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15.3 等腰三角形 课时回顾练习2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．如图，，点E在线段上，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，于点.下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（ ）
A． B．
C．， D．
4．在中，，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点的个数是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
6．下列说法错误的是（ ）
A．等腰三角形的两底角相等
B．有两个角相等的三角形是等腰三角形
C．等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合
D．等腰三角形是轴对称图形
7．如图，在中，已知和的平分线相交于点F．过点F作，交于点，交于点E．若，，则的周长为（　 ）
A．8 B．9 C．10 D．13
8．如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
9．如图，已知直线于点O，点A，B分别在，上，，，在直线或直线上找一点C，使是等腰三角形，则这样的C点有（ ）
A．3个 B．4个 C．7个 D．8个
10．如图，是的边上的中线，在上取一点，连接并延长交于点，若，，则的长为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
二、填空题
11．如图，已知等边△中，点D是的中点，点E是延长线上一点，且，作，垂足为M，连接，若，则的长度为_______．
12．在中，，请你添加一个适当的条件，使是等边三角形，添加的条件可以是______．（只要写出一个符合题意的条件即可）
13．在中，已知，，则的取值范围是_____．
14．如图为某工厂厂区示意图，办公大楼在工厂主干道上，车间，与办公大楼的距离皆为，且，．在主干道上选址仓库，从仓库到车间，修建厂区支路，，使得支路总长最短，测得仓库与办公大楼距离为．已修建的支路长为 ，还需修建的支路的长度用代数式可以表示为__________．
15．如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，若的最小值是，则的度数是_________．
三、解答题
16．已知：如图，，．求证：．
17．如图，在中，点D在边上，．
(1)写出以点B为顶点的三角形；
(2)写出以为边的三角形；
(3)找出图中的等腰三角形和等边三角形．
18．如图，一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，早上8时，在处测得小岛在北偏东方向上，轮船继续向东航行，早上10点到达处，并测得小岛在北偏东方向上．
(1)求此时轮船与小岛的距离；
(2)已知小岛周围18海里内有暗礁，若轮船仍向东航行，有无触礁危险？请说明理由．
19．如图所示，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)作出与关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标；
(2)在轴上找一点，使的值最小，并写出点的坐标．
20．如图，在等边中，点P，Q在边上，并且满足，作关于直线的对称图形，连接，线段交于点N．
(1)当时， ；
(2)求证：．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D D B C B A D C
1．【答案】D
【知识点】等边对等角、全等三角形的性质
【分析】先由全等三角形的对应角相等得出，，再结合等腰三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
2．【答案】D
【知识点】等边对等角、三线合一
【分析】此题考查了等腰三角形的性质．注意掌握三线合一性质的应用是解此题的关键．由在△中，，，根据等边对等角与三线合一的性质求解即可求得答案．
【详解】解：，，
，，．
故D错误，A，B，C正确．
故选：D．
3．【答案】D
【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
根据等腰三角形的判定条件，即至少有两个角相等或两边相等，逐一分析各选项即可．
【详解】解：A．由，总份数为，故，．因，则，为等腰三角形，不符合题意；
B．边比例，说明，故为等腰三角形，不符合题意；
C．，，则．因，则，为等腰三角形，不符合题意；
D．由，结合内角和，得，即，．但无法确定与是否相等，例如，时，不为等腰三角形．符合题意．
故选：D．
4．【答案】D
【知识点】含30度角的直角三角形
【分析】本题可利用含角的直角三角形的性质求解，根据直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，可知.
【详解】解：如下图所示，
在中，，，，
．
故选：D．
5．【答案】B
【知识点】格点图中画等腰三角形
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确画出图形是解题的关键．分两种情况讨论：①为等腰直角底边；②为等腰直角其中的一条腰；画出图形，即可解决问题．
【详解】解：如图，分两种情况讨论：
①为等腰直角底边时，符合条件的格点C有0个；
②为等腰直角其中的一条腰时，符合条件的格点C有3个；
综上所述，满足条件的格点C的个数是3个．
故选：B．
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质；
根据等腰三角形的判定和性质判断各选项的正确性即可．
【详解】解：等腰三角形的两底角相等，A正确；
有两个角相等的三角形，对边相等，是等腰三角形，B正确；
等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，C错误；
等腰三角形是轴对称图形，D正确；
故选：C．
7．【答案】B
【知识点】根据等角对等边证明边相等、角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质得到，，根据等角对等边可得，，于是可得结论．
【详解】解：平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
，，
的周长为：
.
