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随机事件的概率（A卷·综合能力培优卷）
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2026·怀化二模）“湘”是湖南的简称.如图，将写有“三”“湘”“四”“水”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入不透明的袋中，从中随机抽取一张，抽取到的卡片上写有汉字“湘”的概率是（　　）
A． B． C． D．
2．（2026·广西模拟）从这5个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．（2026·南宁模拟）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同，如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（2026·邯郸模拟）李伟同学购买两张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择两个，则“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（2026·长沙一模）下列说法正确的是（　　）
A．抛掷质地均匀的硬币100次，一定有50次“正面向上”
B．甲、乙进行排球练习，其成绩的平均数相等，方差 则甲比乙成绩更稳定
C．为了解我国初三学生的身高情况，应采取全面调查的方式
D．数据0，0，7，7，9，5，2，7的众数是7
6．（2026·南山模拟）第十五届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举办，某体育比赛馆开设了A，B，C三个安检通道.甲从A通道进入体育比赛馆的概率是（　　）
A． B． C． D．1
7．（2026·泸县模拟）下列事件中属于必然事件的是（　　）
A．在比赛中，弱队战胜强队
B．任意画一个平行四边形，它是中心对称图形
C．掷出两枚硬币，都是正面向上
D．用、、长线段为边构成一个三角形
8．（2026·遂宁一模）下列事件中，属于随机事件的是（　　）
A．任意画一个三角形，其内角和是360°
B．两张扑克牌，1张黑桃、1张红桃，从中随机抽取1张扑克是方块
C．掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数大于0
D．拨打一个电话号码，电话正被占线中
9．（2026·大庆） 现有三双除颜色外其它都相同的运动鞋，分别是红色、黄色和绿色，将左脚的运动鞋都放在一个盒子里，将右脚的运动鞋都放在另一个盒子里，从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的概率为（　　）
A． B． C． D．
10．（2026九上·杭州开学考）1777年，法国数学家布丰做过一个投针试验：把画有等距平行线的白纸平铺在桌面上，将长度为该平行线间距一半的小针，随机投掷到该白纸上．记录针与直线相交的情况，得到部分数据，如表：
抛掷次数 1000 2000 3000 4000 5000
“针与直线相交”的频数 314 620 945 1257 1570
若投掷的次数为8000，则“针与直线相交”的频数可能最接近（　　）
A．2000 B．2500 C．3500 D．4000
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2026·荷塘三模） 2026年中国国产AI工具已形成规模化落地态势.小明妈妈的手机共安装了3款AI工具“豆包”、“千问”、“元宝”.若小明从中随机选择1款查阅资料，恰好选择“千问”的概率是　 　.
12．（2026·娄底二模）中国古代杰出的数学家祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶、杨辉，从中任选一个，恰好是赵爽的概率是　 　．
13．（2026·光明模拟）在数字1，2，3，4，5，6中任意挑选一个，该数是3的倍数的概率是　 　.
14．（2026·温州）七巧板是我国传统智力玩具，它由七块板组成.若小温从七块板中随机选择一块，则选中三角形的概率为　 　.
15．（2026·仪陇模拟）某校组织红色研学活动，需要从朱德故里、邓小平故里、罗瑞卿纪念馆、张思德纪念馆四个红色教育基地中任选一个前往，则选中朱德故里的概率是　 　．
16．（2026·庆元二模）学校组织研学，安排给九年级三辆车，小泉与小元都可以从这三辆车中任选一辆搭乘。小泉与小元同车的概率为　 　。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2026·柳州模拟）电影《哪吒之魔童闹海》截止至2025年3月10日，票房突破亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：哪吒，敖丙，太乙真人，申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片．
（1）第一次取出的卡片图案为“哪吒”的概率为_______；
（2）用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率．
18．（2026九上·平武期末）学校举办数学嘉年华活动，设计了一款“数字魔方大挑战”游戏道具．有两个特制的正方体魔方，魔方A的六个面分别标有数字1、2、2、3、3、3；魔方B的六个面分别标有数字-1、0、0、1、1、1．
（1） 若同时抛掷这两个魔方，魔方A、B落地后朝上一面数字分别记为a和b．将a、b代入一元二次方程中，求该方程有实数根的概率．
（2） 同时抛掷这两个魔方，求魔方A朝上一面数字大于魔方B朝上一面数字的概率．
19．（2026九上·双流期末）一只不透明袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同.
