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14.3 角的平分线 课时分层练2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．在中，为钝角，用直尺和圆规在边上确定一点，使（保留作图痕迹），则符合要求的作图是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，，，AE是BC边上的高，AD是的平分线，则的度数为（ ）

A．8° B．10° C．12° D．14°
3．在中，，是上一点，平分．若，，则点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
4．将两个完全相同的等腰直角三角板如图所示摆放，使两个三角板的直角边分别和的两边重叠，两个三角板的锐角顶点重合为顶点P，作射线，则为的角平分线的依据是（ ）
A．角平分线上的点到角的两边的距离相等
B．垂直平分线的性质
C．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
D．利用“”证三角形全等后，利用全等三角形的对应角相等
5．如图，P是内一点，，，，垂足分别为D，E，F，且，则点P是的（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点
6．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路、、两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（ ）

A．各边垂直平分线的交点 B．中线的交点
C．高的交点 D．内角平分线的交点
7．如图，在中，，若以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，边于点，；再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交边于点．若的面积为，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，平分交于D，于E，点F在上，点G在上，，平分，下列结论中正确的个数（ ）．
①；②平分，③；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
9．平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的 _____．
10．如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是________．

11．如图，是的角平分线，若，则_____．
12．如图，在中，，分别以点B，C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点P，作射线．若，则的度数为________．
13．如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径画弧，与边，分别交于点E，D ；②分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点M；③作射线，交于点F；④过点F作，垂足为点G．若的面积为9，，则的长为_____．
三、解答题
14．如图，在中，．请用尺规作图法作的平分线交边于点（保留作图痕迹，不写作法）．
15．已知：如图，在中，和的角平分线相交于点P，且，，垂足分别为E、F．求证：；
16．如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，，连接．求的度数．
17．太和中学校园内有一块直角三角形(RtABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积．
18．【综合与实践】
【动手实验】数学课上，老师带领同学们对角的平分线的性质进行探究：
同学们任作一个，作出的平分线．在上任取一点，过点画出，的垂线，分别记垂足为，，测量，．第一小组的测量结果如下：
通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？
学生 学生
小明 小刚
小红 小丽
(1)【实验猜想】我们猜想角的平分线有以下性质：______．
(2)【推理证明】请结合图1，利用三角形全等证明这个性质．
如图1，已知：，点在上，，，垂足分别为，．求证：．

(3)【定理应用】如图2，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，求的最小值．
试卷第1页，共2页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C C A D C C
1．【答案】D
【知识点】作角平分线(尺规作图)
【分析】本题考查了作图—作角的平分线，根据角平分线的作法对各选项进行判断．
【详解】解：∵，
∴是的平分线，
符合要求的作图是D选项，
故选：D．
2．【答案】C
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理
【分析】根据角平分线的性质，直角三角形的性质，进行证明即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵AD是的平分线，
∴，
∵AE是BC边上的高，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的性质，直角三角形的性质，能够熟练的掌握角平分线的性质是解决本题的关键．
3．【答案】C
【知识点】角平分线的性质定理
【分析】根据角平分线的性质求解即可．
【详解】解：过点作于点，如图，
则有的长为点到的距离，
∵，
∴，
∵平分，且，，
∴，
∴点到的距离是 ．
4．【答案】C
【知识点】角平分线的判定定理
【分析】本题考查了角平分线的判定，理解图形是解题的关键．
根据图形可得，再根据角平分线的判定即可．
【详解】解：根据题意可得，
则为的角平分线，
故依据是角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，
故选：C．
5．【答案】A
【知识点】角平分线的判定定理
【分析】本题主要考查三角形角平分线的判定．根据角平分线性质的逆定理即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴是的角平分线，
同理分别是，的角平分线，
故P是角平分线交点，
故选：A．
6．【答案】D
【知识点】角平分线性质的实际应用
【分析】此题主要考查了角平分线的性质的实际应用，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在和的角平分线的交点处，即可得出答案．
【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点处，
故选：D．
7．【答案】C
【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)
【分析】由作图可知，平分，可得的边上的高与的边上的高相等，则，即可求解．
【详解】解：由作图可知，平分，
∴点到、的距离相等，即的边上的高与的边上的高相等，
∴，即，
∴．
8．【答案】C
【知识点】角平分线的判定定理、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】本题考查角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，直角三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
根据角平分线的性质定理可判断①正确；过点D作于点H，则，结合可得，根据角平分线的判定定理可判断②正确；由角平分线的定义及三角形内角和定理可判断③正确；证明，可得，根据题意，无法得到与的大小关系，可判断④错误；证明，，可判断⑤正确．
【详解】解：①∵平分，，，
∴，故结论①正确；
②过点D作于点H，如图所示：
∵平分，，，
∴，
又∵，
∴，
∴点D在的平分线上，
∴平分，故结论②正确；
③∵平分，平分，
∴，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，故结论③正确；
④在和中，
，
∴，
∴，
根据题意，无法得到与的大小关系，
∴无法得到和的大小关系，故结论④错误；
⑤在和中，
，
∴，
∴，
同理证明：，
∴，
∴，
即，故结论⑤正确，
综上所述：正确的结论是①②③⑤，共4个．
故选：C．
9．【答案】角平分线
【知识点】角平分线的判定定理
【分析】根据角平分线的判定可知．
【详解】解：根据角平分线的判定可知：平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线，
故答案为：角平分线．
【点睛】本题考查了角平分线的判定，解题关键是明确在角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
10．【答案】
【知识点】角平分线性质的实际应用
【分析】根据角平分线的性质解答即可．
【详解】解：∵加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，且加油站到公路的距离是，
∴加油站到公路和公路的距离是相等的，即它到公路的距离是．
故答案为：．
【点睛】本题考查角平分线的性质的应用，能够熟练运用角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．
11．【答案】/
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理
【分析】此题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质并表示出是解题的关键．过点D作于点E，作于点F，由是的角平分线得到，由，，求出，根据，求出结果即可．
【详解】解：过点D作于点E，作于点F，如图所示：

