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数学　必修 第二册 RJ
7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
一、单项选择题
1．复数z1＝2－i，z2＝－2i，则z1＋z2＝(　　)
A．0 B．＋i
C．－i D．－i
2．若z＋3－2i＝4＋i，则z＝(　　)
A．1＋i B．1＋3i
C．－1－i D．－1－3i
3．已知复数z1＝－2＋i，z2＝1＋2i，在复平面内，复数z1和z2所对应的两点之间的距离是(　　)
A． B．10
C． D．5
4．设m∈R，复数z＝(2m2＋3i)＋(m－m2i)＋(－1＋2mi)，若z为纯虚数，则m＝(　　)
A．－1 B．3
C． D．－1或3
5．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量表示正确的是(　　)
6．已知复数z满足z＋3＝4＋2i，则z的虚部为(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
7．已知复数z满足|z|＋z＝5＋i，则z－＝(　　)
A．2i B．－2i
C．i D．－i
8．设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，则|z1＋z2|＝(　　)
A．1 B．
C． D．2
二、多项选择题
9．已知z1，z2为复数，则下列说法正确的是(　　)
A．若z1∈R，则z1＝1
B．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2
C．若z1＝z2，则|z1|＝|z2|
D．若|z1－z2|＝|z1|，则z1＝0或z2＝2z1
10．已知复平面内的四个点A，B，C，D构成平行四边形，顶点A，B，C对应的复数分别为－5－2i，－4＋5i，2，则点D对应的复数可以是(　　)
A．1－7i B．3＋7i
C．－7－3i D．－11＋3i
11．已知复数z0＝1＋2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z－1|＝|z－i|，下列结论正确的是(　　)
A．点P0的坐标为(1，2)
B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C．复数z对应的点Z在一条直线上
D．点P(0，2)与z对应的点Z间的距离的最小值为
三、填空题
12．已知实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是________．
13．在复平面内，复数－1＋i，0，3＋2i所对应的点分别是A，B，C，则平行四边形ABCD的对角线BD的长为________．
14．设f(z)＝z－3i＋|z|，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，则f(z1＋z2)＝________．
15．已知复数z满足|z＋2－i|＝2，则|z＋i|的最大值为(　　)
A．2＋2 B．2＋
C．2＋2 D．4
16．复数z1，z2分别对应复平面内的点M1，M2，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，线段M1M2的中点M对应的复数为4＋3i，则|z1|2＋|z2|2＝(　　)
A．10 B．25
C．100 D．200
17．设实数x，y，θ满足以下关系：x＋yi＝3－4i＋5cosθ＋5isinθ，则x2＋y2的最大值是________．
18．已知复平面内的平行四边形ABCD中，点A对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
19．设z1＝1＋2ai，z2＝a－i(a∈R)，A＝{z||z－z1|<}，B＝{z||z－z2|≤2}，已知A∩B＝ ，求a的取值范围．
7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
一、单项选择题
1．复数z1＝2－i，z2＝－2i，则z1＋z2＝(　　)
A．0 B．＋i
C．－i D．－i
答案：C
解析：z1＋z2＝－i＝－i.
2．若z＋3－2i＝4＋i，则z＝(　　)
A．1＋i B．1＋3i
C．－1－i D．－1－3i
答案：B
解析：z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i.
3．已知复数z1＝－2＋i，z2＝1＋2i，在复平面内，复数z1和z2所对应的两点之间的距离是(　　)
A． B．10
C． D．5
答案：A
解析：|z1－z2|＝|(－2＋i)－(1＋2i)|＝|－3－i|＝.故选A.
4．设m∈R，复数z＝(2m2＋3i)＋(m－m2i)＋(－1＋2mi)，若z为纯虚数，则m＝(　　)
A．－1 B．3
C． D．－1或3
答案：C
解析：z＝(2m2＋m－1)＋(－m2＋2m＋3)i为纯虚数，则解得m＝.
5．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量表示正确的是(　　)
答案：A
解析：由题图可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，则复数z＋1所对应的向量的坐标为(－1，1)．故选A.
6．已知复数z满足z＋3＝4＋2i，则z的虚部为(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
答案：B
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋3＝a＋bi＋3(a－bi)＝4a－2bi，即4a－2bi＝4＋2i，解得a＝1，b＝－1，故z＝1－i，则z的虚部为－1.故选B.
7．已知复数z满足|z|＋z＝5＋i，则z－＝(　　)
A．2i B．－2i
C．i D．－i
答案：A
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)．∵z＋|z|＝5＋i，∴a＋bi＋＝5＋i.由复数相等得解得∴z＝＋i，＝－i.则z－＝－＝2i.故选A.
8．设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，则|z1＋z2|＝(　　)
A．1 B．
C． D．2
答案：C
解析：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，因为|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，所以a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a－c)2＋(b－d)2＝1，由(a－c)2＋(b－d)2＝1，可得a2－2ac＋c2＋b2－2bd＋d2＝1，则2ac＋2bd＝1，则|z1＋z2|＝＝
＝＝.故选C.
二、多项选择题
9．已知z1，z2为复数，则下列说法正确的是(　　)
A．若z1∈R，则z1＝1
B．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2
C．若z1＝z2，则|z1|＝|z2|
D．若|z1－z2|＝|z1|，则z1＝0或z2＝2z1
答案：AC
解析：对于A，根据共轭复数的定义，可知A正确；对于B，取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但z1≠z2，故B错误；对于C，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，由z1＝z2，得a＋bi＝c＋di，即a＝c，b＝d，所以a2＋b2＝c2＋d2，即|z1|＝|z2|，故C正确；对于D，取z1＝2，z2＝1＋i，则z1－z2＝1－i，|z1－z2|＝2＝|z1|，此时z1≠0且z2≠2z1，故D错误．故选AC.