（1）随机从袋子中找出一个小球.则摸到白球的概率是　 　；
（2）学校开设劳动选修课，可以选择的劳动课程有：烹饪、手工、插花等十余门.小明和小刚两名同学都想选择烹饪课，但是名额只剩一个.他们决定由小明从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，若两次都是白球则小明去上烹饪课；否则小刚去上烹饪课，请用树状图或表格列出小明摸球所有可能出现的结果，并求出小明上烹饪课的概率.
20．（2026九下·浦北模拟）“天宫课堂”第四课在空间站演示了四个精彩实验：A．球形火焰；B．动量守恒；C．又见陀螺；D．奇妙“乒乓球”．为弘扬科学精神，传播航天知识，感悟榜样精神与力量，某中学要求学生课后观看“天宫课堂”．为了解本次学习情况，老师在四张完全相同的卡片上分别写了A，B，C，D，搅匀后背面朝上放置，让琪琪和莉莉各从代表这四个实验的卡片中随机选出一张在班会上分享观后感．
（1）琪琪随机选出的卡片代表的实验是“又见陀螺”的概率是多少？
（2）琪琪先从这四张卡片中随机抽取一张，然后放回，莉莉再从这四张卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求琪琪和莉莉抽到相同卡片的概率．
21．（2026·深圳模拟）某学校九年级有12个班，每班50名学生，为了调查该校九年级学生平均每天的睡眠时间，并规定如下：设每个学生平均每天的睡眠时间为t（单位：小时），将收集到的学生平均每天睡眠时间按t≤6、6睡眠时间t（小时） 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5
人数（人） 1 1 2 10 15 9 10 2
（1）组数据的众数和中位数分别是　 　，　 　；
（2）估计九年级学生平均每天睡眼时间t≥8的人数大约为多少
（3）从样本中学生平均每天睡眠时间t≤6的4个学生里，随机抽取2人，画树状图或列表法求抽取的2人每天睡眠时间都是6小时的概率。
22．（2026·深圳模拟）我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查的学生人数为 ▲ 人，并补全条形统计图；
（2）若该校七年级共有1200名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数；
（3）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．
23．（2026·内江）为弘扬内江本土文化，某校开展了以“了解内江，热爱家乡”为主题的知识竞赛活动，组织学生学习内江糖业文化、大千艺术、非遗技艺等本土文化知识，并进行了答题测评.学校从参与测评的学生中，随机抽取部分学生的答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A.优秀；B.良好；C.一般；D.不合格.根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图.
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽样调查一共抽取了 ▲ 名学生，请把条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，表示成绩等级为 C 的扇形圆心角α为　 　度；
（3）现从成绩等级为 A 的甲、乙、丙、丁四名学生中随机抽取 2 名学生，担任学校的“内江本土文化宣讲员”，请用列表法或画树状图的方法，求恰好同时抽中甲和乙两名学生的概率.
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随机事件的概率（A卷·综合能力培优卷）
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2026·怀化二模）“湘”是湖南的简称.如图，将写有“三”“湘”“四”“水”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入不透明的袋中，从中随机抽取一张，抽取到的卡片上写有汉字“湘”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：抽取到的卡片共有4种等可能结果，抽取到的卡片上写有汉字“湘”的有1种，
∴抽取到的卡片上写有汉字“湘”的概率是 ，
故答案为：B.
【分析】根据概率公式计算即可.
2．（2026·广西模拟）从这5个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：这5个数中无理数有和，
∴抽到无理数的概率是，
故答案为：B．
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，据此判断出这列数中的无理数，进而利用无理数的个数除以这列数的总个数即可求出抽到无理数的概率.
