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随机事件的概率（B卷·综合能力培优卷）
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025九上·鄞州月考）一个箱子里有个白球，个红球，个黑球，它们除颜色外其余均相同从箱子里任意摸出一个球是红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九上·杭州月考）从长度为3，5，7，m（其中m为整数）的四条线段中任取三条，使它们首尾顺次相接能组成三角形的概率为，则m的值应为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2025·深圳三模）2025年是乙已蛇年，“已已如意”将蛇年与如意相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼，将分别印有“已”、“已”、“如”、“意”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取到的卡片上印有汉字“已”的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·龙岗模拟）新高考“”选科模式是指除语文、数学、外语门科目以外，学生应在历史和物理门首选科目中选择科，在思想政治、地理、化学、生物学门再选科目中选择科．某同学从门再选科目中随机选择科，恰好选择化学和生物的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·长沙模拟）某商场开业设置游戏规则如下：在10个商标牌中，有4个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，无奖金．有包含甲、乙两名幸运顾客在内的10名顾客参与这个游戏，并有如下两种游戏方式．方式一：10名顾客轮流取走10个商标牌（不用放回），其中甲第一个取商标牌，乙最后一个取商标牌．方式二：10名顾客轮流上台取一个商标牌，每位顾客登记结果后放回商标卡，其中甲第一个取商标牌，乙最后一个取商标牌．下列对甲、乙获得奖金的概率表述正确的是（　　）
A．在方式一中，甲获得奖金的概率大于乙获得奖金的概率
B．甲在方式一中获得奖金的概率大于在方式二中获得奖金的概率
C．甲、乙在两种方式中获得奖金的概率都是一样的
D．甲、乙在两种方式中获得奖金的概率不确定，与另外8名顾客有关
6．（2025·绵阳模拟）有三张不透明的卡片，正面分别绘制有如图所示的图案．已知这三张卡片反面完全相同，把这三张卡 片反面向上放置在桌面上，从中任意抽取两张，抽到的两张卡片上的图案均是中心对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九上·光明月考）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　）
A．8 B．12 C．0.4 D．0.6
8．（2025·桂阳模拟）【背景材料】人的眼皮有单眼皮与双眼皮，这是由对应的基因决定的．研究表明：决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因（记为B），另一种是隐性基因（记为b）；一个人的基因总是成对出现（如，，，），在成对的基因中，一个来自父亲，另一个来自母亲，父母亲提供基因时均为随机的．只要出现了显性基因B，那么这个人就一定是双眼皮。即基因，，均为双眼皮．
【知识应用】现有一对夫妻，两人成对的基因都是，若不考虑其他因素，则他们的孩子是单眼皮的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·潮南模拟）下列说法正确的是（　　）
A．将油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件
B．抛出的篮球会下落是随机事件
C．了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用普查的方式
D．若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定
10．（2025九上·天津市期末）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，甲、乙两辆汽车经过这个十字路口时，一辆车向左转，一辆车向右转的概率是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025九上·兰州期中）三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张记为，将数字牌放回洗匀后，再随机抽取一张记为，则的概率是　 　．
12．（2025·石门模拟）有四张完全一样且正面分别写有汉字“中”“考”“必”“胜”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是　 　．
13．（2025九上·绍兴期中）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，3，5的卡片在甲手中，标有数字2，4，6的卡片在乙手中.两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙出的卡片数字大的概率是　 　.
