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18.5 分式方程 课时分层练2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．下列方程中是分式方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．受天气等诸多因素影响，苹果平均每千克涨价4元，已知涨价前40元购买的苹果质量与涨价后60元购买的苹果质量相同，设涨价前价格为元/千克，所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．若关于的分式方程的解为，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
4．若关于的方程无解，则的取值为（ ）
A． B． C． D．3
5．某社区组织居民去距离社区的环保主题公园参加环保宣传活动，一部分居民骑共享单车先出发，后其余居民骑共享电动车出发，结果同时到达．已知共享电动车的速度是共享单车速度的3倍，设共享单车的速度为，根据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
6．为了估计池塘里有多少条鱼，先从湖里捕捞条鱼做上标记，然后放回池塘去，经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次再捕捞条鱼，发现有2条有标记，那么你估计池塘里有多少条鱼（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
7．在解方程的过程中，去分母后正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．设乙队单独施工一个月能完成总工程的，根据题意，可列方程（ ）
A． B． C． D．
9．电视机、摄像机等电器的电路中有许许多多的元件，它们都有电阻．如图所示，当两个电阻、并联时，总电阻R满足，若，，则的值为（ ）
A．60 B．50 C．40 D．30
10．《九章算术》中有题为：每头牛比每只羊贵1两，20两买牛，15两买羊，买得牛、羊的数量相等，求每头牛的价格．根据题意，嘉嘉和淇淇分别列出了尚不完整的方程如图所示．下列说法不正确的是（ ）
嘉嘉： 淇淇：
A．表示每头牛的价格 B．表示买得牛（羊）的数量
C．表示 D．表示
二、填空题
11．请写出一个未知数是的分式方程，并且当时没有意义______．
12．将分式方程化为整式方程，方程两边可以同时乘__________．
13．若分式方程有增根，则增根是_____， _____．
14．甲、乙两地之间的高速公路全长200km，比原来国道的长度少了20km，高速公路通车后，某长途汽车每小时行驶的路程比在原来国道上多45km，从甲地到乙地的行驶时间是原来的．设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为，则可得方程___________．
15．在“母亲节”前夕，某花店用16000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快预售一空．根据市场需求情况，该花店又用7500元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．则第二批鲜花每盒的进价是______元．
三、解答题
16．解下列方程：
(1)
(2)
17．已知方程．
(1)若是方程的解，求m的值；
(2)若，解方程．
18．在学习“分式方程的应用”时，王老师给出了如下的例题，小明和小颖两名同学都列出了对应的方程．
例：某县城修一条通往市区的快速通道，有甲、乙两个工程队一起施工．已知甲队修路与乙队修路所用的时间相等，且甲队每天比乙队少修，求乙队每天修路的长度． 小明： 小颖：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)①小明同学所列方程中的表示：__________，列方程所依据的等量关系是：________；
②小颖同学所列方程中的表示：__________，列方程所依据的等量关系是：_________；
(2)请你在两个方程中任选一个，解答老师的例题．
19．某人近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车
燃油车油箱容积：50 新能源车电池容量：50
油价：6.6元/ 电价：0.36元/
续航里程： 续航里程：
备注： 燃油车的续航里程是指：燃油车在最大燃料储备下可连续行驶的总里程． 新能源车的续航里程是指：电动车在充满电的情况下，能够行驶的最长距离．
(1)根据表格中的数据，燃油车每千米行驶的费用为___________，新能源车每千米行驶的费用为___________．（用含的代数式表示）
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.49元，请分别求出这两款车的每千米行驶费用．
(3)在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4000元和5470元，在不考虑其他因素时，每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低．（年费用年行驶费用年其他费用）试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B B B C A A A D
1．【答案】D
【知识点】分式方程的定义
【分析】分式方程的定义为：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分母不含未知数的方程是整式方程．
