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2.1 有理数的加法与减法 课后探究练习2026-2027学年
人教版七年级数学上册
一、单选题
1．计算：的结果是（ ）
A．3 B． C．13 D．
2．某市冬季的一天的温差为，最低气温为，那么这天的最高气温是（　　）
A． B． C． D．
3．式子是应用了（ ）
A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法交换律、结合律
4．同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，8，，12，，16，，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为（ ）
A．或10 B．或 C．或2 D．或4
5．式子有下面的两种读法
读法一：负3，负，正5与的和
读法二：负3减4加5减8
关于这两种读法，正确的选项是（ ）
A．只有读法一正确 B．只有读法二正确
C．两种读法都正确 D．两种读法都不正确
6．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如果，且，那么p，q，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
8．请指出下面计算从哪一步开始出错（ ）
①
②
③
．④
A．① B．② C．③ D．④
9．在如图所示的九宫格中分别填入1~9不重复的9个自然数，若区域①中两个数之和为9，区域②中五个数之和为31，则阴影格子中的数可能是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
10．按按如下规律操作

每个式子得到一个整数分别为3、1、4、2，按照先后顺序写成一个数组{3，1，4，2}，那么这个数组叫做由 生成的整数组；已知某个数所生成的整数组为{}，那么这个数（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．我市某天最高温度是，最低气温是零下，那么当天的温差是___________．
12．对有理数规定一种新运算“*”：，则_______．
13．将写成省略加号的和的形式为_____．
14． _________.
15．在温控范围内，肉联厂的冷藏库能使冷藏食品每小时降温（冷藏库温度到达零下后自动停止降温），每开库一次，温度上升，现有的肉放入冷藏库，3小时后开一次库，2小时后再次开库，再关上库门4小时，此时肉的温度是________．
三、解答题
16．计算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
17．某新型农场正值草莓丰收季节，安排位员工进行草莓采摘工作．规定：采摘数量以为标准，超出部分记作正数，不足部分记作负数，下表是位员工某一天采摘草莓的实际情况．（“”表示超出，“”表示不足）
员工 员工 员工 员工 员工 员工
采摘总量（kg）
(1)员工采摘草莓数量是________；
(2)该农场预计采摘草莓，通过计算说明位员工草莓采摘实际数量是否能够达到预计数量；
(3)该农场工资标准是：完成采摘标准数量，每人获得元收入；若没达到标准数量，少扣元；若超出标准数量，多奖励元，农场该天共需支付的费用是多少元？
18．阅读下面的解题过程并解决问题：
计算：
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
…
(1)上面的计算过程中，第一步变形的依据是_____________；
(2)为了计算简便，第二步应用的运算律是_____________；（用符号表示）
(3)上面的计算过程，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是_____________；
(4)请写出正确的解答过程．
19．如图，直径为个单位长度的圆片上有一点A与数轴上的原点重合．

(1)把圆片沿数轴向左滚动半周，点到达数轴上点的位置，点对应的数是　 　；
(2)把圆片沿数轴滚动周，点到达数轴上点的位置，点对应的数是　 　；
(3)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，滚动次的情况记录如下：，，，，．
①当圆片结束滚动时，求点对应的数是多少？
②在滚动过程中，共经过　 　次数轴上表示的点；第　 　次滚动后，点距离原点最远．
20．探究规律，完成相关题目：对非零数定义一种新的运算，叫※（宏）运算．下列是一些按照※（宏）运算的运算法则进行运算的算式；；；；
(1)按照上述算式的规则计算：
①_______；
②_______；
③_______；
④_______．（括号的作用与有理数运算中的作用一致）
(2)我们在研究有理数的加法运算时，既要考虑符号，又要考虑绝对值．请你类比有理数加法的运算法则，归纳※（宏）运算的运算法则；同号两数进行※（宏）运算时，_______，异号两数进行※（宏）运算时_______．
(3)我们知道加法有交换律和结合律，请你分别举例、计算，通过例子判断在※（宏）运算中交换律和结合律是否成立？若不成立，只需举一个反例．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D A B D D B D A