14．（2025九上·渠县期末）学校组织春游，安排给九年级、、三辆车，小明和小慧都可以从这3辆车中任选一辆搭乘．则小明与小慧无人能乘坐到车的概率是　 　．
15．（2025九上·达川期末）有四张正面分别标有一元二次方程的不透明卡片（如图），它们除文字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，不放回，再从余下的卡片中任取一张，则抽到的两张卡片上的一元二次方程都有实数根的概率为　 　．
16．（2025九上·洪山期末）某射击运动员在同一条件下射击成绩记录如下：
射击次数 10 50 100 200 400 1000
“射中9环以上”的次数 6 43 79 156 326 803
“射中9环以上”的频率 0.60 0.86 0.79 0.78 0.815 0.803
由上表，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为　 　（结果保留小数点后两位）．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2026九上·番禺期末）某博物馆为增强参观趣味性，推出了“文物盲盒”抽奖活动，每个盲盒中装有一件仿制文物纪念品，共有四种类型：青铜器、陶瓷、书画、玉器，且每种类型出现的可能性相等，小华和小明各购买了一个盲盒.
（1）小华抽到“青铜器”的概率是　 　；
（2）求小华和小明抽到同一种纪念品的概率.
18．（2026九上·金华期末）在古镇的休息区摆有圆形桌子，每张桌子配有6个座位，如图所示，小聪和小慧在古镇游玩，玩累了想坐下休息，涂色座位代表已有人.
（1）现小聪随机选择1个空座位坐下，选择2号空座位的概率为　 　.
（2）用画树状图或列表的方法，求小聪和小慧坐在相邻位置的概率.
19．（2026·延吉模拟）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废．
（1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是（　　）
A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件
（2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率.
20．（2025九上·南海期中）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型．科技小组的同学打算利用抽签的方式选择学习内容，他们将四个类型的图标依次制成，，，四张卡片（卡片背面完全相同），且将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
（1）从中随机抽取一张，抽到人工智能机器人的卡片的概率为　 　；
（2）从中随机抽取一张，记录卡片内容后放回洗匀，再随机抽取一张，若两次抽到的卡片内容一致，则选择该卡片内容学习．请用列表或画树状图的方法求两次抽取到的卡片内容一致的概率．
21．（2025九上·龙岗期中）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成，老师为帮助学生理解物理变化和化学变化，在课程学习中制作了如下四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，将四张卡片背面朝上．（提示：用A，B，C，D分别表示火树银花、晾干衣服、水果发霉、冰雪消融）
（1）从中随机抽取一张，则抽到的卡片内容是物理变化的概率是______；
（2）从中随机抽取两张，利用画树状图或列表的方法求抽到的卡片内容都是物理变化的概率．
22．（2025九上·广东期中）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有　 　人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为　 　．
（2）请补全条形统计图；
（3）若从对校园安全知识达到了“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
23．（2025·清镇市模拟）安全使用电瓶车可以大幅度减少交通事故造成人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动，在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全头盔情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计表．
（1）表中a的值是　 　．
（2）小星认为：宣传活动后骑电瓶车“从不戴”安全头盔的有178人，比宣传前增加了1人，因此交警部门宣传活动没有效果，小星分析数据的方法合理吗？结合统计表谈谈你的看法．
（3）宣传活动后，交警在一家有4名成员的家中，有2男2女，从4名成员中随机抽取2人进行问卷调查，请用树状图或列表法求恰好抽到一男一女的概率．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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随机事件的概率（B卷·综合能力培优卷）
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025九上·鄞州月考）一个箱子里有个白球，个红球，个黑球，它们除颜色外其余均相同从箱子里任意摸出一个球是红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵一个不透明的箱子里有有7个白球，2个红球，1个黑球，
∴从箱子中随机摸出一个球是红球的概率是：.
故答案为：B.
【分析】根据题意，先求出球的总数，再根据概率公式，求出摸出红球的概率.
