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16.3 乘法公式 课时分层练2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．下列多项式乘法中，可用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
2．计算：的值为（ ）
A． B． C． D．
3．从图到图的变化过程中可以发现的结论是（ ）
A． B．
C． D．
4．若，则代数式为（ ）
A． B． C． D．
5．运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则的值是（ ）
A．20 B．16 C．12 D．8
7．如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．当长方形的面积为时，正方形和正方形的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
8．如果是完全平方式，则的值是（ ）
A．3 B．3或 C．6 D．6或
9．已知M＝，N＝，则M、N的大小关系是（ ）
A．M=N B．M＞N C．M＜N D．不能确定
二、填空题
10．已知，，则的值为_________________．
11．若是完全平方式，则的值是______．
12．如图，由一个长为，宽为的长方形和两个正方形（记为和）组成的图形中，若，，则图中两个正方形的面积之和是_____．
13．定义，例如．则的结果为___________
14．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图所示，它给出了（为非负整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如：
请利用以上规律求出的展开式，则的值是 ________ ．
三、解答题
15．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
16．如图1所示，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，再沿线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形．
(1)①用含，的式子分别表示图1的面积为____________，图2的面积为___________；
②由此能验证的等式是________________；
(2)请你利用（1）中得出的等式计算：．
17．如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
(1)图②中的大正方形的边长为_______；阴影部分的正方形的边长为_______；
(2)请用两种方式表示图②中阴影部分的面积；
(3)观察图②，、、这三个代数式之间有何数量关系？若，求的值．
18．如图，为了节省材料，某公司利用岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为104米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形（四边形，四边形，四边形都是长方形）组成的长方形区域，若米．
(1)用含a的代数式表示的长；
(2)求长方形面积的最大值．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C B A A D A A D D
1．【答案】C
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】根据平方差公式形式为，要求相乘的两个二项式满足一项相同，另一项互为相反数，据此判断各选项即可，
【详解】解：A、不存在互为相反数的对应项，不能用平方差公式计算；
B、，两项都相同，是完全平方形式，不能用平方差公式计算；
C、，相同项为，和互为相反数，符合平方差公式的结构特征，可用平方差公式计算；
D、，是完全平方式，不能用平方差公式计算．
2．【答案】B
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题主要考查了平方差公式，把所求式子乘以，所得结果不改变原式的结果，据此利用平方差公式求解即可．
【详解】解：
，
故选：B．
3．【答案】A
【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形
【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，利用面积法验证公式是解题的关键．通过观察图到图的图形变化，分别计算出两个图形的面积，再根据图形剪拼前后面积不变的原理，即可推导出平方差公式．
【详解】解：图一的面积可表示为，
图二的面积可表示为，
，
故选：．
4．【答案】A
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了利用完全平方公式进行运算，熟记完全平方公式是解题关键．将题中等式变形为，利用完全平方公式进行运算即可得．
【详解】解：∵，
∴
．
故选：A．
5．【答案】D
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键；
使用完全平方公式 进行计算每个选项，判断哪个等于即可．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
6．【答案】A
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式，将已知条件代入求解．
【详解】∵，
∴，
∵，，
∴，
即，
∴．
故选：A．
7．【答案】A
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题主要考查了图形的面积与完全平方公式，熟练掌握矩形的面积，周长的计算公式，正方形的面积，两数和的完全平方公式是解题的关键．用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可．
【详解】解：设，，
∵长方形的周长是，长方形的面积为
∴，，
∴，
故选：A．
8．【答案】D
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】根据完全平方公式的特征判断即可得到k的值．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
即或，故D正确．
9．【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【分析】若比较M，N的大小关系，只需计算M-N的值即可．
【详解】解：∵M＝，N＝，
∴
当 时，M>N；
当 时，M=N；
当 时，M∴M、N的大小关系不能确定．
故选D．
【点睛】本题的主要考查了比较代数式的大小，可以让两者相减再分析情况．
10．【答案】3
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】此处考查了因式分解的应用．利用平方差公式，将已知条件代入求解．
【详解】解：由平方差公式，得 ，
代入已知和，
得，
解得，
故答案为：3．
11．【答案】
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题主要考查了完全平方式，根据完全平方公式的结构特征，明确式子中首尾两项与中间项的关系，进而求解的值．
【详解】解：是完全平方式，
，
．
故答案为：．
12．【答案】
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式求出即可求解，熟练掌握完全平方公式的变形运算是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
即两个正方形的面积之和是，
故答案为：．
13．【答案】
【知识点】整式的混合运算
【分析】本题考查自定义运算，代数式运算，准确理解并代入新运算公式是解题关键．
根据新定义运算规则，将和代入公式进行计算即可．
【详解】解：根据定义， ，
则，
则．
故答案为：．
14．【答案】192
【知识点】数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算
【分析】读懂题意并根据所给的式子寻找规律,将展开，即可求解．
【详解】解：观察发现，，
，
∴，
，
∴．
15．【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】多项式除以单项式、计算多项式乘多项式、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查整式的运算，
（1）运用多项式除以单项式的法则计算，
（2）先利用完全平方公式与平方差公式展开式子，再合并同类项，
（3）运用多项式乘多项式的法则展开后合并同类项即可
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
16．【答案】(1)；；
(2)
【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形
【分析】（1）①根据阴影部分面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积即可得出图1的面积；根据梯形的面积公式即可得出图2的面积；②令图1阴影部分的面积等于图2阴影部分的面积即可得出答案；
（2）根据平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：①图1的面积为，图2的面积为，
②由①得能验证的等式是，
故答案为：；；；
（2）原式
．
【点睛】本题考查了平方差公式的证明，根据平方差公式进行计算，根据图形用不同的方式表示相应图形的面积是解本题的关键．
17．【答案】(1)，
(2)，
(3)
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、已知式子的值，求代数式的值、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查了完全平方公式的几何意义与代数运算，以及非负数的性质，通过图形拼接理解代数公式是解答本题的关键．
（1）结合长方形的长、宽与拼接后图形的边长关系，确定大正方形和阴影正方形的边长；
（2）从 “阴影图形本身的形状” 和 “大图形与小图形的面积差” 两个角度，表示阴影部分的面积；
（3）通过观察图形面积的数量关系，推导代数公式，再利用绝对值的非负性求出对应字母的值，代入公式计算结果．
【详解】（1）解：大正方形的边长，阴影部分的正方形的边长；
（2）解：阴影部分的面积第一种直接用，
第二种可看作用大正方形的面积减去4个小长方形的面积为；
（3）解：由（2）可得，
，
由题意可得，，
代入上式可得．
18．【答案】(1)米
(2)平方米
【知识点】列代数式、整式的混合运算
【分析】（1）根据三块小长方形的面积相等，即得出，进而得出，再根据总长为104米，即可求出米，从而可求出的长；
（2）由长方形的面积公式可列出等式，整理得：，再根据平方的非负性，即得出，从而得出有最大值为平方米．
【详解】（1）∵三块小长方形的面积相等，
∴，
∴．
∵总长为104米，
∴，
∴，
解得：米，
∴米；
（2），
∵，
∴当时，有最大值为平方米．
【点睛】本题考查整式混合运算的应用，平方非负性的应用．理解题意，列出算式或等式是解题关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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