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数学　必修 第二册 RJ
7.1.1　数系的扩充和复数的概念
一、单项选择题
1．如果C，R，I分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C为全集，则(　　)
A．C＝R∪I B．R∪I＝{0}
C．R＝C∩I D．R∩I＝
2．复数z＝3－2i的虚部是(　　)
A．2 B．2i
C．－2 D．－2i
3．已知a，b为实数，a＋2i＝－3＋bi(i为虚数单位)，则(　　)
A．a＝－3，b＝－2 B．a＝－3，b＝2
C．a＝3，b＝2 D．a＝3，b＝－2
4．给出下列四个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0；④若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3.其中真命题的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
5．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是(　　)
A．－1或3
B．{a|a>3或a<－1}
C．{a|a>－3或a<1}
D．{a|a>3或a＝－1}
6．设a∈R，则“a＝1”是“复数(a－1)(a＋2)＋i为纯虚数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知集合A＝{0，m＋(m2－1)i}(m∈R)，B＝{1，－2i}，若A∩B＝{1}，则(　　)
A．m＝－1 B．m＝0
C．m＝1 D．m＝2
8．已知x∈R，i是虚数单位，方程3x2－a·2－1x＋(2x2＋x)i＝1＋10i有解，则正实数a＝(　　)
A．9 B．10
C．11 D．12
二、多项选择题
9．若z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i(m，n∈R)，且z1＝z2，则m＋n的值可能是(　　)
A．4 B．2
C．0 D．－2
10．若复数a＋bi>c＋di，则下列结论中正确的是(　　)
A．a>c B．a＝c＝0
C．b＝d＝0 D．b>d
11．已知i为虚数单位，下列说法正确的是(　　)
A．若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1
B．(a2＋1)i(a∈R)是纯虚数
C．i2＝－1
D．当m＝4时，复数lg (m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数
三、填空题
12．若复数z＝a－b＋bi(a，b∈R)为纯虚数，请写出满足条件的一组实数a，b的值________．(写出一组即可)
13．若复数m－4＋(m2－16)i≥0，则实数m的值为________．
15．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则(　　)
A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1 D．a≠2
16．(多选)已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i，8}，N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}，且满足(M∩N) M，M∩N≠ ，则(　　)
A．a＝3，b＝2 B．a＝3，b＝－2
C．a＝－3，b＝2 D．a＝－3，b＝－2
17．已知关于x的方程(x2＋mx)＋2xi＝－2－2i(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于________．
18．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sinθ＋(cosθ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R)．
(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；
(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围．
19．已知z＝sinA＋(ksinA＋cosA－1)i，A为△ABC的一个内角．若不论A为何值，总存在k使得z是实数，求实数k的取值范围．
7.1.1　数系的扩充和复数的概念
一、单项选择题
1．如果C，R，I分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C为全集，则(　　)
A．C＝R∪I B．R∪I＝{0}
C．R＝C∩I D．R∩I＝
答案：D
解析：由Venn图可知D正确．
2．复数z＝3－2i的虚部是(　　)
A．2 B．2i
C．－2 D．－2i
答案：C
解析：由复数的定义可知复数z＝3－2i的虚部为－2.故选C.
3．已知a，b为实数，a＋2i＝－3＋bi(i为虚数单位)，则(　　)
A．a＝－3，b＝－2 B．a＝－3，b＝2
C．a＝3，b＝2 D．a＝3，b＝－2
答案：B
解析：因为a＋2i＝－3＋bi，所以a＝－3，b＝2.故选B.
4．给出下列四个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0；④若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3.其中真命题的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：B
解析：i∈C，i2＝－1＜0，故①为假命题；2i－1的虚部为2，故②为假命题；2i的实部是0，故③为真命题；当z1＝1，z2＝0，z3＝i时满足条件，而结论不成立，故④为假命题．
5．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是(　　)
A．－1或3
B．{a|a>3或a<－1}
C．{a|a>－3或a<1}
D．{a|a>3或a＝－1}
答案：B
解析：∵复数z的实部大于虚部，∴a2>2a＋3，解得a>3或a<－1.故选B.
6．设a∈R，则“a＝1”是“复数(a－1)(a＋2)＋i为纯虚数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：当a＝1时，复数(a－1)(a＋2)＋i＝i，为纯虚数；当复数(a－1)(a＋2)＋i为纯虚数时，有(a－1)(a＋2)＝0，得a＝1或a＝－2.所以“a＝1”是“复数(a－1)(a＋2)＋i为纯虚数”的充分不必要条件．故选A.
7．已知集合A＝{0，m＋(m2－1)i}(m∈R)，B＝{1，－2i}，若A∩B＝{1}，则(　　)
A．m＝－1 B．m＝0
C．m＝1 D．m＝2
答案：C
解析：由集合A＝{0，m＋(m2－1)i}(m∈R)，B＝{1，－2i}，且A∩B＝{1}，得m＋(m2－1)i＝1，因此所以m＝1，当m＝1时，A＝{0，1}，因为B＝{1，－2i}，故A∩B＝{1}，符合题意．故选C.