2．（2025九上·杭州月考）从长度为3，5，7，m（其中m为整数）的四条线段中任取三条，使它们首尾顺次相接能组成三角形的概率为，则m的值应为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】【解答】解：∵四条线段任取三条所有的情况为4种，
∴当能组成三角形的概率为
∴满足条件任取三条能组成三角形的情况为 种，
∴有①3，5，7； ②3，5，m； ③3，7，m； ④5，7，m
∴能组成三角形，①能组成三角形；
A、当m=4时， 对于②3，5，4有3+4>5，5-3<4，
∴②能组成三角形，对于③3，7，4，：3+4=7，7-3=4，
∴③不能组成三角形，
对于④5，7，4，5+4>7，7-4<5，
∴④能组成三角形，
∵满足条件任取三条能组成三角形的情况只有3种，
∴A选项符合题意；
B、当m=5时， 对于②3，5，5有：3+5>5，5-3<5，
∴②能组成三角形，
对于③3，7，5，3+5>7，7-3<5，
∴③能组成三角形，
对于④5，7，5，5+5>7，7-5<5，
∴④能组成三角形，
∴B选项不符合题意；
C、当m=6时， 对于②3，5，6有3+5>6，6-3<5，
∴②能组成三角形，
对于③3，7，6，3+6>7，7-3<6，
∴③能组成三角形，
对于④5，7，6，5+6>7，7-5<6，
∴④能组成三角形，
∴C选项不符合题意；
D、当m=7时， 对于②3，5，7有：3+5>7，7-3<5，
∴②能组成三角形，
对于③3，7，7，3+7>7，7-3<7，
∴③能组成三角形，
对于④5，7，7，5+7>7，7-5<7，
∴④能组成三角形，
∴D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据题意可得满足条件任取三条能组成三角形的情况只有3种，再根据三角形三边关系进行逐一判断即可.
3．（2025·深圳三模）2025年是乙已蛇年，“已已如意”将蛇年与如意相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼，将分别印有“已”、“已”、“如”、“意”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取到的卡片上印有汉字“已”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：抽取到的卡片上印有汉字“已”的概率为，
故答案为：A.
【分析】根据概率公式计算即可.
4．（2025·龙岗模拟）新高考“”选科模式是指除语文、数学、外语门科目以外，学生应在历史和物理门首选科目中选择科，在思想政治、地理、化学、生物学门再选科目中选择科．某同学从门再选科目中随机选择科，恰好选择化学和生物的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：列表如下：
　 思想政治 地理 化学 生物
思想政治 　 （思想政治，地理） （思想政治，化学） （思想政治，生物）
地理 （地理，思想政治） 　 （地理，化学） （地理，生物）
化学 （化学，思想政治） （化学，地理） 　 （化学，生物）
生物 （生物，思想政治） （生物，地理） （生物，化学） 　
共有12种等可能的结果，其中恰好选择化学和生物的结果有2种，
恰好选择化学和生物的概率为．
故选：B．
【分析】列表得到所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式解答即可．
5．（2025·长沙模拟）某商场开业设置游戏规则如下：在10个商标牌中，有4个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，无奖金．有包含甲、乙两名幸运顾客在内的10名顾客参与这个游戏，并有如下两种游戏方式．方式一：10名顾客轮流取走10个商标牌（不用放回），其中甲第一个取商标牌，乙最后一个取商标牌．方式二：10名顾客轮流上台取一个商标牌，每位顾客登记结果后放回商标卡，其中甲第一个取商标牌，乙最后一个取商标牌．下列对甲、乙获得奖金的概率表述正确的是（　　）
A．在方式一中，甲获得奖金的概率大于乙获得奖金的概率
B．甲在方式一中获得奖金的概率大于在方式二中获得奖金的概率
C．甲、乙在两种方式中获得奖金的概率都是一样的
D．甲、乙在两种方式中获得奖金的概率不确定，与另外8名顾客有关
【答案】C
【解析】【解答】解：在方式一中，甲和乙获得奖金的概率都是，故选项A错误；
在方式二中，甲和乙获得奖金的概率都是，故选项B错误；
即甲、乙在两种方式中获得奖金的概率都是一样的，C选项正确，D选项错误；
故答案为：C．
【分析】根据两种方式游戏规则计算甲、乙在两种方式中获得奖金的概率即可．
6．（2025·绵阳模拟）有三张不透明的卡片，正面分别绘制有如图所示的图案．已知这三张卡片反面完全相同，把这三张卡 片反面向上放置在桌面上，从中任意抽取两张，抽到的两张卡片上的图案均是中心对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：将这三张卡片分别记为A，B，C，其中卡片B，C上的图案是中心对称图形，
根据题意，画树状图如下
由树状图可知，共有种等可能的情况，其中抽到的两张卡片上的图案均为中心对称图形的情况有种，
故所求概率为，
故答案为：B ．
【分析】由题意画出树状图，根据树状图的信息可知，共有种等可能的情况，其中抽到的两张卡片上的图案均为中心对称图形的情况有种，然后根据概率公式计算即可求解.