10．已知复平面内的四个点A，B，C，D构成平行四边形，顶点A，B，C对应的复数分别为－5－2i，－4＋5i，2，则点D对应的复数可以是(　　)
A．1－7i B．3＋7i
C．－7－3i D．－11＋3i
答案：ABD
解析：分三种情况：①当＝时，zA－zB＝zD－zC，所以zD＝zA－zB＋zC＝(－5－2i)－(－4＋5i)＋2＝1－7i；②当＝时，zA－zB＝zC－zD，所以zD＝zC－zA＋zB＝2－(－5－2i)＋(－4＋5i)＝3＋7i；③当＝时，zC－zA＝zB－zD，所以zD＝zB－zC＋zA＝(－4＋5i)－2＋(－5－2i)＝－11＋3i.所以点D对应的复数为1－7i或3＋7i或－11＋3i.故选ABD.
11．已知复数z0＝1＋2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z－1|＝|z－i|，下列结论正确的是(　　)
A．点P0的坐标为(1，2)
B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C．复数z对应的点Z在一条直线上
D．点P(0，2)与z对应的点Z间的距离的最小值为
答案：ACD
解析：复数z0＝1＋2i在复平面内对应的点为P0(1，2)，A正确；复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；由|z－z0|的几何意义及|z－1|＝|z－i|，可知复数z对应的点Z在以(1，0)，(0，1)为端点的线段的垂直平分线上，C正确；结合平面几何知识知D正确．故选ACD.
三、填空题
12．已知实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是________．
答案：1
解析：z1－z2＝y＋xi－yi＋x＝(x＋y)＋(x－y)i.∵z1－z2＝2，∴∴
∴xy＝1.
13．在复平面内，复数－1＋i，0，3＋2i所对应的点分别是A，B，C，则平行四边形ABCD的对角线BD的长为________．
答案：
解析：对应的复数为－1＋i，对应的复数为3＋2i，对应的复数为－1＋i＋3＋2i＝2＋3i，所以BD的长为|2＋3i|＝＝.
14．设f(z)＝z－3i＋|z|，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，则f(z1＋z2)＝________．
答案：3＋3
解析：因为z1＋z2＝－2＋4i＋5－i＝3＋3i，所以f(z1＋z2)＝(3＋3i)－3i＋|3＋3i|＝3＋＝3＋3.
15．已知复数z满足|z＋2－i|＝2，则|z＋i|的最大值为(　　)
A．2＋2 B．2＋
C．2＋2 D．4
答案：C
解析：由|z＋2－i|＝|z－(－2＋i)|＝2，得复数z对应的点在以(－2，1)为圆心，半径r＝2的圆上，|z＋i|＝|z－(－i)|表示复数z对应的点到(0，－1)的距离，点(－2，1)到点(0，－1)的距离d＝＝2，所以|z＋i|的最大值为d＋r＝2＋2.故选C.
16．复数z1，z2分别对应复平面内的点M1，M2，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，线段M1M2的中点M对应的复数为4＋3i，则|z1|2＋|z2|2＝(　　)
A．10 B．25
C．100 D．200
答案：C
解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，由线段M1M2的中点M对应的复数为4＋3i知z2＝(8－a)＋(6－b)i，∵|z1＋z2|2＝62＋82＝100，∴|z1－z2|2＝(2a－8)2＋(2b－6)2＝100，即a2＋b2＝8a＋6b，则|z1|2＋|z2|2＝100＋2(a2＋b2－8a－6b)＝100.故选C.
17．设实数x，y，θ满足以下关系：x＋yi＝3－4i＋5cosθ＋5isinθ，则x2＋y2的最大值是________．
答案：100
解析：由题意，得x＋yi＝(3＋5cosθ)＋i(－4＋5sinθ)，所以x2＋y2＝(3＋5cosθ)2＋(－4＋5sinθ)2＝50＋30cosθ－40sinθ＝50＋50cos(θ＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，所以(x2＋y2)max＝50＋50＝100.
18．已知复平面内的平行四边形ABCD中，点A对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
解：(1)因为向量对应的复数为1＋2i，
向量对应的复数为3－i，
所以向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又因为＝＋，
所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
因为＝，所以向量对应的复数为3－i，
又因为＝＋，
所以点D对应的复数为(2＋i)＋(3－i)＝5.
(2)因为·＝||||cosB，
所以cosB＝＝＝.
因为0所以S ABCD＝||||sinB＝××＝7，
所以平行四边形ABCD的面积为7.
19．设z1＝1＋2ai，z2＝a－i(a∈R)，A＝{z||z－z1|<}，B＝{z||z－z2|≤2}，已知A∩B＝ ，求a的取值范围．
解：z1＝1＋2ai，z2＝a－i，|z－z1|<，|z－z2|≤2，
即|z－(1＋2ai)|<，|z－(a－i)|≤2，
由复数减法及模的几何意义知，集合A是以Z1(1，2a)为圆心，为半径的圆的内部的点对应的复数，集合B是以Z2(a，－1)为圆心，2为半径的圆周及其内部的点所对应的复数，若A∩B＝ ，则两圆圆心距大于或等于半径和，即|Z1Z2|＝≥3，解得a≤－2或a≥.
14

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