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5.3 实际问题与一元一次方程 课后概念精练
2026-2027学年人教版七年级数学上册
一、单选题
1．一项工作，甲单独做需完成，乙单独做需完成．现在由乙单独先做，剩下的再由甲、乙一起做，还需几小时完成？设剩下的部分还要完成，下面所列方程正确的（ ）
A． B． C． D．
2．某商品按进价提高后标价，再打8折销售，售价为112元，则该商品的进价为（ ）
A．80元 B．90元 C．100元 D．120元
3．某中学七年一班足球队参加比赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分该队共赛了9场比赛保持不败，共得21分，该队胜了多少场？设该足球队胜了场，根据题意所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟需付话费0.4元（这里均指市内电话），一个月内通话（ ）分钟时，两种通话方式的费用相同．
A．100 B．150 C．200 D．250
5．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为（ ）
7
a 3
1
A．6 B．3 C．0 D．
6．小红所在城市的居民用水实行“阶梯价格”收费，收费办法是：每户用水不超过，每立方米水费元；超过，每立方米加收1.05元，小红家今年3月份用水，缴纳水费89.6元，根据题意列出关于的方程，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，大长方形由6个长宽比均为的小长方形组成，其中仅两个小长方形的形状大小相同．已知小长方形的宽为7，则这个大长方形的面积为（ ）
A．1701 B．1702 C．1703 D．1704
8．如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．若点以每秒个单位长度的速度从点出发向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发向左运动，经过秒，，两点之间的距离为，则的值为（ ）
A．2或4 B．2或 C．4 D．或4
9．一列火车匀速行驶，经过一条长的隧道需要的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是．则火车的长度是（ ）
A．60米 B．70米 C．80米 D．90米
10．如果甲、乙、丙三个村合修一段水渠，计划出工65人，按各村受益土地面积出工，求各村应出工的人数．
①设甲、乙、丙三村分别派人，依题意可得；
②设甲村派x人，依题意得；
③设甲村派x人，依题意得；
④设丙村派x人，依题意得．
上面所列方程中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①③
二、填空题
11．日历中连续五天的和是45，则最中间一天的日期是______号．
12．我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问醑酒几何？”大意是：现有一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，那么醑酒_______斗．
13．小明比爸爸小26岁，今年爸爸的年龄正好是小明的3倍，求小明今年的年龄．设小明今年岁，由题意可列方程为__________．
14．一批布料，正好可以做36件上衣，也正好可以做60条裤子，一件上衣和一条裤子可以配成一套，则这批布料最多可以做 _______套衣服．
15．如图，若天平平衡，则x的值为________．
三、解答题
16．某校组织学生参加植树活动，已知七年1班有28人在甲处植树，七年2班有21人在乙处植树．现调七年3班20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处人数的2倍，问应调往甲处多少人？设应调往甲处x人，根据题意可列得方程？
17．为了让老年人能享受到高品质的生活服务，某市持续推动适老改造项目，计划安装一批无障碍通道扶手．现有甲、乙两安装组，甲组每天安装6套，乙组每天比甲组多安装3套，甲组单独安装这些扶手比乙组单独安装多用12天，需要安装的无障碍通道扶手共有多少套？
18．某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共140只，购进140只节能灯的进货价恰好为3700元，这两种节能灯的进价、预售价如表：（利润售价进价）
型号 进价（元/只） 预售价（元/只）
甲型 20 25
乙型 35 40
(1)求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？
(2)在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润560元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只？
19．小明爸爸在一家电信公司了解到两种移动电话计费方法：计费方法A是每月收月租费30元，通话时间120分钟内免费，超过120分的部分按每分钟0.25元加收通话费；计费方法B是每月收月租费50元，通话时间200分钟内免费，超过200分的部分按每分钟0.2元收通话费．
(1)若小明爸爸一个月的通话时间大约在150分钟和160分钟之间，请通过计算说明选用哪种计费方式，可以节省费用？
(2)小明爸爸当前选择了计费方式A，有一个月累计通话240分钟，话费m元．若改成用计费方法B，则同样话费m元，可多通话多少分钟？
(3)从节省话费的角度考虑，帮小明爸爸选择合适的计费方式．
20．如图，数轴上点A表示的数为8，点B位于点A左侧，且．
(1)写出数轴上点B表示的数 ．
