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数学　必修 第二册 RJ
7.2.2　复数的乘、除运算　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、单项选择题
1．复数z＝(3＋i)(1－4i), 则z＝(　　)
A．－1＋11i B．7＋11i
C．－1－11i D．7－11i
2．已知复数z满足(z＋i)i＝2＋3i，则|z|＝(　　)
A．2 B．3
C． D．3
3．已知复数z满足zi2026＝1－i，则＝(　　)
A．－1－i B．1－i
C．1＋i D．－1＋i
4．已知复数z满足(1＋i)z＝|＋i|，i为虚数单位，则z＝(　　)
A．1＋i B．1－i
C．－i D．＋i
5．(2024·新课标Ⅰ卷，2)若＝1＋i，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
6．复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y＝x对称，且z1＝3＋2i，则z1z2＝(　　)
A．12＋13i B．13＋12i
C．－13i D．13i
7．在复平面内，复数z＝＋i3对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8．已知2－i是关于x的方程x2＋mx＋5＝0在复数范围内的一个根，则实数m＝(　　)
A．4 B．－4
C．2 D．－2
二、多项选择题
9．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z1＝1－2i，则(　　)
A．z2＝－1－2i
B．z1z2＝－3
C．＝1
D．的共轭复数为＋i
10．已知复数z满足(1－i)z＝2i，则下列关于复数z的结论正确的是(　　)
A．|z|＝
B．复数z的共轭复数为＝1＋i
C．复平面内表示复数z的点位于第二象限
D．复数是方程x2＋2x＋2＝0的一个根
11．已知复数z1＝a＋i，z2＝1－i，其中a是实数，若是纯虚数，则(　　)
A．a＝－1
B．z＝2i
C．＝i
D．＋＋＋…＋＝－i
三、填空题
12．若复数(1＋ai)2(i为虚数单位，a∈R)是纯虚数，则复数1＋ai的模是________．
13．定义运算＝ad－bc(a，b，c，d∈C)，则符合条件＝4＋2i的复数z＝________．
14．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z＝________．
15．复数z满足|z＋i|＝2，其中i为虚数单位，则z·的最大值是(　　)
A．3 B．9
C．4 D．－4
16．(多选)已知集合P＝{x|x2＋1＝0，x∈C}，Q＝{y|y＝ix，x∈N*，i是虚数单位}，下列结论中成立的是(　　)
A．P Q B．P Q
C．P∩Q＝ D．(P∪Q) C
17．已知虚数z满足z＋∈[1，2]，则虚数z的实部的最小值为________．
18．在①z22＝10(a>0)；②复平面内表示的点在直线x＋2y＝0上；③z1(a－i)>0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．
已知复数z1＝1＋i，z2＝a＋3i(i为虚数单位)，满足________．
(1)若z＝＋，求复数z以及|z|；
(2)若z2是实系数一元二次方程x2＋mx＋4－3m＝0的根，求实数m的值．
19．已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
7.2.2　复数的乘、除运算　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、单项选择题
1．复数z＝(3＋i)(1－4i), 则z＝(　　)
A．－1＋11i B．7＋11i
C．－1－11i D．7－11i
答案：D
解析：z＝(3＋i)(1－4i)＝3－12i＋i－4i2＝3－11i－4×(－1)＝7－11i.故选D.
2．已知复数z满足(z＋i)i＝2＋3i，则|z|＝(　　)
A．2 B．3
C． D．3
答案：D
解析：∵(z＋i)i＝2＋3i，则z＝－i＝3－3i，∴|z|＝＝3.故选D.
3．已知复数z满足zi2026＝1－i，则＝(　　)
A．－1－i B．1－i
C．1＋i D．－1＋i
答案：A
解析：因为i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，所以i2026＝(i2)1013＝－1，所以z＝＝－1＋i，则＝－1－i.故选A.
4．已知复数z满足(1＋i)z＝|＋i|，i为虚数单位，则z＝(　　)
A．1＋i B．1－i
C．－i D．＋i
答案：B
解析：依题意，z＝＝＝＝＝1－i.故选B.
5．(2024·新课标Ⅰ卷，2)若＝1＋i，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
答案：C
解析：因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C.
6．复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y＝x对称，且z1＝3＋2i，则z1z2＝(　　)
A．12＋13i B．13＋12i
C．－13i D．13i
答案：D
解析：因为复数z1＝3＋2i在复平面内对应的点关于直线y＝x对称的点表示的复数为z2＝2＋3i，所以z1z2＝(3＋2i)(2＋3i)＝13i.故选D.
7．在复平面内，复数z＝＋i3对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：D
解析：复数z＝＋i3＝－i＝－i＝－i，其在复平面内对应的点位于第四象限．故选D.
8．已知2－i是关于x的方程x2＋mx＋5＝0在复数范围内的一个根，则实数m＝(　　)
A．4 B．－4
C．2 D．－2
答案：B
解析：∵2－i是方程x2＋mx＋5＝0的一个根，∴2＋i是方程x2＋mx＋5＝0的另一个根．则由根与系数的关系得2＋i＋2－i＝－m，解得m＝－4.故选B.
