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特殊三角形（B卷·综合能力培优卷）
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2026八上·杭州月考）如图，为内一点，平分，，垂足为点，交于点，，若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八上·安州月考）如图，等边纸片的边长为12，E，F是边BC的三等分点，分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的的周长是（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
3．（2025八上·余姚期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则的周长的最小值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．（2025八上·南山期中）我国汉代数学家赵爽验证勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为，，斜边长为．若，，则每个直角三角形的面积为（　　）
A．48 B．96 C．24 D．20
5．（2025八上·仙居期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八上·宁波期中） 如图，等边△ABC中， BD平分∠ABC，点P、Q分别为AB、AD上的点，且QD=6，BP=AQ=8，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为(　　)
A．22 B．20 C．16 D．14
7．（2025八上·鄞州期中） 如图， 在△ABC中， AB=AC， AD是角平分线， 且AD=8， BC=12， 点E为AC中点，则DE的值为(　　)
A．5 B．5.8 C．6 D．6.5
8．（2025八上·福田期中）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，摆放正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2026·浙江模拟）如图，在中，，．按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；②作直线；③以点为圆心，以为半径画弧交直线于点；④连接交于点．则（　　）
A． B． C． D．
10．（2026八上·临平期末）如图，在中，和的平分线相交于点O，过O点作交于点E，交于点F，过点O作于D，下列四个结论．（1）；（2）；③点O到各边的距离相等；④设，，则，正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025八上·西湖月考）如图，在3×3的正方形网格中，则　 　°．
12．（2025八上·龙华月考）已知在中，，若，，则的面积是　 　．
13．（2025八上·嵊州期中）如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是　 　．
14．（2025八上·杭州期中）如图，DE和DF分别是线段AB和BC的垂直平分线，若∠A=70°，∠C=40°，则∠B的度数为　 　.
15．（2025·台江模拟）如图，在中，，，，为的中点，点为内一动点，且，若点为中点，则当的和最小时，的度数为　 　°．
16．（2026八上·宽城期末）如图，在中，，，于点．、分别是边、上的动点，且，连接．给出下面四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④平分．上述结论中，所有正确结论的序号是　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2026八上·祁东期末）（1）已知a，b，c是△ABC的三边长，化简：|b-c-a|-|a-b+c|；
（2）一个等腰三角形的周长为25cm，一边长为5cm，求另两边的长.
18．（2026八上·祁东期末）如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离AB=20米，点A与地面上点C（点B，C处于同一水平面上）的距离AC=25米，且BC=15米.
（1）求∠ABC的度数；
（2）现这架无人机沿AB所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边AC的垂直平分线上，连接CD，求这架无人机向下飞行的距离（AD的长）.
19．（2026八上·惠来期末）如图，某社区有一块四边形空地．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且．
（1）连接，试判断的形状，并写出证明过程；
（2）求这块空地的面积．
20．（2026八上·东莞期末）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯水平方向的跨度为3米，且左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的跨度相等．
（1）这两个滑梯的倾斜角与的大小关系如何？请说明理由．
（2）求右边滑梯的高度．
21．（2025八上·安次期中）如图，在中，，是的中点，在的延长线上找一点，连接并延长交的延长线于点，连接．
（1）若，的周长为8，求的周长；
（2）若，，求的度数．
22．（2025八上·雨花月考）如图，在中，是边上的中线，，， 交的延长线于点．
（1）若，，求的长；
（2）求证：为等腰三角形．
23．（2025八上·武侯月考）如图，在中．
（1）如图1，若，求的面积；
（2）如图2，，为外的一点，连接，且，过点作交的延长线于点，请写出之间的数量关系，并给出证明；
（3）如图3，，作平分交于点，过点作交的延长线于点，点为直线上的一个动点，连接，过点作，且始终满足，连接，，请直接写出的最小值．
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特殊三角形（B卷·综合能力培优卷）
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2026八上·杭州月考）如图，为内一点，平分，，垂足为点，交于点，，若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：D．
【分析】先利用SAS得到，即可得到，解题即可．
2．（2025八上·安州月考）如图，等边纸片的边长为12，E，F是边BC的三等分点，分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的的周长是（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，且边长为12，
∴，，
∵E，F是边BC的三等分点，
，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，且边长为4，
∴的周长是12．
故答案为：C．
【分析】
根据△ABC是等边三角形，因此可得，边长；因为点E、F是BC的三等分点，由此可以推出；结合DE平行于AC、DF平行于AB，根据平行线的性质可得，因此可以得到的三个内角均为60°，即它是边长为4的等边三角形，由此即可计算得到的周长．
3．（2025八上·余姚期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则的周长的最小值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解析】【解答】解：∵是的垂直平分线，
∴点A与点C关于对称．
连接与的交点为M，则此时点M为使周长最小时的位置．
∵点D是底边上的中点，且是等腰三角形，
∴．，
∵，，
∴．
∵，
∴的周长．
故选：D．
【分析】根据垂直平分线性质可得点A与点C关于对称，连接与的交点为M，则此时点M为使周长最小时的位置，根据等腰三角形三线合一性质可得．，再根据三角形面积可得AD，再根据三角形周长即可求出答案.