(2)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示实数x的点与表示实数3的点之间的距离．试探索：
①若，则 ；
②求的最小值，并写出此时x的取值范围．
(3)动点P从O点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．求当t为多少秒时，A，P两点之间的距离为2．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C D D A B B C D
1．【答案】C
【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元一次方程应用，根据题意可得甲的工作效率为，乙的工作效率为，设剩下的部分还要完成，则甲的工作时间为，乙的工作时间为，根据甲、乙的工作量之和等于总工作量列方程即可．
【详解】解：设剩下的部分还要完成，
由题意得，，
故选：C．
2．【答案】C
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】根据销售问题的等量关系“进价×(1+提高的百分比)×折扣率=售价”，设进价为未知数，列一元一次方程求解即可．
【详解】解：设该商品的进价为元，
根据题意得：，
解得，
即该商品的进价为100元．
3．【答案】C
【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解不败含义，明确胜平场次及得分规则是解题关键．该队保持不败，故无负场，胜场和平场得分之和为总得分，根据得分规则列方程即可．
【详解】解：设胜了x场，则平了场．
根据题意，得．
故选：C．
4．【答案】D
【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．一个月内通话x分钟时，两种通话方式的费用相同，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设一个月内通话x分钟时，两种通话方式的费用相同，
根据题意得：，
解得：，
答：一个月内通话250分钟时，两种通话方式的费用相同．
故选：D
5．【答案】D
【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)
【分析】根据幻方各行、各列、对角线的和相等的性质，列出一元一次方程求解即可．
【详解】解：∵幻方中各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，
观察右上到左下的对角线，三个数和为：，
∴所有行、列、对角线的和均为 ，
又第一列三个数的和为：，
∴可得方程，
解得 ．
6．【答案】A
【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)
【分析】根据“阶梯价格”收费办法列出方程即可．
【详解】根据题意可得，．
故选：A．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
7．【答案】B
【知识点】整式加减的应用、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查长方形的性质、一元一次方程的应用以及几何图形的拼接与面积计算，解题关键是根据小长方形的长宽比和图形拼接关系，设出未知数并列出方程求出大长方形的长和宽，最终求得面积．
根据题意得小长方形的长为14；设小长方形、的宽为，长为，结合图形拼接关系，得到小长方形的长和宽，根据长宽比为，列出关于的方程，解方程即可求出大长方形的长和宽，进而求得大长方形的面积．
【详解】解：每个小长方形的长宽比均为，小长方形的宽为，
小长方形的长为，
依题意，设小长方形、的宽为，则长为，
由图可知，小长方形的宽为，则长为，
小长方形的长为，则宽为，
∴小长方形的宽为，长为，
则
解得
大长方形长为，
宽为，
大长方形的面积为．
故选：B．
8．【答案】B
【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上两点之间的距离
【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，根据题意设经过秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为，相遇前和相遇后距离为，分别列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵点表示的数为，点表示的数为，
设经过秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为，
当，相遇前，可得，
解得：；
当，相遇后，可得，
解得：；
综上，t的值为2或；
故选：B．
9．【答案】C
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．
设火车的长度是米，根据经过隧道行驶距离为隧道长加车长，灯光照车时间为车长，利用速度相等列方程求解即可．
【详解】解：设火车的长度是米，
根据题意，得，
解得，
∴火车的长度是80米．
故选：C．
10．【答案】D
【知识点】比例分配(一元一次方程的应用)
【分析】根据三个村出工人数的比例，对每种设未知数方式分别列方程，再判断正误即可．
【详解】解：①设甲、乙、丙三村分别派，，人，满足，总人数和为，正确；
②设甲村派人，由比例关系可得乙村应出人，丙村应出人，总人数方程应为，与所给方程不符，错误；
③由②的推导可知，所给方程符合题意，正确；
④设丙村派人，由比例关系可得甲村应出人，乙村应出人，总人数方程应为，与所给方程不符，错误．
综上，正确的是①③．
11．【答案】9
【知识点】日历问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设最中间一天的日期为x号，则连续五天的日期之和可表示为，根据题意列出方程求解．