1．【答案】A
【知识点】有理数加法运算、求一个数的绝对值
【分析】本题考查了求绝对值，有理数的加法运算．
先计算绝对值，再进行加法运算．
【详解】解：．
故选：A．
2．【答案】B
【知识点】有理数加法在生活中的应用
【分析】本题主要考查了有理数的加法的应用，
温差是最高气温与最低气温的差，已知温差和最低气温，求最高气温需将温差加上最低气温．
【详解】解：，
∴这天的最高气温是．
故选：B．
3．【答案】D
【知识点】有理数加法运算律
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握加法交换律和加法结合律是解题的关键．
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，用字母可以表示为
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，用字母可以表示为
【详解】解：在式子中，
的位置不变，的位置从后面交换到了前面与相加，应用了加法交换律；
式子中把和结合相加，把结合相加，应用了加法结合律；
∴式子中应用了加法交换律和加法结合律
选项A：只提到了加法交换律，不符合题意；
选项B：只提到了加法结合律，不符合题意；
选项C：分配律是乘法对加法的分配，本题中未涉及到，不符合题意；
选项D：提到了加法交换律和结合律，符合题意；
故选：D．
4．【答案】A
【知识点】有理数的加减混合运算
【分析】本题考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则，能够根据所给的条件推理出b、d的可能取值是解题的关键．根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4，再由已经填写的数，确定或，从而求出d的值，即可求解．
【详解】解：∵，
∴横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴或，
当时，，此时，
当时，，此时．
∴的值为或10．
故选：A．
5．【答案】B
【知识点】省略加法和括号的形式
【分析】本题考查有理数加减混合运算的两种读法规则，需区分运算符号与性质符号的读法逻辑．
【详解】解：① 按运算符号读取：将式子中的“”“”看作运算符号，即“负3减4加5减8”，对应题目中的读法二，该读法正确；
② 按性质符号读取：可将原式转化为，即读作“负3、负4、正5、负8的和”，题目中读法一的“负”为书写笔误；
∴只有读法二正确，
故选：B．
6．【答案】D
【知识点】有理数的减法运算
【分析】本题考查的是有理数的减法运算，掌握有理数减法法则是解题关键，根据有理数减法法则计算即可．
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选：D．
7．【答案】D
【知识点】有理数大小比较、绝对值的几何意义、有理数加法中的符号问题
【分析】本题考查有理数加法的运算法则和有理数的大小比较，绝对值的含义，解题的关键是掌握有理数的加法运算法则．根据题目条件分析出，，且，再进一步即可比较大小．
【详解】解：∵，且，
∴，，且，
∴，，
∴．
故选：D．
8．【答案】B
【知识点】有理数加减中的简便运算
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据计算过程并结合运算法则分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
．
由计算过程可得，计算错在第②步，
故选：B．
9．【答案】D
【知识点】有理数加减混合运算的应用
【分析】本题考查有理数的加减法的应用，先求得九宫格数字总和为45，再求得区域①和区域②以外的2个格子中的数字之和为5，再根据“九宫格中为从1到9不重复的9个自然数”即可求解．
【详解】解：因为九宫格数字总和为，
所以区域①和区域②以外的2个格子中的数字之和为，
∵，
∴阴影格子中数字可能是4，
故选：D．
10．【答案】A
【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，涉及连分数展开的概念，给定整数组 ，对应的连分数为 ，计算此连分数即可得到原始分数.
【详解】解：∵ 连分数展开式为
先计算最内层：
然后：
最后：
∴ 原始分数为
故选A.
11．【答案】10
【知识点】有理数减法的实际应用
【分析】本题主要考查了有理数减法的实际应用，温差是最高气温与最低气温的差，根据有理数减法法则求解即可．
【详解】解：，
∴当天的最大温差是，
故答案为：10．
12．【答案】0
【知识点】有理数的加减混合运算
【分析】本题考查有理数的加减运算，根据新运算的定义，将，代入计算即可．
【详解】解：根据定义，．
故答案为：．
13．【答案】
【知识点】省略加法和括号的形式
【分析】本题考查有理数的加减混合运算，根据题意直接去括号即可，特别要注意符号的变化．
【详解】解：．
故答案为：．
14．【答案】
【知识点】有理数加减中的简便运算
【分析】本题考查有理数的加减法，把两个数结合为一组，进行计算即可求解
【详解】解：
，
故答案为.