3．（2026·南宁模拟）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同，如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：画树状图如下，
共8种情况，3只雏鸟中恰有2只雄鸟有3种情况，
所以3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是，
故答案为：C
【分析】本题考查用树状图求概率，画出树状图可得总共有种等可能结果，其中恰有只雄鸟的结果有种，概率为。
4．（2026·邯郸模拟）李伟同学购买两张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择两个，则“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意，画树状图如下：
从树状图可以看出，一共有 20 种等可能的结果；其中，“两张车票都靠窗” 的情况有 2 种；因此，该事件的概率为：．
故答案为：A。
【分析】通过画树状图，列出所有等可能的结果；数出满足 “两张车票都靠窗” 的有利结果数；用 “概率 = 有利结果数 ÷ 总结果数” 的公式计算最终结果。
5．（2026·长沙一模）下列说法正确的是（　　）
A．抛掷质地均匀的硬币100次，一定有50次“正面向上”
B．甲、乙进行排球练习，其成绩的平均数相等，方差 则甲比乙成绩更稳定
C．为了解我国初三学生的身高情况，应采取全面调查的方式
D．数据0，0，7，7，9，5，2，7的众数是7
【答案】D
【解析】【解答】解：A：抛掷质地均匀硬币时，“正面向上”是随机事件，∴抛掷100次不一定有50次“正面向上”，A错误；
B：方差越大，数据波动越大，成绩稳定性越差，已知 ∴乙的成绩比甲更稳定，B错误；
C：我国初三学生总体数量大，了解身高情况适合抽样调查，不需要采用全面调查，∴C错误；
D：众数是一组数据中出现次数最多的数，该组数据中7出现的次数最多，为3次，∴众数是7，D正确.
故答案为：D.
【分析】根据概率的意义，方差的意义，调查的分类，中位数的定义逐项判断解答即可.
6．（2026·南山模拟）第十五届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举办，某体育比赛馆开设了A，B，C三个安检通道.甲从A通道进入体育比赛馆的概率是（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得甲可以从A，B，C三个安检通道进入体育比赛馆，共有3种等可能结果，其中从从A通道进入体育比赛馆的结果为1，则甲从A通道进入体育比赛馆的概率是；
故答案为：B
【分析】由题意得甲进入体育比赛馆有3种，其中从A通道进入为1种，则甲从A通道进入体育比赛馆的概率是.
7．（2026·泸县模拟）下列事件中属于必然事件的是（　　）
A．在比赛中，弱队战胜强队
B．任意画一个平行四边形，它是中心对称图形
C．掷出两枚硬币，都是正面向上
D．用、、长线段为边构成一个三角形
【答案】B
【解析】【解答】解：A、在比赛中，弱队战胜强队是随机事件，故A不符合题意；
B、任意画一个平行四边形，它是中心对称图形是必然事件，故B符合题意；
C、掷出两枚硬币，都是正面向上是随机事件，故C不符合题意；
D、长为、、长线段为边构成一个三角形是不可能事件，不是必然事件，故D不符合题意．
故选：B．
【分析】
然事件是指在一定条件下一定会发生的事件．
8．（2026·遂宁一模）下列事件中，属于随机事件的是（　　）
A．任意画一个三角形，其内角和是360°
B．两张扑克牌，1张黑桃、1张红桃，从中随机抽取1张扑克是方块
C．掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数大于0
D．拨打一个电话号码，电话正被占线中
【答案】D
【解析】【解答】解：任意画一个三角形，其内角和是360°，是不可能事件，则A不符合题意；
两张扑克牌，1张黑桃、1张红桃，从中随机抽取1张扑克是方块，是不可能事件，则B不符合题意；
掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数大于0，是必然事件，故C不符合题意；
拨打一个电话号码，电话正被占线中，是随机事件，则D符合题意；
故选：D.
【分析】先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，据此进行判断即可.
9．（2026·大庆） 现有三双除颜色外其它都相同的运动鞋，分别是红色、黄色和绿色，将左脚的运动鞋都放在一个盒子里，将右脚的运动鞋都放在另一个盒子里，从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：列表如下 ：
　 红 黄 蓝
红 红红 红黄 红蓝
黄 红黄 黄黄 黄蓝
蓝 红蓝 黄蓝 蓝蓝
共有9种等可能结果，其中符合条件的结果有3种
故答案为：B.
【分析】两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据.