二、多项选择题
9．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z1＝1－2i，则(　　)
A．z2＝－1－2i
B．z1z2＝－3
C．＝1
D．的共轭复数为＋i
答案：ACD
解析：因为z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，z1＝1－2i，所以z2＝－1－2i，z1z2＝(1－2i)(－1－2i)＝－(1－2i)(1＋2i)＝－5，＝＝＝＝－i，所以＝＝1，的共轭复数为＋i.故选ACD.
10．已知复数z满足(1－i)z＝2i，则下列关于复数z的结论正确的是(　　)
A．|z|＝
B．复数z的共轭复数为＝1＋i
C．复平面内表示复数z的点位于第二象限
D．复数是方程x2＋2x＋2＝0的一个根
答案：ACD
解析：由(1－i)z＝2i，得z＝＝＝－1＋i，∴|z|＝，＝－1－i，复平面内表示复数z的点为(－1，1)，位于第二象限．∵(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝2i－2－2i＋2＝0，∴复数是方程x2＋2x＋2＝0的一个根．故选ACD.
11．已知复数z1＝a＋i，z2＝1－i，其中a是实数，若是纯虚数，则(　　)
A．a＝－1
B．z＝2i
C．＝i
D．＋＋＋…＋＝－i
答案：BC
解析：复数z1＝a＋i，z2＝1－i，a∈R，则＝＝＝＝＋i，因为是纯虚数，所以解得a＝1，因此z＝(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，＝i，又i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，则n∈N*，i4n－3＝i，i4n－2＝－1，i4n－1＝－i，i4n＝1，即有n∈N*，i4n－3＋i4n－2＋i4n－1＋i4n＝0，所以＋＋＋…＋＝506(i＋i2＋i3＋i4)＋i－1＝i－1.故选BC.
三、填空题
12．若复数(1＋ai)2(i为虚数单位，a∈R)是纯虚数，则复数1＋ai的模是________．
答案：
解析：因为(1＋ai)2＝1－a2＋2ai是纯虚数，所以1－a2＝0且2a≠0，所以a2＝1，复数1＋ai的模为＝.
13．定义运算＝ad－bc(a，b，c，d∈C)，则符合条件＝4＋2i的复数z＝________．
答案：3－i
解析：∵＝4＋2i，∴zi＋z＝4＋2i，即z(1＋i)＝4＋2i，∴z＝＝3－i.
14．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z＝________．
答案：
解析：z＝＝＝－＋，所以z＝＝.
15．复数z满足|z＋i|＝2，其中i为虚数单位，则z·的最大值是(　　)
A．3 B．9
C．4 D．－4
答案：B
解析：设复数z＝x＋yi，x，y∈R，复数z在复平面内对应的点Z(x，y)的轨迹是以(0，－1)为圆心，2为半径的圆．因为＝x－yi，所以z·＝(x＋yi)(x－yi)＝x2＋y2，其几何意义是点Z(x，y)到原点距离的平方．因为圆心(0，－1)到原点的距离为1，所以x2＋y2的最大值为9，即z·的最大值是9.故选B.
16．(多选)已知集合P＝{x|x2＋1＝0，x∈C}，Q＝{y|y＝ix，x∈N*，i是虚数单位}，下列结论中成立的是(　　)
A．P Q B．P Q
C．P∩Q＝ D．(P∪Q) C
答案：AD
解析：由题意可得，集合P＝{x|x2＋1＝0，x∈C}＝{i，－i}，Q＝{y|y＝ix，x∈N*，i是虚数单位}＝{i，－1，－i，1}，可得P Q，P∩Q＝P，(P∪Q) C.故选AD.
17．已知虚数z满足z＋∈[1，2]，则虚数z的实部的最小值为________．
答案：
解析：设z＝a＋bi，a，b∈R，且b≠0，则z＋＝(a＋bi)＋＝(a＋bi)＋＝＋i.由z＋∈[1，2]，得b－＝0，又b≠0，则a2＋b2＝2，从而a＋＝2a∈[1，2]，所以a∈.故a的最小值为.
18．在①z22＝10(a>0)；②复平面内表示的点在直线x＋2y＝0上；③z1(a－i)>0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．
已知复数z1＝1＋i，z2＝a＋3i(i为虚数单位)，满足________．
(1)若z＝＋，求复数z以及|z|；
(2)若z2是实系数一元二次方程x2＋mx＋4－3m＝0的根，求实数m的值．
解：选①：z22＝10(a>0)．
因为z1＝1＋i，z2＝a＋3i，所以z22＝a2＋9＝10，
解得a2＝1，
又a>0，所以a＝1.
选②：复平面内表示的点在直线x＋2y＝0上．
因为z1＝1＋i，z2＝a＋3i，
所以＝＝＋i，
其表示的点为，
有＋2×＝0，解得a＝1.
选③：z1(a－i)>0.
因为z1＝1＋i，
所以z1(a－i)＝(1＋i)(a－i)＝(a＋1)＋(a－1)i>0，
所以解得a＝1.
(1)z＝＋＝＋＝－i，
|z|＝＝1.
(2)z2是实系数一元二次方程x2＋mx＋4－3m＝0的根，
则2也是该方程的根，所以m＝－(z2＋2)＝－(1＋3i＋1－3i)＝－2.
19．已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
由已知条件，得a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，
所以2ab＝2，
所以a＝b＝1或a＝b＝－1，
即z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i，
所以A(1，1)，B(0，2)，C(1，－1)，
所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1；
当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i.
所以点A(－1，－1)，B(0，2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1.
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