7．（2025九上·光明月考）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　）
A．8 B．12 C．0.4 D．0.6
【答案】B
【解析】【解答】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，
∴点落在阴影部分的概率为，
故阴影部分的面积为20×0.6=12.
∴黑色阴影的面积为约12，
故答案为：B．
【分析】利用频率估计概率的方法：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，故可以用频率的集中趋势来估计概率．
8．（2025·桂阳模拟）【背景材料】人的眼皮有单眼皮与双眼皮，这是由对应的基因决定的．研究表明：决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因（记为B），另一种是隐性基因（记为b）；一个人的基因总是成对出现（如，，，），在成对的基因中，一个来自父亲，另一个来自母亲，父母亲提供基因时均为随机的．只要出现了显性基因B，那么这个人就一定是双眼皮。即基因，，均为双眼皮．
【知识应用】现有一对夫妻，两人成对的基因都是，若不考虑其他因素，则他们的孩子是单眼皮的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：列表如下：
B b
B
b
∴一共有4种等可能性的结果数，其中他们的孩子是单眼皮的结果数有1种，
∴他们的孩子是单眼皮的概率为，
故答案为：B
【分析】先根据题意列表，进而得到一共有4种等可能性的结果数，其中他们的孩子是单眼皮的结果数有1种，再根据等可能事件的概率结合题意即可求解。
9．（2025·潮南模拟）下列说法正确的是（　　）
A．将油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件
B．抛出的篮球会下落是随机事件
C．了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用普查的方式
D．若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定
【答案】D
【解析】【解答】解：A、将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，故错误；
B、抛出的篮球会下落是必然事件，故错误；
C、了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用抽样调查的方式，故错误；
D、若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2=2，S乙2=2.5，则甲组数据较稳定，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据必然事件的概念可判断A、B；根据抽样调查与普查适宜的条件可判断C；方差越小，数据越稳定，据此判断D.
10．（2025九上·天津市期末）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，甲、乙两辆汽车经过这个十字路口时，一辆车向左转，一辆车向右转的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：画“树形图”如图所示：
∵这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中一辆向右转，一辆向左转的情况有2种，
∴一辆向右转，一辆向左转的概率为；
故答案为：Ｃ．
【分析】画出树状图，得出所有等可能结果，再得出一辆向右转，一辆向左转的情况数，再根据概率公式求解即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025九上·兰州期中）三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张记为，将数字牌放回洗匀后，再随机抽取一张记为，则的概率是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意，画出树状图如下：
一共有9种等可能结果，其中的有6种，
∴的概率是．
故答案为：．
【分析】此题是抽取放回类型，根据题意利用树状图列举出所有等可能的情况数，由图可得一共有9种等可能结果，其中a≤b的有6种，从而根据概率公式计算即可.
12．（2025·石门模拟）有四张完全一样且正面分别写有汉字“中”“考”“必”“胜”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：画树状图如图所示，
由树状图可得，一共有16种等可能性的结果数，其中抽取的两张卡片上的汉字相同的有4种可能性，
∴抽取的两张卡片上的汉字相同的概率为．
故填：．
【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出抽取的两张卡片上的汉字相同的结果数，然后根据概率公式进行计算，即可得出答案.