10．（2026九上·杭州开学考）1777年，法国数学家布丰做过一个投针试验：把画有等距平行线的白纸平铺在桌面上，将长度为该平行线间距一半的小针，随机投掷到该白纸上．记录针与直线相交的情况，得到部分数据，如表：
抛掷次数 1000 2000 3000 4000 5000
“针与直线相交”的频数 314 620 945 1257 1570
若投掷的次数为8000，则“针与直线相交”的频数可能最接近（　　）
A．2000 B．2500 C．3500 D．4000
【答案】B
【解析】【解答】解：计算各组“针与直线相交”的频率：
频率稳定在0.314附近，
当投掷次数为时，频数，
最接近选项中的．
故选B．
【分析】
先求出题目给出的试验数据里，“投针都与直线相交”的频率，观察频率逐渐稳定到的常数，再用这个稳定的频率乘以总投掷次数，就可以估算出相交的频数.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2026·荷塘三模） 2026年中国国产AI工具已形成规模化落地态势.小明妈妈的手机共安装了3款AI工具“豆包”、“千问”、“元宝”.若小明从中随机选择1款查阅资料，恰好选择“千问”的概率是　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：∵小明从3款工具“豆包”、“千问”、“元宝”中随机选择1款查阅资料，
∴小明恰好选择“千问”的概率是．
故答案为：．
【分析】根据概率公式计算解答即可.
12．（2026·娄底二模）中国古代杰出的数学家祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶、杨辉，从中任选一个，恰好是赵爽的概率是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：共有5位数学家，赵爽是其中一位，
所以，从中任选一个，恰好是赵爽的概率是，
故答案为：.
【分析】根据概率公式计算即可．
13．（2026·光明模拟）在数字1，2，3，4，5，6中任意挑选一个，该数是3的倍数的概率是　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得：
是3的倍数的数有2和6
∴该数是3的倍数的概率是
故答案为：
【分析】根据概率公式即可求出答案.
14．（2026·温州）七巧板是我国传统智力玩具，它由七块板组成.若小温从七块板中随机选择一块，则选中三角形的概率为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：七块板中，由七块板组成，其中三角形有5块，
∴选中三角形的概率为．
故答案为： .
【分析】根据几何概率的公式计算即可.
15．（2026·仪陇模拟）某校组织红色研学活动，需要从朱德故里、邓小平故里、罗瑞卿纪念馆、张思德纪念馆四个红色教育基地中任选一个前往，则选中朱德故里的概率是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意，从四个红色教育基地中任选一个，所有等可能发生的结果共有种，选中朱德故里的结果有种，
则根据概率公式可得选中朱德故里的概率为．
故答案为：
【分析】
先确定总共由多少种选择，再确定选中朱德故里的情况数，用后者除以前者得到概率即可.
16．（2026·庆元二模）学校组织研学，安排给九年级三辆车，小泉与小元都可以从这三辆车中任选一辆搭乘。小泉与小元同车的概率为　 　。
【答案】
【解析】【解答】解：将这三辆车分别记为A，B，C，列表如下：
A B C
A (A， A) (A， B) (A， C)
B (B， A) (B， B) (B， C)
C (C， A) (C， B) (C， C)
共有9种等可能的结果，其中小泉与小元同车的结果有3种，
∴小泉与小元同车的概率为
故答案为：
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及小泉与小元同车的结果数，再利用概率公式可得出答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2026·柳州模拟）电影《哪吒之魔童闹海》截止至2025年3月10日，票房突破亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：哪吒，敖丙，太乙真人，申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片．
（1）第一次取出的卡片图案为“哪吒”的概率为_______；
（2）用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率．
【答案】（1）
（2）解：任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，作出树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的结果数为2种，
∴取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率为：，
∴取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率为．
【解析】【解答】（1）解：根据题目情境共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“哪吒”的结果有1种，则：
∴第一次取出的卡片图案为“哪吒”的概率为.
故答案为：.
【分析】（1）根据题目情境共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“哪吒”的结果有1种，根据概率公式计算即可.
（2）任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，作出树状图，根据树状图得共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的结果数为2种，代入概率公式即可得答案.