∵是的角平分线，
∴，
∵，，，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
12．【答案】/69度
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、作角平分线(尺规作图)
【分析】本题考查了角平分线的作法，直角三角形的特征，由作法得，直角三角形的特征得，即可求解．
【详解】解：由作法得平分，
，
，
，
故答案为：．
13．【答案】5
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)
【分析】本题主要考查了基本作图-尺规作角平分线、角平分线的性质、三角形的面积等知识点，得到是的平分线是解题的关键．
根据作图过程得到是的平分线，过F作于H，根据角平分线的性质得到，进而利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，过F作于H，
由作图过程可得：是的平分线，
∵，，
∴，
∵的面积为9，，
∴，
解得．
故答案为：5．
14．【答案】如图，即为所作．（作法不唯一）
【知识点】作角平分线(尺规作图)
【分析】根据角平分线的作图方法作图即可．
【详解】略
15．【答案】见解析
【知识点】角平分线的性质定理
【分析】过点P作于D，根据角平分线的性质即可得到．
【详解】证明：过点P作于D，
∵和的角平分线相交于点P，且，
∴，
∴．
16．【答案】
【知识点】角平分线的有关计算、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理
【分析】此题考查了角平分线的性质，理解角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解答此题的关键．过点作于点，于点，先通过计算得出，根据角平分线的性质得，，进而得，据此根据角平分线的性质可得出结论
【详解】解：如图，过点作于点，于点，
，，
，
，
，
，即为的平分线．
又，，
．
是的平分线，
，
，
点在的平分线上，
平分．
17．【答案】，
【知识点】角平分线性质的实际应用
【分析】过点分别作，是垂足，根据角平分线的性质可得，进而根据求得，进而根据三角形面积公式求解可．
【详解】解：过点分别作，是垂足．
由，得，，
是的平分线，
．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，理解角平分线的性质是解题的关键．
18．【答案】(1)角的平分线上的点到角的两边的距离相等
(2)
证明：，，
，
在和中，
，
，
；
(3)3
【知识点】垂线段最短、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理
【分析】（1）由测量结果即可得出结论；
（2）证，再由全等三角形的性质即可得出结论；
（3）当时，最小，由角平分线的性质得，即可得出结论．
【详解】（1）解：发现：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
（2）略
（3）当时，最小，
，为的角平分线，
，
的最小值为3．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、角平分线的性质以及最小值等知识，本题综合性强，熟练掌握角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
答案第1页，共2页
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