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(共30张PPT)
第6节 *格点多边形的面积
第六单元 多边形的面积
概念构建,引入问题
任务1:认识格点
我们先后研究了平行四边形、三角形、梯形、 组合图形以及不规则图形的面积。今天我们来研究 格点多边形的面积。
看到这个课题,你有什么疑问吗
概念构建,引入问题
什么是格点多边形
求格点多边形的面积也有计算公式吗
要知道什么是格点多边形,首先要知道什么是格点。猜猜看！
会不会是方格上的点？
方格纸
概念构建,引入问题
用字面意思去理解词语,是个好办法。请看,这是一张方格纸。
横线与竖线交叉形成的点,称为“格点”。
仔细观察这张方格纸,格点在哪里 请在练习单上标出3个格点。
方格纸
概念构建,引入问题
如果我们把线擦去,只留下横线和竖线的交点,这些剩下的点,就是我们刚才说的“格点”。
由这些格点组成的图,就叫作 “格点图”。
格点图
概念构建,引入问题
仔细观察格点图,和我们平时的方格纸有什么不同？
方格纸有线,格点图只有点,没有线。
格点图
概念构建,引入问题
任务2:认识格点多边形
对比这3个图形,它们的顶点位置有什么不同
概念构建,引入问题
前两个图形的顶点都在格点上,第三个图形的顶点有的不在格点上。
概念构建,引入问题
结合我们刚才认识的格点,你能给前两个图形起 一个合适的名字吗
概念构建,引入问题
可以叫“格点三角形”“格点四边形”,因为它们的顶点都在格点上。
像这样,所有顶点都在格点上的多边形,就叫作格点多边形。
今天我们就重点研究格点多边形的面积。
解决问题,探究方法
任务1:回顾旧知,尝试计算
右图中,每个小格的边长是1cm。
想一想:怎样计算这个格点多边形的面积
解决问题,探究方法
我们之前学过哪些计算图形面积的方法？
学过分割法、添补法,把不规则图形转化成长方形、三角形等基本图形计算。
谁来和大家分享一下你的计算方法和结果
解决问题,探究方法
我用分割法,把格点多边形分割成三角形、梯形等我们学过的基本图形,分别算出每个基本图形的面积,再相加,
算出这个图形的面积是2×3÷2+3×1÷2+(2+3)×1÷2+(2+3)×3÷2=14.5(cm2)。
解决问题,探究方法
我用添补法,先把格点多边形补成一个规则的大长方形,算出长方形面积,再减去添补上的几个三角形的面积,算出这个
图形的面积是6×4-(2×3÷2+3×1÷2+3×2÷2+4×1÷2)=14.5(cm2)。
解决问题,探究方法
小结:两种方法的核心都是“转化”,把不规则的格点多边形转化为规则图形。
解决问题,探究方法
任务2:出示新方法,尝试应用
除了分割法、添补法,还有一种巧妙的方法可以 计算格点多边形的面积,这种方法不用分割也不用添补,只需数出格点的个数。想知道吗
解决问题,探究方法
如果用a表示多边形内部的格点数,用b表示多边形边界上的格点数,那么格点多边形的 面积S=a+b÷2-1。
试着用这个关系式计算这个格点多边形的面积吧!
解决问题,探究方法
内部格点数a=12,边界上 格点数b=7,面积S=12+7÷2-1= 14.5(cm2)。与用分割法、添补法计算的结果一样。
解决问题,探究方法
和两种方法算出的结果一致,这只是巧合吗？我们应该怎么做？
不能仅凭一个例子下结论,我们需要再多举几个 例子来验证这个公式。
解决问题,探究方法
任务3:再次举例,验证公式
请拿出练习单,完成教材“试一试”的任务:
(1)在练习单方格纸上任意画几个格点多边形;
(2)先用分割法或者添补法算出它们的面积;
(3)再数出格点,用关系式S=a+b÷2 1计算面积;
(4)对比两组结果,看一看这个关系式是否成立。
解决问题,探究方法
经过多组例子验证,这个关系式是成立的！
这个规律是奥地利数学家皮克于1899年证明的, 因此被称为皮克定理。
格点多边形面积(S)=内部格点数(a)+边界上格点数(b)÷2-1
解决问题,探究方法
若每个小方格的边长是2cm,这个格点多边形的 面积是多少？
小结:皮克定理算出的是图形相当于占多少个小方格。若方格边长不是1厘米,先用皮克公式求出方格数量,再乘单个小方格的面积,就能得到图形的实际面积。
巩固练习,灵活运用
1.基础题:先数出内部格点数和边界上的格点数,再运用皮克定理计算面积。
巩固练习,灵活运用
2.拓展题(选做):猜想一下,如果把两个格点多边形拼在一起,它们的a(内部格点数)、b(边界格点数)、S(面积)之间会发生什么变化？动手拼一拼,验证猜想。
巩固练习,灵活运用
小结:
①面积S:一定可以直接相加
拼接后的组合图形面积=两个格点多边形面积之和。
理由:拼接只是把两个图形拼在一起,没有增加、也没有去掉图形部分,总面积不变。
巩固练习,灵活运用
②内部格点a:不能直接相加,有可能变多
理由:公共边上,除两个端点以外的格点,拼接前属于边界格点;拼接后藏在图形内部,变成内部格点,所以内部格点总数会增加。
巩固练习,灵活运用
③边界格点b:不能直接相加,一定变少
理由:重合公共边上的格点,在原来两个图形里都算作边界格点;拼接后,这条边不再是组合图形的外轮廓,所以边界格点数量会减少。
课堂总结
今天我们一起探究了格点多边形的奥秘。回顾 这节课的学习,你有哪些收获？(可以从“知识、数学方法、情感”三个方面总结。)
(知识):认识了格点、格点多边形,学会皮克定理,可以用公式S=a+b÷2 1计算格点多边形面积。
课堂总结
(方法):继续用到转化思想;还学会了猜想、举例验证,用多种方法互相检验计算结果。
(情感):小小的格点中藏着有趣的数学规律,数学家发现定理,需要大量例子反复验证。
作业设计
寻找1至2个格点多边形(如棋盘上的图形),拍照 记录;数出它的内部格点数和边界上格点数,运用皮克定理计算图形面积(可以忽略实际边长,按“小方格 边长为1”计算)。

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