8．已知x∈R，i是虚数单位，方程3x2－a·2－1x＋(2x2＋x)i＝1＋10i有解，则正实数a＝(　　)
A．9 B．10
C．11 D．12
答案：C
解析：由复数相等的充要条件得解得x＝2或x＝－.当x＝2时，解得a＝11>0；当x＝－时，解得a＝－(舍去)．故选C.
二、多项选择题
9．若z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i(m，n∈R)，且z1＝z2，则m＋n的值可能是(　　)
A．4 B．2
C．0 D．－2
答案：AC
解析：由z1＝z2，得n2－3m－1＝－3，且n2－m－6＝－4，解得m＝2，n＝±2，所以m＋n＝4或0.故选AC.
10．若复数a＋bi>c＋di，则下列结论中正确的是(　　)
A．a>c B．a＝c＝0
C．b＝d＝0 D．b>d
答案：AC
解析：因为虚数不能比较大小，若复数a＋bi>c＋di，则说明a＋bi与c＋di均为实数，所以b＝d＝0且a>c.故选AC.
11．已知i为虚数单位，下列说法正确的是(　　)
A．若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1
B．(a2＋1)i(a∈R)是纯虚数
C．i2＝－1
D．当m＝4时，复数lg (m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数
答案：BCD
解析：对于A，取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，A错误；对于B， a∈R，a2＋1>0恒成立，所以(a2＋1)i是纯虚数，B正确；对于C，i2＝－1，C正确；对于D，当m＝4时，则复数lg (m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数，D正确．故选BCD.
三、填空题
12．若复数z＝a－b＋bi(a，b∈R)为纯虚数，请写出满足条件的一组实数a，b的值________．(写出一组即可)
答案：a＝1，b＝1(答案不唯一)
解析：由纯虚数的定义知，复数z＝a－b＋bi为纯虚数，则即可，所以只需满足a＝b≠0即可，取a＝1，b＝1.(答案不唯一)
13．若复数m－4＋(m2－16)i≥0，则实数m的值为________．
答案：4
解析：由题意，得可得m＝4.
14．已知(m2＋7m＋10)＋(m2－5m－14)i＝0，则实数m＝________．
答案：－2
解析：∵m∈R，∴解得m＝－2.
15．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则(　　)
A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1 D．a≠2
答案：C
解析：若一个复数不是纯虚数，则该复数是一个实数或实部不为0的虚数．当a2－a－2≠0时，已知的复数一定不是纯虚数，解得a≠－1且a≠2；当a2－a－2＝0时，则|a－1|－1＝0，即a＝2，则已知的复数也不是一个纯虚数．综上所述，当a≠－1时，已知的复数不是一个纯虚数．故选C.
16．(多选)已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i，8}，N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}，且满足(M∩N) M，M∩N≠ ，则(　　)
A．a＝3，b＝2 B．a＝3，b＝－2
C．a＝－3，b＝2 D．a＝－3，b＝－2
答案：BCD
解析：由题意，得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i　①，或8＝(a2－1)＋(b＋2)i　②，或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i　③.由①得解得a＝－3，b＝±2，由②得解得a＝±3，b＝－2，由③得该方程组中a，b无整数解，不符合题意．综上，a＝－3，b＝2或a＝－3，b＝－2或a＝3，b＝－2.故选BCD.
17．已知关于x的方程(x2＋mx)＋2xi＝－2－2i(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于________．
答案：3－i
解析：由题意知(n2＋mn)＋2ni＝－2－2i，即解得所以z＝m＋ni＝3－i.
18．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sinθ＋(cosθ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R)．
(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；
(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围．
解：(1)∵z1为纯虚数，∴解得m＝－2.
(2)由z1＝z2，得
∴λ＝4－cos2θ－2sinθ＝sin2θ－2sinθ＋3＝(sinθ－1)2＋2.
∵－1≤sinθ≤1，
∴当sinθ＝1时，λmin＝2，
当sinθ＝－1时，λmax＝6，
∴实数λ的取值范围是[2，6]．
19．已知z＝sinA＋(ksinA＋cosA－1)i，A为△ABC的一个内角．若不论A为何值，总存在k使得z是实数，求实数k的取值范围．
解：∵z是实数，A∈(0，π)，sinA≠0，
∴ksinA＋cosA－1＝0，即k＝恒成立．
又＝＝tan，A∈(0，π)，∈，
∴tan∈(0，＋∞)，∴∈(0，＋∞)，
∴当k>0时，不论A为何值，总存在k使得z是实数，
故实数k的取值范围为(0，＋∞)．
12

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