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1.1 线段的比 第一课时
图形的相似
第1章
（湘教版）九年级
上
学习目标
1.理解比例的基本概念：学生能够明确比例的定义，理解比例中各部分（如内项、外项）的名称及其含义。
2.掌握比例的基本性质：学生能够理解并掌握比例的基本性质，即如果两个比相等，则它们的交叉相乘也相等（即如果a:b=c:d，那么ad=bc）。
3.应用比例的基本性质：学生能够运用比例的基本性质进行简单的计算和推理，如判断两个比是否能组成比例，根据已知条件求未知量等。
新知导入
请看一些生活中的图片
　　在日常生活中我们常常看到一些由一个图形按一定的比例放大或缩小得到的图形。
新知探究
在小学，我们就已经知道，如果两个数的比值与另外两个数的比值相等，就说这四个数成比例。
即如果
a:b = c:d 或= ，
则称a，b，c，d成比例，把a,b,c,d叫作组成比例的项，
其中b，c称为比例内项，a，d称为比例外项。
1.比例的内项与外项
a，b，c，d成比例
也可记作a∶b = c∶d.
新知探究
2.比例的基本性质
问题：如果a、b、c、d 四个数成比例，即 =，那么ad＝bc 吗？
由等式的基本性质：在 =两边同乘以bd，得ad＝bc.
由此得到比例的基本性质：
如果，那么ad=bc.
做一做
问题：如果ad=bc，其中a，b，c，d为非零实数，那么成立吗？
在ad=bc两边同除以bd，约分后，即得
变形过程表示为
在ad=bc两边同除以ad，ab，ac，cd，bc呢？你还能得到其他的比例吗？动手试一试。
→
新知探究
得出结论
比例的基本性质
①如果=,那么ad＝bc．
②如果ad＝bc(a、b、c、d都不等于0)，那么= .
即：两内项之积，等于两外项之积.
新知探究
根据下列条件（其中a，b为非零实数），求 的值：
（1） 4a = 5b； （2） = ； （3） = .
例1
解 （1） 由于4a = 5b，因此由比例的基本性质得， = .
（2）由于 = ，因此8a = 7b，即 = .
（3） 由于 = ，因此2(a-b)= b，即2a = 3b，从而 = .
新知探究
例2
已知四个非零实数a，b，c，d成比例，即 = . 下列各式成立吗？若成立，说明理由.
（1） = ； （2） = ； （3） = .
解 （1） 由于两个非零实数相等，则它们的倒数也相等。
因此，由 = 可以立即得到 = .
（2） 由 = 得 ad = bc. 在上式两边同除以cd，得 = .
（3） 在 = 两边都加上1，得 + 1 = + 1. 由此得到 = .
议一议
问题：
（1） 若a∶b = 1∶2，b∶c = 1∶2，求a∶b∶c.
（2） 若a∶b∶c = 2∶3∶4，则 = = 成立吗？为什么？
答案 (1) ∵b:c=1:2 ， ∴b:c=2:4 ，∴a:b:c=1:2:4.
(2) ∵a:b:c=2:3:4，
∴设 a=2k ， b=3k ，c=4k，
∴ =k ， =k ， =k，
∴ = =
新知探究
已知 = = = ，且b + d + f≠ 0，求 的值.
例3
解 因为 = = = ， 所以a = b，c = d，e = f.
于是 = = = .
新知探究
已知a，b，c，d，e，f六个数，如果=,那么= 和=成立吗？为什么？
已知a，b，c，d，e，f 六个数，如果 = = b + d + f≠ 0 ），那么 = 成立吗？为什么？
合比性质与等比性质
新知探究
（1）证明：∵ =
在等式两边同时加1,得
+1=+1
即=
同样地在等式两边同时减1,得
-1=-1
=
　　　　　
（2）证明：∵ = = b + d + f≠ 0 ），
令 = = =k
∴a=bk,c=dk,e=fk
∴ = = = =
【证明方法总结】
1.等式两边同时加1或者减1 ；
2.设参数（ k ）法.
课堂练习
已知四个数a、b、c、d成比例.
（1）若a = -3，b =9，c = 2，求d；
（2）若a = -3，b = ，c = 2，求d．
题一
答案（1）解∵a、b、c、d 四个数成比例，
∴ = 即=
∴d=-6
课堂练习
已知四个数a、b、c、d成比例.
（1）若a = -3，b =9，c = 2，求d；
（2）若a = -3，b = ，c = 2，求d．
题一
答案（2）解∵a、b、c、d 四个数成比例，
∴ = 即=
∴d=-
课堂练习
已知x∶y = 2∶3，y∶z = 4∶7，求x∶y∶z.
题二
答案 解∵ x：y=2：3
∴ x：y=8：12
∵ y：z=4：7
∴ y：z=12：21
∴x：y：z=8：12：21
课堂练习
如果x∶y = 2∶3，则下列各式中成立的有 （只填序号）. ① = ；② = ；③ = ；④ = .
题三
答案 ①②
解析 由= 可以设x=2k，y=3k
①x+y= = ，故正确② = = ，故正确
③ = ≠2/3，故错误④ = ≠3/4，故错误
课堂练习
若 x∶y = y∶z，则 y 叫作 x 和 z 的比例中项 . 已知 a = 30，b = 60，c = 120，那么b是a和c的比例中项吗？为什么？
题四
答案 是.理由
∵ a：b=30：60=1：2，b：c=60：120=1：2，
∴ a：b=b：c，b是a和c的比例中项.
课堂练习
已知 = = ，且b + d + f≠ 0，求证： = .
题五
答案 设 = = =x，则a=bx，c=dx，e=fx.
把a，b，c的转化值代入得到
= =x
又∵ =x，∴ = 成立。
故答案为： = 成立。
课堂总结
1. 比例的基本性质是什么？
如果a∶b=c∶d 或 ，那么ad=bc.
即比例的两外项之积等于两内项之积(内外项分别乘、交叉乘).
2. 如何把式子ad=bc改成不同的比例？
把四项按从左到右再从右到左或按从右到左再从左到右的顺序相比，即可得到不同的比例.
课堂总结
3. 如何把一个比写成不同的形式？
方法1：利用等式的性质先把比写成积相等的形式，再在等式的两边除以某一个合适的积.
4. 利用比例性质对今后的学习有什么意义？
一是学会把比例转化为方程，求出比例中的未知数；一是把比改写成不同形式，便于寻找图形中线段的关系，从而解决即将要学习的相似图形的问题.
方法2：利用等式和分式的性质进行恰当的变形.
课后练习
1.必做题：教科书P7页习题——学而时习之1-2
2.选做题：教科书P8页习题——温故而知新6-7
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