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数学　必修 第二册 RJ
7.1.2　复数的几何意义
一、单项选择题
1．已知复数z＝5－7i，则＝(　　)
A．5－7i B．5＋7i
C．－5－7i D．－5＋7i
2．(2024·新课标Ⅱ卷，1)已知z＝－1－i，则|z|＝(　　)
A．0 B．1
C． D．2
3．复数z1＝1＋i和z2＝1－i在复平面内的对应点关于(　　)
A．实轴对称
B．一、三象限的角平分线对称
C．虚轴对称
D．二、四象限的角平分线对称
4．已知i是虚数单位，复数z1＝4＋2i与z2＝3＋ai的模相等，则实数a的值为(　　)
A．± B.
C．±11 D．11
5．已知在复平面内，O为原点，向量，对应的复数分别为3－4i，－2＋5i，则向量对应的复数的虚部为(　　)
A．1 B．9
C．i D．9i
6．已知复数z，在复平面内对应的点分别为A，B，则“点A在第二象限”是“点B在第三象限”的(　　)
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．在复平面内，正方形OABC(O为原点)中，若对应的复数为－1－3i，则对应的复数为(　　)
A．－1＋3i B．1－3i
C．1＋3i D．3＋i
8．当A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
二、多项选择题
9．已知复数z＝3－4i，则下列说法正确的是(　　)
A．z的实部是3
B．|z|＝5
C．＝3＋4i
D．z在复平面内对应的点在第一象限
10．若|4＋2i|＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i(i为虚数单位)，其中x，y是实数，则(　　)
A．x＝3 B．y＝4
C．x＋yi＝－3＋4i D．|x＋yi|＝5
11．设复数z在复平面内对应的点为P，则下列说法正确的是(　　)
A．若|z|＝1，则z＝1
B．若z＝2＋3i，则＝2－3i
C．若z的实部是1，则点P的集合所构成的图形是直线
D．若1≤|z|≤，则点P的集合所构成的图形的面积为π
三、填空题
12．已知i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则2＝________．
13．已知复数(2k2－3k－2)＋(k2－k)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数k的取值范围是________．
14．在复平面内，已知O为坐标原点，点Z1，Z2分别对应复数z1＝4＋2i，z2＝3a－5i(a∈R)，若⊥，则a＝________．
15．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应的点的轨迹是(　　)
A．1个圆 B．线段
C．2个点 D．2个圆
16．(多选)已知复数z＝(m2－4m－5)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)在复平面内对应的点为Z，则下列结论正确的是(　　)
A．若m＝5，则z为纯虚数
B．若为z的共轭复数且z＝，则m＝－2
C．若m＝，则点Z在直线y＝－x上
D．若－217．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们在复平面内对应的点分别是A，B，C，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的值是________．
18．已知复数z＝(1＋2m)＋(3＋m)i(m∈R)．
(1)若m＝1，且||＝|x＋(x－1)i|，求实数x的值；
(2)当m为何值时，||最小？并求||的最小值．
19．已知复平面内复数z＝(2m－1)＋(m＋1)i(m∈R)对应的点为Z.
(1)若点Z在函数y＝2x－6的图象上，求实数m的值；
(2)若O为坐标原点，点A(2，－1)，且与的夹角为钝角，求实数m的取值范围．
7.1.2　复数的几何意义
一、单项选择题
1．已知复数z＝5－7i，则＝(　　)
A．5－7i B．5＋7i
C．－5－7i D．－5＋7i
答案：B
解析：根据共轭复数的定义，得＝5＋7i.故选B.
2．(2024·新课标Ⅱ卷，1)已知z＝－1－i，则|z|＝(　　)
A．0 B．1
C． D．2
答案：C
解析：若z＝－1－i，则|z|＝＝.故选C.
3．复数z1＝1＋i和z2＝1－i在复平面内的对应点关于(　　)
A．实轴对称
B．一、三象限的角平分线对称
C．虚轴对称
D．二、四象限的角平分线对称
答案：A
解析：复数z1＝1＋i在复平面内的对应点为Z1(1，)，复数z2＝1－i在复平面内的对应点为Z2(1，－)，点Z1与Z2关于实轴对称．
4．已知i是虚数单位，复数z1＝4＋2i与z2＝3＋ai的模相等，则实数a的值为(　　)
A．± B.
C．±11 D．11
答案：A
解析：因为z1＝4＋2i，z2＝3＋ai，所以|z1|＝＝＝2，|z2|＝＝，由已知2＝，所以a＝±.故选A.
5．已知在复平面内，O为原点，向量，对应的复数分别为3－4i，－2＋5i，则向量对应的复数的虚部为(　　)
A．1 B．9
C．i D．9i
答案：B
解析：由题意可知，＝(3，－4)，＝(－2，5)，可得＝－＝(－2，5)－(3，－4)＝(－5，9)，所以向量对应的复数为－5＋9i，所以向量对应的复数的虚部为9.故选B.
6．已知复数z，在复平面内对应的点分别为A，B，则“点A在第二象限”是“点B在第三象限”的(　　)
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.若点A在第二象限，则a<0，b>0，则a<0，－b<0，所以点B在第三象限．反之亦成立，所以“点A在第二象限”是“点B在第三象限”的充要条件．故选A.
