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数学　必修 第二册 RJ
7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
一、选择题
1．已知复数z1＝cosα＋isinα和复数z2＝cosβ＋isinβ，则复数z1z2的实部是(　　)
A．sin(α－β) B．sin(α＋β)
C．cos(α－β) D．cos(α＋β)
2．4(cosπ＋isinπ)÷＝(　　)
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
3．计算(cos36°＋isin36°)－5的结果为(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．
4．已知复数z＝cos67.5°＋isin67.5°，则＝(　　)
A．－－i B．－＋i
C．－i D．1
5．(多选)下列命题中正确的是(　　)
A．复数z的辐角的主值是θ，则z2的辐角的主值是2θ
B．复数z的辐角的主值是θ，则的辐角的主值是2π－θ
C．复数z1，z2的辐角的主值分别是θ1，θ2，则z1z2的辐角的主值是θ1＋θ2
D．复数z1，z2的辐角的主值分别是θ1，θ2，且θ1>θ2，则的辐角的主值是θ1－θ2
二、填空题
6．8(cos240°＋isin240°)×[2(cos150°－isin150°)]＝________．
7．将复数1＋i所对应的向量绕原点按逆时针方向旋转角θ，所得向量对应的复数是－2i，则角θ的最小正值是________．
8．在复平面内，点A对应的复数为1，点B对应的复数为3＋i，将向量绕点A按逆时针方向旋转90°，并将模扩大到原来的2倍，得向量，则点C对应的复数为________．
三、解答题
9．计算：
(1)；
(2)×；
(3)÷.
10．设复数1＋i在复平面内所对应的向量是，将绕原点O按顺时针方向旋转，得到的向量为，求向量所对应的复数(结果用复数的代数形式表示)．
7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
一、选择题
1．已知复数z1＝cosα＋isinα和复数z2＝cosβ＋isinβ，则复数z1z2的实部是(　　)
A．sin(α－β) B．sin(α＋β)
C．cos(α－β) D．cos(α＋β)
答案：D
解析：∵z1z2＝(cosα＋isinα)(cosβ＋isinβ)＝cos(α＋β)＋isin(α＋β)，∴实部为cos(α＋β)．故选D.
2．4(cosπ＋isinπ)÷＝(　　)
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
答案：C
解析：4(cosπ＋isinπ)÷＝2＝2＝－1＋i.故选C.
3．计算(cos36°＋isin36°)－5的结果为(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．
答案：A
解析：原式＝＝＝－1.故选A.
4．已知复数z＝cos67.5°＋isin67.5°，则＝(　　)
A．－－i B．－＋i
C．－i D．1
答案：A
解析：＝＝＝－－i.故选A.
5．(多选)下列命题中正确的是(　　)
A．复数z的辐角的主值是θ，则z2的辐角的主值是2θ
B．复数z的辐角的主值是θ，则的辐角的主值是2π－θ
C．复数z1，z2的辐角的主值分别是θ1，θ2，则z1z2的辐角的主值是θ1＋θ2
D．复数z1，z2的辐角的主值分别是θ1，θ2，且θ1>θ2，则的辐角的主值是θ1－θ2
答案：BD
解析：若θ∈[π，2π)，则z2的辐角的主值为2θ－2π，A不正确；的辐角的主值为2π－θ，B正确；若θ1＋θ2≥2π，则z1z2的辐角的主值为θ1＋θ2－2π，C不正确；D正确．
二、填空题
6．8(cos240°＋isin240°)×[2(cos150°－isin150°)]＝________．
答案：16i
解析：原式＝16(cos240°＋isin240°)×[cos(－150°)＋isin(－150°)]＝16(cos90°＋isin90°)＝16i.
7．将复数1＋i所对应的向量绕原点按逆时针方向旋转角θ，所得向量对应的复数是－2i，则角θ的最小正值是________．
答案：
解析：∵z＝1＋i＝2，∴将复数1＋i所对应的向量绕原点按逆时针方向旋转角θ，所得向量对应的复数为z1＝2(cosθ＋isinθ)＝2＝－2i，∴θ＋＝＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，θ取得最小正值.
8．在复平面内，点A对应的复数为1，点B对应的复数为3＋i，将向量绕点A按逆时针方向旋转90°，并将模扩大到原来的2倍，得向量，则点C对应的复数为________．
答案：－1＋4i
解析：对应的复数为3＋i－1＝2＋i，逆时针旋转90°，并将模扩大到原来的2倍，即可得对应的复数为(2＋i)×2(cos90°＋isin90°)＝(2＋i)×2i＝－2＋4i.设点C对应的复数为z，则z－1＝－2＋4i，故z＝－1＋4i.
三、解答题
9．计算：
(1)；
(2)×；
(3)÷.
解：(1)＝()2＝2＝＋i.
(2)因为－i＝＝，
所以×
＝×
＝×
＝cos＋isin
＝cos＋isin
＝＋i.
(3)因为－＋i＝cos＋isin，
所以÷
＝÷
＝
＝＝＋i.
10．设复数1＋i在复平面内所对应的向量是，将绕原点O按顺时针方向旋转，得到的向量为，求向量所对应的复数(结果用复数的代数形式表示)．
解：复数1＋i的三角形式是2，
依题意，向量对应的复数是2＝2＝－i.
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