13．（2025九上·绍兴期中）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，3，5的卡片在甲手中，标有数字2，4，6的卡片在乙手中.两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙出的卡片数字大的概率是　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：画树状图为：
由树状图可知甲出的卡片数字比乙的卡片数字大的结果有（3，2），（5，2），（5，4），共3种，
∴P（甲出的卡片数字比乙的大）=．
故填：．
【分析】根据题意，列表或画树状图列出甲乙出的卡片数字所有等可能的结果，再得出甲出的卡片数字比乙的卡片数字大的结果数，根据事件A发生的概率公式P（A）=解答即可.
14．（2025九上·渠县期末）学校组织春游，安排给九年级、、三辆车，小明和小慧都可以从这3辆车中任选一辆搭乘．则小明与小慧无人能乘坐到车的概率是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：列表如下：
所有等可能的情况有9种，其中小明与小慧无人能乘坐到车的情况有4种，
则小明与小慧无人能乘坐到车的概率是，
故答案为：．
【分析】此题考查了利用列表法求概率，需先不重不漏的列举出所有等可能情况，再找出符合事件的结果数，最后根据概率公式计算即可.
15．（2025九上·达川期末）有四张正面分别标有一元二次方程的不透明卡片（如图），它们除文字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，不放回，再从余下的卡片中任取一张，则抽到的两张卡片上的一元二次方程都有实数根的概率为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：方程的根的判别式为，有实数根，
方程的根的判别式为，有实数根，
方程的根的判别式为，没有实数根，
方程的根的判别式为，有实数根，
将这四张不透明卡片依次记为，其中，卡片标有的一元二次方程没有实数根，
由题意，画出树状图如下：
由图可知，随机抽取两张卡片共有12种等可能的结果，其中，抽到的两张卡片上的一元二次方程都有实数根的结果有6种，
则抽到的两张卡片上的一元二次方程都有实数根的概率为，
故答案为：．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式法和树状图法求概率，首先判断四个方程是否有实数根，再通过树状图列举所有等可能结果，计算符合条件的结果占比.
16．（2025九上·洪山期末）某射击运动员在同一条件下射击成绩记录如下：
射击次数 10 50 100 200 400 1000
“射中9环以上”的次数 6 43 79 156 326 803
“射中9环以上”的频率 0.60 0.86 0.79 0.78 0.815 0.803
由上表，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为　 　（结果保留小数点后两位）．
【答案】0.80．
【解析】【解答】解：根据表格数据可知：根据频率稳定在0.80，
估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.80．
故答案为：0.80．
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，我们将这个趋于稳定的频率叫作概率，据此即可求解.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2026九上·番禺期末）某博物馆为增强参观趣味性，推出了“文物盲盒”抽奖活动，每个盲盒中装有一件仿制文物纪念品，共有四种类型：青铜器、陶瓷、书画、玉器，且每种类型出现的可能性相等，小华和小明各购买了一个盲盒.
（1）小华抽到“青铜器”的概率是　 　；
（2）求小华和小明抽到同一种纪念品的概率.
【答案】（1）
（2）记青铜器、陶瓷、书画、玉器为A、B、C、D.
则根据题意列树状图如下：
∴共有16种等可能的结果，
其中小华和小明抽到同一种纪念品的情况有4种，
分别为（A，A），（B，B），（C，C），（D，D）.
∴P（抽到同一种纪念品））
【解析】【解答】解：每个盲盒中共有青铜器、陶瓷、书画、玉器4种等可能的类型，
小华抽到“青铜器”的结果数为1，
小华抽到“青铜器”的概率是．
故答案为：
【分析】本题考查等可能事件的概率计算，核心是明确所有等可能的结果数，再结合事件包含的结果数计算概率。
（1）盲盒共有4种等可能的类型，小华抽到“青铜器”是其中1种结果，根据等可能事件概率公式，直接计算出概率；
（2）通过列表法枚举小华和小明抽取纪念品的所有等可能结果，共有种，再从中找出两人抽到同一种纪念品的结果数，共有4种，最后根据概率公式计算出对应的概率。
18．（2026九上·金华期末）在古镇的休息区摆有圆形桌子，每张桌子配有6个座位，如图所示，小聪和小慧在古镇游玩，玩累了想坐下休息，涂色座位代表已有人.