7．在复平面内，正方形OABC(O为原点)中，若对应的复数为－1－3i，则对应的复数为(　　)
A．－1＋3i B．1－3i
C．1＋3i D．3＋i
答案：C
解析：∵正方形OABC，且对应的复数为－1－3i，∴＝(－1，－3)，∴＝(－1，－3)，则＝(1，3)，∴对应的复数为1＋3i.故选C.
8．当A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：A
解析：∵二、多项选择题
9．已知复数z＝3－4i，则下列说法正确的是(　　)
A．z的实部是3
B．|z|＝5
C．＝3＋4i
D．z在复平面内对应的点在第一象限
答案：ABC
解析：对于A，复数z＝3－4i的实部为3，故A正确；对于B，|z|＝＝5，故B正确；对于C，根据共轭复数的概念，＝3＋4i，故C正确；对于D，z在复平面内对应的点的坐标为(3，－4)，位于第四象限，故D错误．故选ABC.
10．若|4＋2i|＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i(i为虚数单位)，其中x，y是实数，则(　　)
A．x＝3 B．y＝4
C．x＋yi＝－3＋4i D．|x＋yi|＝5
答案：BCD
解析：由已知，得6＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i，所以解得所以|x＋yi|＝|－3＋4i|＝5.故选BCD.
11．设复数z在复平面内对应的点为P，则下列说法正确的是(　　)
A．若|z|＝1，则z＝1
B．若z＝2＋3i，则＝2－3i
C．若z的实部是1，则点P的集合所构成的图形是直线
D．若1≤|z|≤，则点P的集合所构成的图形的面积为π
答案：BCD
解析：对于A，z＝i，满足|z|＝1，故A错误；对于B，若z＝2＋3i，则＝2－3i，故B正确；对于C，若z的实部是1，则点P的坐标可表示为(1，b)，b∈R，故点P的集合所构成的图形是直线，故C正确；对于D，若1≤|z|≤，则点P的集合所构成的图形的面积为π×()2－π×12＝π，故D正确．故选BCD.
三、填空题
12．已知i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则2＝________．
答案：－2－3i
解析：复数z1＝2－3i在复平面内对应的点为(2，－3)，则z2在复平面内对应的点为(－2，3)，所以z2＝－2＋3i，2＝－2－3i.
13．已知复数(2k2－3k－2)＋(k2－k)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数k的取值范围是________．
答案：∪(1，2)
解析：根据题意，有即所以实数k的取值范围是∪(1，2)．
14．在复平面内，已知O为坐标原点，点Z1，Z2分别对应复数z1＝4＋2i，z2＝3a－5i(a∈R)，若⊥，则a＝________．
答案：
解析：由题意得Z1(4，2)，Z2(3a，－5)，则＝(4，2)，＝(3a，－5)，因为⊥，所以·＝(4，2)·(3a，－5)＝12a－10＝0，解得a＝.
15．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应的点的轨迹是(　　)
A．1个圆 B．线段
C．2个点 D．2个圆
答案：A
解析：由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1.∵|z|≥0，∴|z|＝3，∴复数z对应的点的轨迹是1个圆．
16．(多选)已知复数z＝(m2－4m－5)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)在复平面内对应的点为Z，则下列结论正确的是(　　)
A．若m＝5，则z为纯虚数
B．若为z的共轭复数且z＝，则m＝－2
C．若m＝，则点Z在直线y＝－x上
D．若－2答案：AC
解析：对于A，当m＝5时，z＝42i，是纯虚数，故A正确；对于B，因为＝(m2－4m－5)－(m2＋3m＋2)i，z＝，所以(m2－4m－5)＋(m2＋3m＋2)i＝(m2－4m－5)－(m2＋3m＋2)i，所以m2＋3m＋2＝－(m2＋3m＋2)，所以m＝－1或m＝－2，故B错误；对于C，当m＝时，z＝－＋i，所以Z，所以点Z在直线y＝－x上，故C正确；对于D，由m2－4m－5<0，得－117．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们在复平面内对应的点分别是A，B，C，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的值是________．
答案：5
解析：由已知，得＝(－1，2)，＝(1，－1)，＝(3，－2)，∴x＋y＝x(－1，2)＋y(1，－1)＝(－x＋y，2x－y)．由＝x＋y，可得解得∴x＋y＝5.
18．已知复数z＝(1＋2m)＋(3＋m)i(m∈R)．
(1)若m＝1，且||＝|x＋(x－1)i|，求实数x的值；
(2)当m为何值时，||最小？并求||的最小值．
解：(1)由m＝1，得z＝3＋4i，＝3－4i，
则由||＝|x＋(x－1)i|，
得＝，
整理得x2－x－12＝0，解得x＝4或x＝－3.
(2)||＝
＝＝≥，
当且仅当m＝－1时，||取得最小值，为.
19．已知复平面内复数z＝(2m－1)＋(m＋1)i(m∈R)对应的点为Z.
(1)若点Z在函数y＝2x－6的图象上，求实数m的值；
(2)若O为坐标原点，点A(2，－1)，且与的夹角为钝角，求实数m的取值范围．
解：(1)因为点Z(2m－1，m＋1)在函数y＝2x－6的图象上，
所以m＋1＝2×(2m－1)－6，解得m＝3.
(2)＝(2m－1，m＋1)，＝(2，－1)，
因为与的夹角为钝角，
所以·<0，
所以(2m－1，m＋1)·(2，－1)<0，
即4m－2－m－1<0，得m<1，
当两向量共线且反向时，设＝λ，λ<0，
即
解得λ＝－，m＝－，
所以实数m的取值范围为∪.
15

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