（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“哪吒”的结果有1种，
∴第一次取出的卡片图案为“哪吒”的概率为，
故答案为：；
（2）解：任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，作出树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的结果数为2种，
∴取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率为，
答：取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率为．
18．（2026九上·平武期末）学校举办数学嘉年华活动，设计了一款“数字魔方大挑战”游戏道具．有两个特制的正方体魔方，魔方A的六个面分别标有数字1、2、2、3、3、3；魔方B的六个面分别标有数字-1、0、0、1、1、1．
（1） 若同时抛掷这两个魔方，魔方A、B落地后朝上一面数字分别记为a和b．将a、b代入一元二次方程中，求该方程有实数根的概率．
（2） 同时抛掷这两个魔方，求魔方A朝上一面数字大于魔方B朝上一面数字的概率．
【答案】（1）解： 有实数根，
，
依题意，列表得：
ab 1 2 2 3 3 3
-1 (-1，1) (-1，2) (-1，2) (-1，3) (-1，3) (-1，3)
0 (0，1) (0，2) (0，2) (0，3) (0，3) (0，3)
0 (0，1) (0，2) (0，2) (0，3) (0，3) (0，3)
1 (1，1) (1，2) (1，2) (1，3) (1，3) (1，3)
1 (1，1) (1，2) (1，2) (1，3) (1，3) (1，3)
1 (1，1) (1，2) (1，2) (1，3) (1，3) (1，3)
1 (1，1) (1，2) (1，2) (1，3) (1，3) (1，3)
一共有36种等可能的结果，其中使得的有33种结果，
∴方程有实数根的概率为，即；
（2）解：依题意，且结合（1）的列表情况，
一共有36种等可能的结果，其中魔方A朝上一面数字大于魔方B朝上一面数字的有33种结果，
魔方A朝上一面数字大于魔方B朝上一面数字的概率为，即 。
【解析】【分析】(1)利用根的判别式得到a，b之间应满足的关系式，然后用列表法求出符合该关系的事件的概率即得；
(2)直接利用(1)中表格可求a>b的概率。
19．（2026九上·双流期末）一只不透明袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同.
（1）随机从袋子中找出一个小球.则摸到白球的概率是　 　；
（2）学校开设劳动选修课，可以选择的劳动课程有：烹饪、手工、插花等十余门.小明和小刚两名同学都想选择烹饪课，但是名额只剩一个.他们决定由小明从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，若两次都是白球则小明去上烹饪课；否则小刚去上烹饪课，请用树状图或表格列出小明摸球所有可能出现的结果，并求出小明上烹饪课的概率.
【答案】（1）
（2）解：从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，所有等可能出现的结果如下：
共有9种等可能出现的结果，其中两球都是白色的有4种，
∴两次揽到的球都是白色的概率为，
即小明上烹饪课的概率为.
【解析】【解答】解：(1)由于袋子中有3个球(2白1红)，摸到每个球的可能性是均等的，
∴随机从袋子中找出一个小球，则摸到白球的概率是，
故答案为：.
【分析】(1)根据概率的定义进行解答即可；
(2)用树状图表示从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可.
20．（2026九下·浦北模拟）“天宫课堂”第四课在空间站演示了四个精彩实验：A．球形火焰；B．动量守恒；C．又见陀螺；D．奇妙“乒乓球”．为弘扬科学精神，传播航天知识，感悟榜样精神与力量，某中学要求学生课后观看“天宫课堂”．为了解本次学习情况，老师在四张完全相同的卡片上分别写了A，B，C，D，搅匀后背面朝上放置，让琪琪和莉莉各从代表这四个实验的卡片中随机选出一张在班会上分享观后感．
（1）琪琪随机选出的卡片代表的实验是“又见陀螺”的概率是多少？
（2）琪琪先从这四张卡片中随机抽取一张，然后放回，莉莉再从这四张卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求琪琪和莉莉抽到相同卡片的概率．
【答案】（1）解：由题意得，在四张完全相同的卡片上分别写了A，B，C，D，
琪琪抽到又见陀螺实验的概率是．
（2）解：画树状图：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中抽到相同卡片的结果有4种，
所以
【解析】【分析】(1)本小题考查简单随机事件的概率，所有卡片完全相同且随机抽取，每张卡片被抽到的可能性相等，所以目标卡片数除以总卡片数即可；
(2)本小题考查放回抽样的概率。因为琪琪抽后放回，所以莉莉仍有 种等可能选择，两人抽取结果共有 种，再数出两人抽到相同卡片的 种结果即可。
21．（2026·深圳模拟）某学校九年级有12个班，每班50名学生，为了调查该校九年级学生平均每天的睡眠时间，并规定如下：设每个学生平均每天的睡眠时间为t（单位：小时），将收集到的学生平均每天睡眠时间按t≤6、6睡眠时间t（小时） 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5
人数（人） 1 1 2 10 15 9 10 2
（1）组数据的众数和中位数分别是　 　，　 　；
（2）估计九年级学生平均每天睡眼时间t≥8的人数大约为多少
（3）从样本中学生平均每天睡眠时间t≤6的4个学生里，随机抽取2人，画树状图或列表法求抽取的2人每天睡眠时间都是6小时的概率。
【答案】（1）7；7
（2）解：估计九年级学生平均每天睡眠时间t≥8的人是大约为：
答：九年级学生平均每天睡眠超过8小时人数约为144人
（3）解：画树状图如下：
∴由树状图可知，所有等可能结果有12种，2人睡眠时间都是6小时的结果有2种.