15．【答案】
【知识点】有理数加减混合运算的应用
【分析】本题考查了有理数加减法的应用，理解题意是解决本题的关键．
根据温度变化规则，逐步计算降温与开库后的温度变化即可．
【详解】解：∵初始温度为，
∴降温3小时：每小时降温，共降温，温度变为，
开库一次：温度上升，变为，
降温2小时：每小时降温，共降温，温度变为，
再次开库：温度上升，变为，
降温4小时：每小时降温，共降温，温度变为，
未达到降温下限，故最终温度为，
故答案为：．
16．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】有理数的加减混合运算
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．先化简括号，再根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
17．【答案】(1)
(2)能，
理由：位员工草莓采摘实际数量是，
∵，
∴位员工草莓采摘实际数量是能达到预计数量．
(3)农场该天共需支付的费用是元
【知识点】有理数加法在生活中的应用、正负数的实际应用
【分析】（1）以为标准，超出部分记作正数，不足部分记作负数，由此即可求解；
（2）计算出位员工的采摘数量与进行比较即可；
（3）分别计算出各员工的支付情况，最后求和即可．
【详解】（1）解：以为标准，超出部分记作正数，不足部分记作负数，
∵员工采摘总量（kg）是，
∴员工采摘草莓数量是，
故答案为：．
（2）略
（3）解：采摘标准数量，每人获得元收入；若没达到标准数量，少扣元；若超出标准数量，多奖励元，
员工采摘总量（kg）是，需支付的费用是：（元），
员工采摘总量（kg）是，需支付的费用是：（元），
员工采摘总量（kg）是，需支付的费用是：（元），
员工采摘总量（kg）是，需支付的费用是：（元），
员工采摘总量（kg）是，需支付的费用是：（元），
∴农场该天共需支付的费用是：（元）．
【点睛】本题主要考查正负数在实际中的运用，掌握有理数的加减混合运算是解题的关键．
18．【答案】(1)有理数减法法则
(2)
(3)二；写成了
(4)
【知识点】有理数加减中的简便运算、有理数的减法运算、有理数的加减混合运算、有理数加法运算律
【分析】（1）根据“减法变加法（减一个数等于加它的相反数）”确定第一步的变形依据；
（2）第二步调整数的位置，对应加法交换律；
（3）检查步骤中符号是否正确，发现第二步，将误写为；
（4）先通过加法交换律调整数的顺序，再用结合律分组计算（小数与小数结合、分数与分数结合），最终得出结果．
【详解】（1）解：有理数的减法法则（减去一个数等于加上这个数的相反数）．
（2）解：加法交换律： ；
（3）解：从第二步开始出错，错误原因是：将误写为，符号处理错误；
（4）解：
．
19．【答案】(1)
(2)或6
(3)①；②；
【知识点】用数轴上的点表示有理数、正负数的实际应用、有理数的减法运算
【分析】本题考查了有理数的混合运算、圆的周长公式，数轴；
（1）利用圆的周长以及滚动周数，结合数轴，即可得出点C对应的数；
（2）利用圆的周长以及滚动周数，结合数轴，即可得出点D对应的数；
（3）①利用滚动的方向即周数，结合数轴，算出最后A点位置；②根据（1）得出圆片沿数轴滚动周，点在数轴上是个单位，然后再根据圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，滚动次的记录分别得出滚动过程，即可得出答案．
【详解】（1）解： ，
把圆片沿数轴向左滚动半周，点到达数轴上点的位置，点对应的数是，
故答案为：；
（2）解： ，
把圆片沿数轴滚动周，点到达数轴上点的位置，点对应的数是或6，
故答案为：或6；
（3）解：①，即向左滚动了周，
，
圆片结束滚动时，点对应的数是；
②第次：从滚动到了，经过数轴上表示的点；
第次：从滚动到了，经过数轴上表示的点；
第次：从滚动到了，经过数轴上表示的点；
第次：从滚动到了，经过数轴上表示的点；
第次：从滚动到了，不经过数轴上表示的点；
共有次经过数轴上表示的点，第次滚动后，点距离原点最远．
故答案为：，．
20．【答案】(1)①7；②6；③；④5；
(2)同号得正，并把它们的绝对值相加；异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
(3)
解：交换律在※（宏）运算中适用，结合律在※（宏）运算中不适用，理由如下：
设这两个有理数为a，b，
若a，b均为正数，则，，
∴；
若a，b均为负数，则，，
∴；
若a，b异号，且a的绝对值大于b的绝对值，则，，
∴；
综上所述，交换律在※（宏）运算中适用；
∵，，且，
∴结合律在※（宏）运算中不适用．
【知识点】有理数的加减混合运算
【分析】本题考查有理数的加减运算，解答本题的关键是理解※（宏）运算法则．
（1）根据题干中的例子求解即可；
（2）根据题目中的例子可以总结出※（宏）运算的运算法则；
（3）据（1）中的结论分别采用有理数加法交换律和结合律计算可以解答本题．
【详解】（1）解：①；
②；
③；
④
；
（2）解：根据题意得：归纳※（宏）运算的运算法则：同号两数进行※（宏）运算时，同号得正，并把它们的绝对值相加，异号两数进行※（宏）运算时，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
故答案为：同号得正，并把它们的绝对值相加；异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
（3）略
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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