4．（2025八上·南山期中）我国汉代数学家赵爽验证勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为，，斜边长为．若，，则每个直角三角形的面积为（　　）
A．48 B．96 C．24 D．20
【答案】B
【解析】【解答】解：由图可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴每个直角三角形的面积=，
故答案为：B．
【分析】本题结合图中信息以及勾股定理，列式得出，由以及完全平方公式，综合可得，继而变形求出，最后根据三角形面积公式计算即可。
5．（2025八上·仙居期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选： D．
【分析】由等腰三角形等边对等角，得到两组相等的内角；再根据三角形外角等于不相邻两个内角之和，建立角度的数量关系式，通过角的和差运算算出目标角的度数．
6．（2025八上·宁波期中） 如图，等边△ABC中， BD平分∠ABC，点P、Q分别为AB、AD上的点，且QD=6，BP=AQ=8，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为(　　)
A．22 B．20 C．16 D．14
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，
∴BA=BC，D为AC中点
∵AQ=8，QD=6.
∴AD=DC=AQ+QD=14.
作点Q关于BD的对称点Q'，连接PQ'交BD于E，连接QE，如图，
此时PE+EQ的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ’
∵AQ=8，AD=DC=14
∴QD=DQ'=6，
∴CQ'=BP=8
∴AP=AQ'=20
∵∠A=60°
∴△APQ'是等边三角形
∴PQ'=PA=20.
∴PE+QE的最小值为20
故选：B.
【分析】作点Q关于BD的对称点Q'，连接PQ'交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ'.
7．（2025八上·鄞州期中） 如图， 在△ABC中， AB=AC， AD是角平分线， 且AD=8， BC=12， 点E为AC中点，则DE的值为(　　)
A．5 B．5.8 C．6 D．6.5
【答案】A
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC
∴AD⊥BC，CD=BD=BC=6
∴AC=
∵E为AC的中点
∴DE=AC=5
故答案为：A .
【分析】由等腰三角形“三线合一”知CD=BC，AD⊥BC，由勾股定理得AC的长，由直角三角形的性质得DE的长.
8．（2025八上·福田期中）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，摆放正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴以7，24，25三根木棒能摆成直角三角形，以15，20，25三根木棒能摆成直角三角形，即C选项符合题意．
故答案为：C．
【分析】
根据勾股定理的逆定理：两条较小边的平方和等于最长边的平方，计算后再逐一判断即可解答.
