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2.2 有理数的乘法与除法 课后概念精练2026-2027学年
人教版七年级数学上册
一、单选题
1．计算的结果等于（ ）
A． B． C．6 D．7
2．的倒数是（ ）
A．2 B．0.2 C． D．
3．计算：（ ）．
A．3 B． C． D．14
4．已知 a ，b ，c 为非零有理数 ，若，则 a ，b ，c 可能是 （ ）
A．a，b，c同负 B．，b与c同号 C．，a与c同号 D．
5．在算式变形：中，运用了（ ）
A．分配律 B．乘法交换律
C．乘法交换律和分配律 D．分配律和乘法结合律
6．计算：的结果是 （ ）
A． B． C． D．
7．若定义新运算规定：，则计算的结果为（ ）
A． B． C．0 D．10
8．某商店有两件进价不同的运动衫均以120元卖出，其中一件盈利，一件亏损，则卖这两件运动衫，该商店总的盈亏情况是（）
A．不盈不亏 B．亏损16元 C．盈利16元 D．无法确定
9．用纸板做长方体无盖纸盒，已经在纸板上画出了两个相邻的面（如图）．按这样的规格制作，可以做出不同的纸盒．其中用纸板最多的纸盒需要纸板（ ）．（粘接处忽略不计）
A． B． C． D．
10．如题图，1个和4个叠在一起的杯子放在刻度尺的两侧，刻度尺的0刻度线与两叠杯子底面平齐，左右两叠杯子上边缘对应刻度尺上的读数分别是和．若多个杯子叠放一起的总高度是，则杯子的个数为（ ）．
A．13 B．14 C．15 D．16
二、填空题
11．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，比较大小：_______．（填，或）
12．甲、乙、丙三个数之和为180，甲数是乙数的3倍，乙数是丙数的2倍，那么甲、乙、丙三个数分别是________、______、_______．
13．定义一种新运算：对于任意有理数，都有，，则的值为_______．
14．如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是的倒数．若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是________．
15．名同学同台演出，演出中每名同学需相互握一次手，则握手的次数一共____次.
三、解答题
16．计算下列各题：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
17．已知有理数在数轴上的对应点如图所示．
(1) ， ，（填“”“”或“”）
(2)把下列四个数分别在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来．
．
18．简便运算纠错：
小伟对进行了如下运算：
解：原式…第一步
……第二步
……第三步
……第四步
解答下列问题：
(1)第一步的运算法则是__________；
(2)以上运算中的错误出现在第_________步，错误原因是________；
(3)请你从错误的那一步开始完成余下部分的正确解答或用其它方法完整解答．
19．某工厂加工一批比赛专用乒乓球，按国际比赛规定乒乓球的直径标准为，但是实际生产的乒乓球直径可能会有偏差，下表是该工厂加工的个乒乓球的直径检验记录：（“＋”表示超出标准，“－”表示不足标准）
个数 1 2 1 11 3 2
偏差/mm 0
(1)其中偏差最大的乒乓球直径是_______；
(2)若偏差在“”以内的乒乓球可以作为合格产品，求这些乒乓球的合格率．
20．综合与实践
【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以完美地将数与形结合，而平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题．
【问题情境】
(1)平移运动
一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动个单位长度到达点，然后再向右移动个单位长度到达点．请画出一条数轴，并表示出三点的位置．
(2)翻折变换
①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示7的点与表示______的点重合．
②若数轴上两点之间的距离为（点在点的左侧，且折痕与①折痕相同），当两点经折叠后重合，则点表示的数为______，点表示的数为______．
③如图，一条数轴上有三点，其中点表示的数分别是，现以为折点，将数轴向右对折．若对折后点对应的点为，且点与点之间的距离为3，求点表示的数．
试卷第1页，共2页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B B B D B B C A
1．【答案】C
【知识点】两个有理数的乘法运算
【详解】解：．
2．【答案】D
【知识点】倒数
【详解】解：∵乘积为1的两个数互为倒数，
设的倒数为x，则，
∴，
∴的倒数是．
3．【答案】B
【知识点】有理数的除法运算
【分析】本题考查了有理数的除法运算，根据有理数的除法运算法则计算，即可作答．
【详解】解：依题意，，
故选：B．
4．【答案】B
【知识点】多个有理数的乘法运算
【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，解题的关键是熟练正确处理符号．
根据得到a、b、c中负数的个数为0或2，据此判断各选项即可．
【详解】解：∵，
∴a、b、c中负数的个数为0或2，
A、当a、b、c同负时，，故该选项错误；
B、当且b与c同号时，若b、c同正，则；若b、c同负，则，故可能；
C、∵，无论a、c同正还是同负，则，故，故不可能；
D、∵，∴，故不可能；
故选：B．
5．【答案】B
【知识点】有理数乘法运算律
【分析】本题考查乘法运算律的识别，需根据各运算律的定义判断算式变形所运用的规律．
【详解】解：运用了乘法交换律，未涉及分配律和结合律
故选：B．
6．【答案】D
【知识点】有理数乘除混合运算
【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，需按照从左到右的顺序计算，并注意负号的处理．乘除为同级运算，应依次进行．按照从左至右的顺序计算即可．
【详解】解：
，
．
∴ 最终结果为 9．
故选： D．
7．【答案】B
【知识点】有理数四则混合运算
【分析】本题考查新定义运算，只需将对应数值代入给定的新运算公式，按照有理数四则运算法则计算即可．
【详解】解：∵，
∴
．
故选：B．
8．【答案】B