【详解】解：A选项，分母为5和4，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求；
B选项，方程是二元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求；
C选项，分母为2和3，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求；
D选项，分母为，含有未知数，符合分式方程的定义，
2．【答案】A
【知识点】分式方程的经济问题
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设涨价前价格为元/千克，则，涨价后价格为元/千克，再根据涨价前40元购买的苹果质量与涨价后60元购买的苹果质量相同列出方程即可．
【详解】解：设涨价前价格为元/千克，
由题意得，，
故选：A．
3．【答案】B
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查了分式方程的解，把代入方程计算，即可求出m的值．
【详解】解：把代入得，
解得，
故选：B．
4．【答案】B
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程无解的条件是解题关键．
先解分式方程得，再由方程无解可得，然后把代入中，即可求出的取值．
【详解】解：方程两边同时乘以，得，
整理得，．
当，即时，该方程无解，
把代入中，解得．
故选：B．
5．【答案】B
【知识点】分式方程的行程问题
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是根据路程、速度、时间的关系，结合共享单车和共享电动车行驶时间的差异列出方程．
先分别表示出共享单车和共享电动车行驶所需的时间，再根据共享单车先出发（换算为小时）且同时到达，得出两者时间差的等式．
【详解】解：设共享单车的速度为，则共享电动车的速度为，
根据题意可得方程：，即．
故选：B．
6．【答案】C
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、分式方程和差倍分问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，样本估计总体，解题关键是列出分式方程求解．
根据标记鱼的比例在样本中的比例等于在总体中的比例建立分式方程求解．
【详解】解：设池塘中鱼的总数为条，
可得方程：，
解得：，
因此，池塘中鱼的总数估计为条，
故选：C．
7．【答案】A
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考查解分式方程，通过找到分母的最简公分母，乘以方程两边，消除分母，得到正确等式即可．
【详解】解：∵方程 的分母为和，
∴最简公分母为，
去分母得：，
故选：A ．
8．【答案】A
【知识点】分式方程的工程问题
【分析】本题考查了分式方程的应用——工程问题，熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，列方程，是解题的关键．
设乙队单独施工1个月完成总工程的，将总工程量记为单位1，根据“甲完成的工程量+乙完成的工程量=总工程量”列方程，整理后对应选项即可．
【详解】∵总工程量记为单位1，甲单独1个月完成总工程的，
∴两队共同工作的半个月中，甲完成的工程量为，乙完成的工程量为，
∵工程全部完成，总工程量为1，
∴可得方程 ，
移项整理得 ，与选项A一致．
故选：A．
9．【答案】A
【知识点】分式方程的其它实际问题
【分析】本题考查了分式方程的实际运用，根据总电阻R满足，且，，建立分式方程进行求解，即可解题．
【详解】解：总电阻R满足，且，，
，
解得，
经检验是该方程的解，
故选：A．
10．【答案】D
【知识点】列分式方程
【分析】本题考查了分式方程的应用；根据题意，每头牛比每只羊贵1两，牛、羊数量相等．嘉嘉的方程中，表示每头牛的价格，表示每只羊的价格；淇淇的方程中，若为牛（羊）的数量，则为牛价格，由方程和题意可知，表示羊的价格；根据题意，羊的价格为，故应为；因此选项B正确，选项D错误．
【详解】解：设每头牛价格为两，每只羊价格为两，
∵，且牛数量为，羊数量为，数量相等，
∴．
嘉嘉方程：，对比得x为牛价格，为羊价格，即，故A、C正确．
淇淇方程：，为数量，则为牛价格，牛价格减1为羊价格，即，又羊价格为，
∴，而非，故B正确，D错误．
故选：D．
11．【答案】(答案不唯一)
【知识点】分式方程的定义
【分析】根据时没有意义可知，当时，分式的分母为0，根据条件进行构造即可．
【详解】解：一个未知数是且当时没有意义的分式方程为答案不唯一．
故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程的概念和方程有增根，掌握使分式方程的最简公分母的值为0的方程的根是增根，是解题的关键．
12．【答案】
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】该题考查了解分式方程，找出分式方程的最简公分母即可．
【详解】解：，分式方程的分母为和，最简公分母为，方程两边同时乘即可化为整式方程．
故答案为：．
13．【答案】 4 1
【知识点】分式方程无解问题
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出 的值，进而求出 的值即可；
【详解】解：去分母得： ，
∵分式方程有增根，
∴，
即 ，
把 代入整式方程得：
故答案为：4，1
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行： 化分式方程为整式方 程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值