【详解】解：设最中间一天的日期为x号，则连续五天的日期分别为．则它们的和为：，
根据题意，得：，
解得：．
即最中间一天的日期是9号．
故答案为：9
12．【答案】
【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)
【分析】设醑酒为斗，则清酒为斗，根据总谷子数30斗列出方程求解即可；本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意列出方程是解题的关键．
【详解】解：设醑酒为斗，则清酒为斗，
根据题意得，
去括号得，
合并同类项得，
移项得，
系数化为1得，
故答案为：．
13．【答案】
【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设小明今年x岁，则爸爸今年岁，根据年龄差为26岁列出方程即可．
【详解】解：设小明今年x岁，则爸爸今年岁，
根据题意得：．
故答案为：．
14．【答案】22
【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握配套问题，找出等量关系式列出一元一次方程是解题的关键；
设这批布料总量为 1，最多可以做x套衣服，根据做一件上衣需要的布料为，做一条裤子需要的布料为，一件上衣和一条裤子可以配成一套,列出一元一次方程，求解，然后取正整数即可解答．
【详解】解：这批布料最多可以做x套衣服，根据题意得：
解得：，
，
所以，这批布料最多可以做22套衣服．
15．【答案】
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．
根据“天平平衡”列方程求解即可．
【详解】解：∵天平平衡，
∴，
解得：．
故答案为：．
16．【答案】
【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)
【分析】设应调往甲处x人，根据在甲处植树的人数是乙处人数的2倍列方程即可．
【详解】解：设应调往甲处x人，
根据题意可列得方程为：．
17．【答案】216套
【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设需要安装的无障碍通道扶手共有S套，则甲单独安装的时间为天，乙单独安装的时间为天，根据甲组单独安装这些扶手比乙组单独安装多用12天建立方程求解即可．
【详解】解：设需要安装的无障碍通道扶手共有S套，
由题意得，，
解得，
答：需要安装的无障碍通道扶手共有216套．
18．【答案】(1)购进甲种型号的节能灯80只，购进乙种型号的节能灯60只
(2)乙型号节能灯按预售价售出了25只
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
（1）设该商店购进甲种型号的节能灯x只，则可以购进乙种型号的节能灯只，根据“购进140只节能灯的进货款恰好为3700元”列方程，解方程即可求解；
（2）设乙型节能灯按预售价售出的数量是y只，由两种节能灯共获利560元列方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：设该商店购进甲种型号的节能灯x只，则可以购进乙种型号的节能灯只，
由题意可得：，
解得：，
（只），
答：该商店购进甲种型号的节能灯80只，购进乙种型号的节能灯60只；
（2）解：设乙型节能灯按预售价售出的数量是y只，
由题意得，
解得：，
答：乙型节能灯按预售价售出的数量是25只．
19．【答案】(1)计算方法A
(2)10分钟
(3)当通话时间<200分钟时，选择计费方法A；当通话时间>200分钟时，选择计费方法B；当通话时间为200分钟时，两个方案可以任选一个
【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)
【分析】（1）根据计费方法表示出通话费用，再根据计费方法求出通话时间，进一步即可求解；
（2）根据题意列出方程，求出方程的解，得到的值，再按照计费方法求出通话时间相减即可得到结果；
（3）分三种情况：①当时间时；②当时间时；③当时间时；来讨论．
【详解】（1）解：选择A的话，计算方法A的费用在元和元之间；
，计算方法B需要元．
所以选择计算方法A可以节省费用．
（2）解：由题意得：（元），
若改成用计费方法B，设通过时间为分钟，则，
解得：（分钟），
（分钟），
所以可多通话10分钟；
（3）解：当通话时间分钟时，，选择计费方法A；
当通话时间分钟时，，选择计费方法B；
当通话时间为分钟时，，两个方案可以任选一个．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
20．【答案】(1)
(2)①5或11；②最小值为22，
(3)t为秒或秒
【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，绝对值的含义，一元一次方程的应用，理解题意，熟练的建立方程求解是关键．
（1）直接利用数轴上两点之间的距离可得答案；
（2）①根据的几何意义，可得，再解方程即可；②根据绝对值的几何意义，的最小值为22，可得在与之间，（包含端点）；
（3）由A，P两点之间的距离为2，所以P点表示的数为6或10；再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：点B表示的数为：，
故答案为：．
（2）①根据的几何意义结合，
可得，
解得：或11；
故答案为：5或11；
②根据绝对值的几何意义，的最小值为，
此时x的取值范围是：．
（3）∵A，P两点之间的距离为2，所以P点表示的数为6或10；
根据题意列方程得：或10，
解得或；
因此，当t为秒或秒时，A，P两点之间的距离为2．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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