9．（2026·浙江模拟）如图，在中，，．按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；②作直线；③以点为圆心，以为半径画弧交直线于点；④连接交于点．则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：连接，如图，
由作法得垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：C
【分析】本题以尺规作图为背景，综合考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定、等腰直角三角形的性质以及三角形内角和定理。解题的关键是连接AG，由作图步骤可知EF垂直平分AB，从而得到GA=GB；再根据“以B为圆心，BA为半径画弧”可得BG=BA，因此AB=BG=AG，推出△ ABG为等边三角形，故∠ABG=60°。在△ABC中，由AB=BC且∠ ABC=90°得∠BAP=45°。最后在△ABP中利用三角形内角和为180°，即可求出∠APB=180°-60°-45°=75°。理解尺规作图每一步的几何意义是正确推理的前提。
10．（2026八上·临平期末）如图，在中，和的平分线相交于点O，过O点作交于点E，交于点F，过点O作于D，下列四个结论．（1）；（2）；③点O到各边的距离相等；④设，，则，正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，
结论（2）正确，符合题意；
在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，
结论（1）正确，符合题意；
过点作于，作于，连接，如图：
在中，和的平分线相交于点，
，，
，
∴结论（3）正确，符合题意；
又，OM=ON=OD=m，
，
结论（4）错误，不符合题意；
故正确的结论有3个，
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，即可求得；由角平分线的定义和平行线的性质得出，，进而得出；过点作于，作于，连接，由角平分线的性质定理得出，然后利用三角形的面积公式即可得出，即可得到结论．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025八上·西湖月考）如图，在3×3的正方形网格中，则　 　°．
【答案】180
【解析】【解答】解：如图标注，
∵在和中
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
同理得：，
∴．
故答案为：180．
【分析】利用方格纸的特点得出AG=OE，∠AGO=∠DEO=90°，OG=DE，从而由“SAS”判断出△AOG≌△ODE，由全等三角形的对应角相等得出∠1=∠DOE，∠4=∠AOG，由直角三角形两锐角互余及等量代换得出∠1+∠4=90°；同理证得∠3+∠2=90°，从而根据等式的性质即可求出答案.
12．（2025八上·龙华月考）已知在中，，若，，则的面积是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，即，
∴的面积为．
故答案为：．
【分析】先根据勾股定理得到，进而根据完全平方公式得到，即，从而根据三角形的面积即可求解。
13．（2025八上·嵊州期中）如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是　 　．
【答案】36
【解析】【解答】解：连接，
则，
，即，
为直角三角形，
四边形的面积，
故答案为：36．
【分析】连接，根据勾股定理“直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方 ”求出，已知得其符合勾股定理的逆定理从而得到是一个直角三角形，分别求出和的面积和，则四边形面积可求．
14．（2025八上·杭州期中）如图，DE和DF分别是线段AB和BC的垂直平分线，若∠A=70°，∠C=40°，则∠B的度数为　 　.
【答案】110°
【解析】【解答】解：连接BD，如图所示，
∵ DE和DF分别是线段AB和BC的垂直平分线 ，
∴AD=BD=CD，∠A=∠DBA=70°，∠DBC=∠C=40°，
∴∠B=∠DBA+∠DBC=70°+40°=110°。
故答案为：110° .
【分析】本题做出辅助线后，根据“垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，得出AD=BD=CD，然后根据等腰三角形底角相等，即可得出∠A=∠DBA=70°，∠DBC=∠C=40°，最后将∠B变为∠DBA+∠DBC，计算即可。
15．（2025·台江模拟）如图，在中，，，，为的中点，点为内一动点，且，若点为中点，则当的和最小时，的度数为　 　°．
【答案】50
【解析】【解答】解：如图，
取中点，连接，
∵为的中点，，
∴，
∴，
∵点为中点，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当点三点共线时最小，且为的长，
∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴.
故答案为：．
【分析】取中点，连接，进一步根据条件证明全等，根据全等性质得相等，即可得，当点三点共线时最小，且为的长，即可证明是等腰三角形，根据等腰三角形性质得当的和最小时，的度数为.