14．【答案】
【知识点】分式方程的行程问题
【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是根据时间关系列出分式方程．
先求出原来国道的长度以及长途汽车在高速公路上的速度，再根据“从甲地到乙地的行驶时间是原来的”这一关系列出方程．
【详解】解：已知高速公路全长，比原来国道的长度少了，所以原来国道的长度为，
设长途汽车在原来国道上行驶的速度为，因为高速公路通车后，长途汽车每小时行驶的路程比在原来国道上多，所以在高速公路上的速度为，
根据时间路程速度，原来在国道上行驶的时间为小时，在高速公路上行驶的时间为小时，
又因为从甲地到乙地在高速公路上的行驶时间是原来在国道上的，
所以可列方程．
故答案为：．
15．【答案】150
【知识点】分式方程的经济问题
【分析】本题考查了分式方程的应用．
设第二批鲜花每盒的进价为x元，则第一批每盒进价为元，根据第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，列出方程求解即可．
【详解】解：设第二批鲜花每盒的进价是x元，则第一批每盒进价为元，
∴第一批购进的盒数为盒，第二批购进的盒数为盒．
∵第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
故第二批鲜花每盒的进价是150元．
故答案为：150．
16．【答案】(1)
(2)
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，是解题的关键．
（1）先去分母，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可；
（2）先去分母，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】（1）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解；
（2）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解．
17．【答案】(1)
(2)
【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考查了分式方程的解，解分式方程，
对于（1），将方程的解代入原方程，求出m的值即可；
对于（2），将m的值代入原方程，再根据解分式方程的步骤求出解，然后检验．
【详解】（1）解：∵是方程的解，
∴，
解得；
（2）解：当时，，
去分母，得，
移项，合并同类项，得，
系数化为1，得．
经检验，.是原方程的根．
18．【答案】(1)①甲队每天修路的长度，甲队修路与乙队修路所用时间相等；
②甲队修路所用的时间（或乙队修路所用的时间），甲队每天比乙队少修；
(2)若选小明的方法，乙队每天修路
【知识点】分式方程的工程问题
【分析】本题考查分式方程的工程问题，设出恰当的未知数，准确抓住数量关系列出等量关系式是解题的关键．
（1）小明的方法是：设甲队每天修的路为x米，则甲队修路与乙队修路所用时间相等；小颖的方法是：设甲队修路所用时间为y天，乙队每天比甲队多修，以此数量关系列出两个分式方程；
（2）解出分式方程即可．
【详解】（1）解：①甲队每天修路的长度，甲队修路与乙队修路所用的时间相等；
②甲队修路所用的时间（或乙队修路所用的时间），甲队每天比乙队少修；
（2）解：若选小明的方法，设甲队每天修，
则有，
解这个分式方程，得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：乙队每天修路．
19．【答案】(1)元；元
(2)燃油车的每千米行驶费用为0.55元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元
(3)超过3000
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、列代数式、分式方程的其它实际问题
【分析】本题考查代数式表示，分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式．
（1）根据最大燃料储备时所用总费用除以其续航里程，以及充满电时所用总费用除以其续航里程，列式表示即可；
（2）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.49元，建立方程求解，进而算出这两款车的每千米行驶费用，即可解题；
（3）设不考虑其他因素时，每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低，结合“年费用年行驶费用年其他费用”建立不等式求解，即可解题．
【详解】（1）解：根据表格中的数据，燃油车每千米行驶的费用为：（元），
新能源车每千米行驶的费用为：（元），
故答案为：元，元；
（2）解：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.49元，
，
解得，
经检验，使得，
是该方程的解，
燃油车每千米行驶的费用为：（元），
新能源车每千米行驶的费用为：（元），
答：燃油车的每千米行驶费用为0.55元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元；
（3）解：设不考虑其他因素时，每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低，
，
解得，
答：每年行驶里程超过3000千米时，买新能源车的年费用更低．
答案第1页，共2页
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