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数学　必修 第二册 RJ
7.3.1　复数的三角表示式
一、选择题
1．如果非零复数有一个辐角为－，那么该复数的(　　)
A．辐角唯一
B．辐角的主值唯一
C．辐角的主值为－
D．辐角的主值为
2．复数z＝isin10°的三角形式是(　　)
A．cos10°＋isin10°
B．isin10°
C．sin10°(cos90°＋isin90°)
D．sin10°(cos0°＋isin0°)
3．复数z＝－3的辐角的主值是(　　)
A． B．
C． D．
4．复数z＝的辐角的主值是(　　)
A． B．
C． D．
5．(多选)已知复数z＝cosθ＋isinθ(θ∈R)，则(　　)
A．|z|＝1 B．|z2|＝|z|2
C．z·＝1 D．|z＋1|≥2
二、填空题
6．复数1＋i的模是________，辐角的主值是________，三角形式是________．
7．复数2＋i和－3－i的辐角的主值分别为α，β，则tan(α＋β)＝________．
8．已知复数z－1的一个辐角为，z＋1的一个辐角为，则复数z的辐角的主值是________．
三、解答题
9．下列复数是否是用三角形式来表示的？如果不是，把它们表示成三角形式．
(1)2；
(2)cos131π＋isin131π；
(3)－2；
(4)3；
(5)4.
10．求同时满足＝，arg ＝的复数z(用代数形式表示)．
7.3.1　复数的三角表示式
一、选择题
1．如果非零复数有一个辐角为－，那么该复数的(　　)
A．辐角唯一
B．辐角的主值唯一
C．辐角的主值为－
D．辐角的主值为
答案：B
解析：∵辐角的主值的范围是[0，2π)，任何一个非零复数都有唯一的辐角的主值，∴有一辐角为－，则该复数有唯一的一个辐角的主值，为.故选B.
2．复数z＝isin10°的三角形式是(　　)
A．cos10°＋isin10°
B．isin10°
C．sin10°(cos90°＋isin90°)
D．sin10°(cos0°＋isin0°)
答案：C
解析：z＝isin10°＝sin10°(0＋i)＝sin10°(cos90°＋isin90°)．
3．复数z＝－3的辐角的主值是(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：z＝－3＝3＝3，所以arg z＝.
4．复数z＝的辐角的主值是(　　)
A． B．
C． D．
答案：D
解析：z＝＝－i＝，所以辐角的主值是.故选D.
5．(多选)已知复数z＝cosθ＋isinθ(θ∈R)，则(　　)
A．|z|＝1 B．|z2|＝|z|2
C．z·＝1 D．|z＋1|≥2
答案：ABC
解析：对于A，|z|＝＝1，A正确；对于B，因为复数z＝cosθ＋isinθ(θ∈R)，所以z2＝cos2θ－sin2θ＋2isinθcosθ＝cos2θ＋isin2θ，则|z2|＝＝1，而|z|2＝1，所以|z2|＝|z|2，B正确；对于C，z·＝(cosθ＋isinθ)(cosθ－isinθ)＝cos2θ＋sin2θ＝1，C正确；对于D，由题意得z＋1＝(cosθ＋1)＋isinθ，所以|z＋1|＝＝＝，因为cosθ∈[－1，1]，所以∈[0，2]，即|z＋1|∈[0，2]，D错误．故选ABC.
二、填空题
6．复数1＋i的模是________，辐角的主值是________，三角形式是________．
答案：　　
解析：复数1＋i的模是＝，∵1＋i对应的点在第一象限，且辐角的正切tanθ＝1，∴arg (1＋i)＝，∴三角形式是.
7．复数2＋i和－3－i的辐角的主值分别为α，β，则tan(α＋β)＝________．
答案：1
解析：∵复数2＋i和－3－i的辐角的主值分别为α，β，∴tanα＝，tanβ＝，∴tan(α＋β)＝＝1.
8．已知复数z－1的一个辐角为，z＋1的一个辐角为，则复数z的辐角的主值是________．
答案：
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，因为z－1＝a－1＋bi的一个辐角为，所以tan＝＝－　①，因为z＋1＝a＋1＋bi的一个辐角为，所以tan＝＝　②，联立①②，解得所以z＝－＋i＝cos＋isin，则复数z的辐角的主值是.
三、解答题
9．下列复数是否是用三角形式来表示的？如果不是，把它们表示成三角形式．
(1)2；
(2)cos131π＋isin131π；
(3)－2；
(4)3；
(5)4.
解：(1)2不是三角形式，
2＝2.
(2)cos131π＋isin131π是三角形式．
(3)－2不是三角形式，
－2＝2.
(4)3不是三角形式，
3＝3.
(5)4不是三角形式，
4＝2.
10．求同时满足＝，arg ＝的复数z(用代数形式表示)．
解：∵＝＝＋i，
∴z＝＝1＋i.
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