【解析】【解答】解：由表格可得：出现人数最多的为7小时，为15人
∴众数为7
将数据按从小到大的顺序排列，处在最中间的两位数为7，7
∴中位数为：
故答案为：7；7
【分析】（1）根据众数，中位数的定义即可求出答案.
（2）根据总人数乘以对应占比即可求出答案.
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出2人睡眠时间都是6小时的结果，再根据概率公式即可求出答案.
22．（2026·深圳模拟）我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查的学生人数为 ▲ 人，并补全条形统计图；
（2）若该校七年级共有1200名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数；
（3）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．
【答案】（1）解：60； 60﹣15﹣18﹣9﹣6＝12（人），补全条形统计图如图所示：
（2）解：1200300（人），
答：该校七年级1200名学生中选择“厨艺”劳动课程的大约有300人；
（3）解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：
第1项 第2项 园艺 电工 木工 编织
园艺 ﹣ 电工 园艺 木工 园艺 编织 园艺
电工 园艺 电工 ﹣ 木工 电工 编织 电工
木工 园艺 木工 电工 木工 ﹣ 编织 木工
编织 园艺 编织 电工 编织 木工 编织 ﹣
共有12种可能出现的结果，其中选中“园艺、编织”的有2种，
∴P（园艺、编织）．
【解析】【解答】解：（1）18÷30%＝60（人），
故答案为：60；
【分析】（1）从两个统计图中可得，选择“园艺”的有18人，占调查人数的30%，可求出调查人数；求出选择“编制”的人数，即可补全条形统计图；
（2）样本中，选择“厨艺”的占，因此估计总体1200人的是选择“厨艺”的人数．
（3）用列表法表示所有可能出现的结果，进而计算选中“园艺、编织”的概率．
23．（2026·内江）为弘扬内江本土文化，某校开展了以“了解内江，热爱家乡”为主题的知识竞赛活动，组织学生学习内江糖业文化、大千艺术、非遗技艺等本土文化知识，并进行了答题测评.学校从参与测评的学生中，随机抽取部分学生的答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A.优秀；B.良好；C.一般；D.不合格.根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图.
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽样调查一共抽取了 ▲ 名学生，请把条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，表示成绩等级为 C 的扇形圆心角α为　 　度；
（3）现从成绩等级为 A 的甲、乙、丙、丁四名学生中随机抽取 2 名学生，担任学校的“内江本土文化宣讲员”，请用列表法或画树状图的方法，求恰好同时抽中甲和乙两名学生的概率.
【答案】（1）解：50；
C等级的学生人数为名，
（2）72
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有 12 种等可能的结果，其中恰好同时抽中甲和乙两名学生的结果有 2 种，∴恰好同时抽中甲和乙两名学生的概率为
【解析】【解答】（1）解：名，
∴本次随机抽样调查一共抽取了50名学生；
故答案为：50；
解：由（1）得，；
故答案为：72；
【分析】（1）用B等级的学生人数除以占比求出调查人数，再用调查人数减去其它等级人数求出C等级的人数，补全条形统计图即可；
（2）用360°乘以C等级人数占比解答即可；
（3）画树状图得到所有等可能性的结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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