16．（2026八上·宽城期末）如图，在中，，，于点．、分别是边、上的动点，且，连接．给出下面四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④平分．上述结论中，所有正确结论的序号是　 　．
【答案】①②③
【解析】【解答】解：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，DM=DN
∴是等腰直角三角形，故①②正确，符合题意；
∵，，
∴，
在中，，
∴，故③正确，符合题意；
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵与不一定相等，
∴不一定成立，
∴平分不一定成立，④不正确，不符合题意；
综上所述：所有正确结论的序号是①②③，
故答案为：①②③．
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得 ∠DAM=∠DCN=45°，AD=CD，∠ADC=90°，由角的构成及同角的余角相等得出∠ADM=∠CDN，从而利用“ASA”可证△AMD≌△CND，由全等三角形的对应边相等得出AM=CN，DM=DN，据此可判断①②；由等量减去等量差相等可得CM=BN，在Rt△CMN中，利用勾股定理得出等式，然后等量代换即可判断③； 根据等腰三角形的性质，得到不一定成立，即可证明④不正确.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2026八上·祁东期末）（1）已知a，b，c是△ABC的三边长，化简：|b-c-a|-|a-b+c|；
（2）一个等腰三角形的周长为25cm，一边长为5cm，求另两边的长.
【答案】（1）解：∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴根据三角形的三边关系得，b-cb，
∴b-c-a<0，a+c-b>0， 即a-b+c>0，
∴|b-c-a|-|a-b+c|
=-(b-c-a)-(a-b+c)
=-b+c+a-a+b-c
=0
（2）解：∵等腰三角形的周长为25cm，一边长为5cm
当5cm为腰时，25-5×2=25-10=15(cm)，
此时三角形三边分别为5cm，5cm，15cm，
∵5+5=10cm<15cm
∴这样的三边不能构成三角形，舍去；
当5cm为底边时，(cm)，
此时三角形三边分别为5cm，10cm，10cm，
∵5+10=15cm>10cm
∴这样的三边能构成三角形即等腰三角形另外两边的长分别为10cm，10cm.
【解析】【分析】(1)根据三角形三边关系得到b-c-a<0，a-b+c>0，再结合绝对值性质进行化简求解，即可解题；
(2)根据等腰三角形定义，分两种情况当5cm为腰时，当5cm为底边时，结合三角形三边关系分析求解，即可解题.
18．（2026八上·祁东期末）如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离AB=20米，点A与地面上点C（点B，C处于同一水平面上）的距离AC=25米，且BC=15米.
（1）求∠ABC的度数；
（2）现这架无人机沿AB所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边AC的垂直平分线上，连接CD，求这架无人机向下飞行的距离（AD的长）.
【答案】（1） 解：∵AB2+BC2=202+152=625，AC2=252=625，
∴AB2+BC2=AC2
∴∠ABC=90°
（2）解：设AD=x米，则BD=(20-x)米，
∵点D恰好在边AC的垂直平分线上，
∴CD=AD=x米
在Rt△BDC中，由勾股定理得DC2=BD2+BC2，
∴x2=(20-x)2+152
解得
答：这架无人机向下飞行的距离（AD的长）为米
【解析】【分析】(1)根据勾股定理的逆定理即可解答；
(2)设AD=x米，则BD=(20-x)米，由线段垂直平分线的性质得到CD=AD=x米，在Rt△BDC中，根据勾股定理建立方程求解即可.
19．（2026八上·惠来期末）如图，某社区有一块四边形空地．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且．
（1）连接，试判断的形状，并写出证明过程；
（2）求这块空地的面积．
【答案】（1）解：是直角三角形，理由如下：
证明：由题意得垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形。
（2）解：由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴这块空地的面积为．
【解析】【分析】（1）先根据条件“ 从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点 ”，得出垂直平分，然后根据垂直平分线的性质得出，最后运用勾股定理逆定理即可判定为直角三角形；
（2）由三角形面积公式得到，由勾股定理得计算得出，根据中点定义得出，此时可以利用三角形面积计算得出，最后面积求和即可。
（1）解：是直角三角形，理由如下：
由题意得垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴这块空地的面积为．
20．（2026八上·东莞期末）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯水平方向的跨度为3米，且左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的跨度相等．
（1）这两个滑梯的倾斜角与的大小关系如何？请说明理由．
（2）求右边滑梯的高度．
【答案】（1）解：与互余；理由如下：
在和中，
