，即，
∴是直角三角形，
∵点是的中点，的长为，
∴，即，两点间的距离为．
13．（或垂直）
解：∵，平分，
∴．
14．
解：∵将绕点顺时针旋转得到 ，
∴，，
∴是等边三角形，
∴ ．
15．13
解：由作图可知：垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴的周长为．
16．16
解：如图，过点作于点，过点作，交延长线于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴的面积为．
三、解答题
17．证明：∵，即，
∴，
在和中，
，
∴．
18．解：如图点D即为所求；
19．（1）解：画出如图所示：
（2）解：画出的高如图所示；
（3）解：由平移的性质可得：和的关系平行且相等．
20．证明：过点P作于D，
∵和的角平分线相交于点P，且，
∴，
∴．
21．
证明：∵，分别是，边的中点，
∴，，
∵，
．
在和中，
，
∴，
．
22．(1)等腰直角
证明：，，
．
在和中，
，
，，
，
，即，
是等腰直角三角形．
(2)
证明：，，
，，
，，
．
，
，
，，
．
（3）解：，，
，
在和中，
，
，，
．
23．（1）解：∵在中，，
∴，即；
(2)，理由如下：
∵点是的中点，
∴，
在与中，
，
；
（3）解：∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴．
24．(1)，理由如下：
∵和都是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∴；
(2)，，理由如下：
延长，分别交、于F、G，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
，
∴，即．

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