（1）现小聪随机选择1个空座位坐下，选择2号空座位的概率为　 　.
（2）用画树状图或列表的方法，求小聪和小慧坐在相邻位置的概率.
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
① ② ③ ④
① — ①② ①③ ①④
② ②① — ②③ ②④
③ ③① ③② — ③④
④ ④① ④② ④③ —
由表可知，总共有种等可能的结果，其中小聪和小慧坐在相邻位置的情况有种，
小聪和小慧坐在相邻位置的概率为．
【解析】【解答】解：由题意可知，圆形桌子还有个空座位，现小聪随机选择个空座位坐下，选择号空座位的概率为，
故答案为：；
【分析】（1）根据题意，由一步概率问题求解方法，直接由简单概率公式代值计算即可得到答案；
（2）根据题意，列表，得到总的等可能结果及满足题意的结果，再由简单概率公式代值计算即可得到答案．
19．（2026·延吉模拟）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废．
（1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是（　　）
A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件
（2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率.
【答案】（1）B
（2）列表法：
将抽中“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”分别记为．
用表格列举出所有可能出现的结果．
X Y Z W
X
Y
Z
W
由表可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且出现的可能性相等．其中，小贤与小艺同学恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”的结果共有2种，即。
所以，（两人恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”）．
树状图法：
将抽中“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”分别记为．
依据题意，可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且出现的可能性相等．其中，小贤与小艺同学恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”的结果共有2种，即（Z，W），（W，Z）．分
所以，（两人恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”）
【解析】【解答】（1）随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件，
故选：B；
【分析】（1）根据事件的分类解答即可；
（2）根据列表法或树状图可得所有等可能结果，然后找出符合条件的结果数，然后根据概率公式计算解题.
20．（2025九上·南海期中）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型．科技小组的同学打算利用抽签的方式选择学习内容，他们将四个类型的图标依次制成，，，四张卡片（卡片背面完全相同），且将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
（1）从中随机抽取一张，抽到人工智能机器人的卡片的概率为　 　；
（2）从中随机抽取一张，记录卡片内容后放回洗匀，再随机抽取一张，若两次抽到的卡片内容一致，则选择该卡片内容学习．请用列表或画树状图的方法求两次抽取到的卡片内容一致的概率．
【答案】（1）
（2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，作树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中抽取到两张内容一致的卡片的结果有4种：（A，A）（B，B）（C，C）（D，D）
P（两次抽取到的卡片内容一致）=．
【解析】【解答】解： (1)∵共有4张卡片，
∴从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为
故答案为：
【分析】(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案.