，
∴，
，
又，
，
即两滑梯的倾斜角与互余。
（2）解：∵，
∴米，
即右边滑梯的高度为3米．
【解析】【分析】（1）结合条件和图中信息，首先利用可判断DEF，此时即可得出，然后根据直角三角形中两个锐角互余得出，替换后即可得出与的关系；
（2）结合（1）的DEF，从而得出=3米。
（1）解：与互余；
理由：在和中，
，
∴，
，
又，
，
即两滑梯的倾斜角与互余；
（2）解：∵，
∴米，
答：右边滑梯的高度为3米．
21．（2025八上·安次期中）如图，在中，，是的中点，在的延长线上找一点，连接并延长交的延长线于点，连接．
（1）若，的周长为8，求的周长；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）解：，是的中点，
垂直平分，
．
，的周长为8，
，．
的周长=．
（2）解：，，
，
在和中，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）结合线段垂直平分线的判定及性质得出，然后将的周长列式，并结合的周长以及BE=BA=6，替换计算即可；
（2）由三角形内角和定理可求，然后利用SSS证明，全等三角形对应角相等得出，最后利用三角形外角定理列式计算即可求出∠CDE的度数。
（1）解：，是的中点，
垂直平分，
．
，的周长为8，
，．
的周长为．
（2）解：，，
，
在和中，
，
，
，
．
22．（2025八上·雨花月考）如图，在中，是边上的中线，，， 交的延长线于点．
（1）若，，求的长；
（2）求证：为等腰三角形．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵ ，
∴，，
∴是等边三角形，
∴；

（2）证明：过点作，，垂足为点；
∵平分，
∴．
又∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
【解析】【分析】（1）已知，且AD平分，即，结合条件，可推导出，由此可知是等边三角形，进而计算得到所需结果；
（2）过点分别作交AB的延长线于点，作于点；根据角平分线的性质可得，结合已知，即可证明，由全等三角形的对应角相等得到，等角对等边即可推出，得出结论.
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵ ，
∴，，
∴是等边三角形，
∴；
（2）证明：过点作，，垂足为点；
∵平分，
∴．
又∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
23．（2025八上·武侯月考）如图，在中．
（1）如图1，若，求的面积；
（2）如图2，，为外的一点，连接，且，过点作交的延长线于点，请写出之间的数量关系，并给出证明；
（3）如图3，，作平分交于点，过点作交的延长线于点，点为直线上的一个动点，连接，过点作，且始终满足，连接，，请直接写出的最小值．
【答案】（1）解：如图，过点作交的延长线于点，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
的面积为；
（2）解：，证明：如图所示：
，
，
，，，
，即，
在和中，，
，
，即，
，则，
，，
，
在和中，，
，
，，
，
，即，
又，
∴；
（3）
【解析】【解答】（3）解：延长到，使，连接，如图所示：
，
，
，
，
，
，
作关于的对称点，连接，则，
，
连接，则，
当三点共线时，最小，且等于的长，
的最小值为的值，
连接，由轴对称的性质可得，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
如图，取的中点，连接，，过点作于点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即的最小值为．
【分析】（1）过点作交的延长线于点，根据，先证明为等腰直角三角形，然后利用勾股定理求得，最后利用三角形的面积公式求解即可；
（2）在上截取，连接，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到，根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，证明，利用两角及其中一角的对边对应相等，两个三角形全等，得到 ，进而可得到，，再根据勾股定理求得，进而可证得结论；
（3）延长到，使，连接，利用两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，可证，进而得到，那么，作关于的对称点，连接，则，，连接，则，当三点共线时，最小，且等于的长，推导出的最小值为的值，取的中点，连接，，过点作于点，根据直角三角形的斜边上的中线性质和勾股定理求解即可解答．
（1）解：如图，过点作交的延长线于点，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
的面积为；
（2）解：，
证明：在上截取，连接，如图所示：
，
，
，，，
，即，
在和中，，
，
，即，
，则，
，，
，
在和中，，
，
，，
，
，即，
又，
∴；
（3）解：延长到，使，连接，如图所示：
，
，
，
，
，
，
作关于的对称点，连接，则，
，
连接，则，
当三点共线时，最小，且等于的长，
的最小值为的值，
连接，由轴对称的性质可得，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
如图，取的中点，连接，，过点作于点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即的最小值为．
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