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算的应用，涉及百分数的实际应用（利润问题），熟练掌握“进价售价（利润率）”并通过总售价与总进价的比较判断盈亏是解题的关键．
先分别求出两件运动衫的进价，再计算总售价与总进价的差值，判断盈亏．
【详解】解：∵盈利的运动衫进价为元，亏损25%的运动衫进价为元，
∴元，
故选：B．
9．【答案】C
【知识点】有理数乘法的实际应用、正方体、长方体的表面积
【分析】此题主要考查了长方体的表面积的计算方法，由题意可知，这个纸盒的长、宽、高分别为厘米、厘米和厘米，利用长方体的表面积公式 ，再减去最小的一个面的面积即可求解，解题的关键是确定出长方体的长、宽、高的值．
【详解】解：
，
故选：．
10．【答案】A
【知识点】有理数除法的应用
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的运算法则．
根据题意列出算式进行求解即可．
【详解】解：多一个杯子增加的高度为，
∴（个），
（个），
故选：A．
11．【答案】
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负
【分析】本题考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，有理数的乘法法则，解题的关键是根据实数在数轴上的位置，正确判断出和的符号．由数轴可知，，，从而得到，，最后根据有理数的乘法法则即可得解．
【详解】解：由数轴可知，，，
，，
．
故答案为：．
12．【答案】 120 40 20
【知识点】有理数四则混合运算
【分析】将丙数看作1份，则乙数是2份，甲数是6份，可求得丙数是20，则乙数为40，甲数是120．
【详解】解：将丙数看作1份，
因为甲数是乙数的3倍，乙数是丙数的2倍，
所以乙数是2份，甲数是（份），
所以丙数是，
则乙数是，甲数是，
答：甲数是120，乙数是40，丙数是20．
13．【答案】
【知识点】有理数四则混合运算
【分析】本题考查了有理数混合运算，理解新运算的定义是解题关键．
先根据新运算的定义得出运算式子，再计算有理数的乘法与加减法即可得．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为 13．
14．【答案】
【知识点】数轴上两点之间的距离、倒数、数轴上的翻折
【分析】本题考查了倒数定义，数轴折叠问题，由题可知的倒数为，则点表示，又、重合，故有折痕点，从而可得与重合的点表示的数为，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由题可知：的倒数为，
∴点表示，
∵、重合，
∴折痕点：，
∴与重合的点表示的数为：，
故答案为：．
15．【答案】
【知识点】有理数乘除混合运算
【分析】考查有理数乘除运算．解题关键是注意每一次握手对每个人来说重复算了一次．
根据每两个人都握手次可得每个同学参与了次握手，但每一次握手算了次，由此列式计算即可．
【详解】解：有名同学，每个人握手的次数为次，
∵每两个人握手一次，
∴他们握手的总次数为次．
故答案为：．
16．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算
【分析】按照有理数混合运算的法则进行计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
17．【答案】(1)
(2)
画数轴得：
∴．
【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负
【分析】本题考查了用数轴比较有理数大小，用数轴上的点表示数及判断式子的正负，关键是掌握知识点解决问题；
（1）通过在数轴上的位置，由“小减大为负；不为零的两数相乘，同号为正”，来判断式子的正负；
（2）先将绝对值和乘方化简，然后在数轴上表示出来，最后按从左到右的顺序用小于号连接起来．
【详解】（1）解：∵
∴，，
故答案为：
（2）略
18．【答案】(1)除以一个数等于乘以这个数的倒数
(2)三，同号相乘应为正
(3)
解：原式
．
【知识点】有理数乘法运算律、有理数的除法运算、有理数四则混合运算
【分析】本题考查了有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．
（1）根据有理数的除法运算法则即可解答；
（2）根据有理数的乘法运算法则即可解答；
（3）先计算除法，再用乘法分配律计算，最后计算加减即可．
【详解】（1）解：第一步的运算法则是除以一个数等于乘以这个数的倒数；
故答案为：除以一个数等于乘以这个数的倒数；
（2）解：以上运算中的错误出现在第三步，错误原因是同号相乘应为正；
故答案为：三，同号相乘应为正；
（3）略
19．【答案】(1)
(2)
【知识点】正负数的实际应用、有理数加法运算、有理数四则混合运算
【分析】此题考查了正数和负数，有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）根据题意列式计算即可；
（2）根据误差在“”以内的球可以作为合格产品，求出误差在“”以内的球的数量占总数的百分比即可得到结论．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴这些球的合格率是，
答：这些乒乓球的合格率为．
20．【答案】(1)
根据题意，可得点为．
点为，
点为．
三点在数轴上表示如下．
(2)①；②；③或
【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数加法运算、有理数除法的应用
【分析】本题考查了数轴，翻折的性质，有理数的运算；
（1）①根据用数轴上的点表示有理数即可求解．
②根据题意找到其规律即可求解．
（2）①设表示的点与表示的点重合，根据翻折的性质即可求解．
②根据数轴上两点之间的距离即可求解．
③根据翻折的性质即可求解．
【详解】（1）略
（2）①表示的点与表示的点重合，
翻折的点为，
设表示的点与表示的点重合，
点对应的点为，
解得：，
故与表示的点重合，
故答案为：．
②数轴上、两点之间的距离为，设、在数轴上所对应的数为，，
点在点的左侧，且折痕与①折痕相同，
，，
∴，，
故表示的点为，表示的点为，
③分两种情况：
当点落在点的左边时，因为点与点之间的距离为，
所以点在数轴上表示的数为，
所以点表示的数为；
当点落在点的右边时，因为点与点之间的距离为．
所以点在数轴上表示的数为，
所以点表示的数为．
综上所述，点表示的数为或．
答案第1页，共2页
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