21．（2025九上·龙岗期中）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成，老师为帮助学生理解物理变化和化学变化，在课程学习中制作了如下四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，将四张卡片背面朝上．（提示：用A，B，C，D分别表示火树银花、晾干衣服、水果发霉、冰雪消融）
（1）从中随机抽取一张，则抽到的卡片内容是物理变化的概率是______；
（2）从中随机抽取两张，利用画树状图或列表的方法求抽到的卡片内容都是物理变化的概率．
【答案】（1）
（2）解：依题意，用分别表示火树银花、晾干衣服、水果发霉、冰雪消融，画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能结果，其中抽到的卡片内容都是物理变化的结果有2种，
从中随机抽取两张，求抽到的卡片内容都是物理变化的概率为．
【解析】【解答】（1）解：依题意，晾干衣服、冰雪消融都是物理变化，水果发霉、火树银花都是化学变化，
∴从中随机抽取一张，则抽到的卡片内容是物理变化的概率是．
【分析】（1）本题考查古典概型的概率计算，先明确总共有 4 张卡片，其中物理变化的卡片有 2 张，根据概率公式，事件概率等于符合条件的结果数除以总等可能结果数，代入数值计算即可得到结果；
（2）本题考查两步随机事件的概率求解，适合用树状图或列表法列举所有等可能的结果，先通过树状图有序列出抽取两张卡片的所有 12 种等可能情况，注意抽取为不放回模式，第一次抽取的卡片不会出现在第二次抽取中，再从中筛选出两张均为物理变化的结果数，最后代入概率公式计算对应概率，列举时需保证不重复、不遗漏。
（1）解：依题意，晾干衣服、冰雪消融都是物理变化，水果发霉、火树银花都是化学变化，
∴从中随机抽取一张，则抽到的卡片内容是物理变化的概率是．
（2）解：依题意，用分别表示火树银花、晾干衣服、水果发霉、冰雪消融，画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能结果，其中抽到的卡片内容都是物理变化的结果有2种，
从中随机抽取两张，求抽到的卡片内容都是物理变化的概率为．
22．（2025九上·广东期中）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有　 　人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为　 　．
（2）请补全条形统计图；
（3）若从对校园安全知识达到了“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
【答案】（1）60；90°
（2）解：了解的人数为：60-15-30-10=5人，
（3）解：画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况，
∴恰好抽到1个男生和1个女生的概率为：P=
【解析】【解答】解：（1）∵了解很少的有30人，占50%，
∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%=00(人)，
∴扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为： ，
故答案为： 60；90.
【分析】(1)根据了解很少的人数和所占的百分比求出抽查的总人数，再用“基本了解”所占的百分比乘以360° ，即可求出“基本了解”部分所对应扇形的圆心角的度数；
(2)用调查的总人数减去“基本了解”“了解很少”和“不了解”的人数，求出“了解”的人数，从而补全统计图；
(3)根据题意画出表格得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，再根据概率公式计算即可.
23．（2025·清镇市模拟）安全使用电瓶车可以大幅度减少交通事故造成人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动，在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全头盔情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计表．
（1）表中a的值是　 　．
（2）小星认为：宣传活动后骑电瓶车“从不戴”安全头盔的有178人，比宣传前增加了1人，因此交警部门宣传活动没有效果，小星分析数据的方法合理吗？结合统计表谈谈你的看法．
（3）宣传活动后，交警在一家有4名成员的家中，有2男2女，从4名成员中随机抽取2人进行问卷调查，请用树状图或列表法求恰好抽到一男一女的概率．
【答案】（1）245
（2）解：不合理，
虽然“从不戴”安全头盔的有178人，比宣传前增加了1人，但是之前“每次戴”的人数68人，现在已经896人了，之前“经常戴”的人数245人，现在已经702人，增加更加明显；而之前“偶尔戴”的人数510人，现在降为224人，减少明显，说明宣传有效果，不能仅仅凭“从不戴”安全头盔的人数分析，需要综合分析才可以；
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好抽到一男一女的结果数有8种，
∴恰好抽到一男一女的概率是．
【解析】【解答】（1）解：由题意得，，
故答案为：；
【分析】（1）根据总人数减去其他类别的人数可得a值.
（2）根据题意进行分析判断即可求出答案.
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出恰好抽到一男一女的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：由题意得，，
故答案为：；
（2）解：不合理，
虽然“从不戴”安全头盔的有178人，比宣传前增加了1人，但是之前“每次戴”的人数68人，现在已经896人了，之前“经常戴”的人数245人，现在已经702人，增加更加明显；而之前“偶尔戴”的人数510人，现在降为224人，减少明显，说明宣传有效果，不能仅仅凭“从不戴”安全头盔的人数分析，需要综合分析才可以；
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好抽到一男一女的结果数有8种，
∴恰好抽到一男一女的概率是．
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