8．【答案】A
【知识点】找出图中的等腰三角形、根据等角对等边证明等腰三角形、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题．
根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
∵平分，
∴，
∴，则是等腰三角形；
∵，
∴，则是等腰三角形；
∵平分，
∴，
∴，则是等腰三角形；
∵，
∴，则是等腰三角形，
综上，图中共有5个等腰三角形，
故选：A．
9．【答案】D
【知识点】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
【分析】本题考查了等腰三角形的判定；根据等腰三角形的判定分类别分别找寻，分可能为底，可能是腰进行分析．
【详解】解：使是等腰三角形，
当当底时，则作的垂直平分线，交的有两点，即有两个三角形．
当让当腰时，则以点A为圆心，为半径画圆交有三点，所以有三个．
当以点B为圆心，为半径画圆，交有三点，所以有三个．
所以共8个．
故选：D．
10．【答案】C
【知识点】等边对等角、根据三角形中线求长度、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边求边长
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，恰当作辅助线，构建全等三角形是解题的关键．
延长，使得，连接，先证，得到，，进而可得，则，再由即可求解．
【详解】延长，使得，连接，
是的边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
11．【答案】9
【知识点】等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了等腰三角形与等边三角形，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．连接，根据等边三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质推出，从而得到为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质即可得点M是的中点，即可求解．
【详解】证明：如图，连接．
∵在等边中，点是的中点，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
又∵，
∴点是的中点，
∴．
故答案为：．
12．【答案】////
【知识点】等边三角形的判定
【分析】此题考查了等边三角形的判定，根据等边三角形的判定方法即可求解，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定方法及其应用．
【详解】∵在中，，
∴是等腰三角形，
故只需或或或或，
即可得出为等边三角形，
故答案为：或或或或．
13．【答案】
【知识点】求不等式组的解集、三角形内角和定理的应用、大（小）边对大（小）角定理
【分析】本题考查了三角形的内角和、三角形的边角关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据三角形边角关系，大边对大角，结合内角和定理列不等式组求解．
【详解】解：∵，
∴，
由三角形内角和定理，，
代入得，
即，
故，
∵，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：．
14．【答案】
【知识点】最短路径问题、线段问题(轴对称综合题)、列代数式
【分析】本题考查轴对称的性质与最短路径问题，解题关键是利用轴对称将线段和转化为两点之间线段，结合等边三角形判定求总长，再作差得长度．
作点关于的对称点，连接，则（最短路径），由角度计算得，结合，判定为等边三角形，得．由，得．
【详解】解：作点C关于直线的对称点连接，交于点D，
此时，，根据两点之间线段最短，即为所求的仓库位置．
由对称性，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
∵，且，
∴，
故答案为：．
15．【答案】
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的判定和性质
【分析】通过轴对称的性质，分别作点关于、的对称点，将转化为两点之间的线段，结合已知最小值与的长度，利用等边三角形的判定与性质求出的度数．
【详解】解：分别作点关于、的对称点、，连接、、，交于，交于，此时取得最小值．
∵点关于、的对称点为、，
∴，，，，．
∵的最小值为，
∴．
∵，
∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴．
∴．
16．【答案】见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边证明边相等
【分析】本题考查三角形全等的判定、全等三角形的性质及等腰三角形的判定等．根据题意选用正确的判定三角形全等的方法是解题的关键．由等角对等边得到，利用“”判定，再由全等三角形对应角相等即可得出结论．
【详解】证明：，
，
在和中
，
，
．
17．【答案】(1)、
(2)、
(3)等腰三角形有、；等边三角形有：．
【知识点】等腰三角形的定义、三角形的识别与有关概念、找出图中的等腰三角形
【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形和等边三角形的定义，熟练掌握等腰三角形和等边三角形定义，是解题的关键．
（1）根据三角形的相关定义进行求解即可；
（2）根据三角形的相关定义进行解答即可；
（3）根据等腰三角形定义和等边三角形定义进行解答即可．
【详解】（1）解：以点B为顶点的三角形有：、；
（2）解：以为边的三角形有：、；
（3）解：，，
∴等腰三角形有、；
，
∴等边三角形有：．
18．【答案】(1)40海里
(2)没有危险，理由见解析
【知识点】含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用、根据等角对等边求边长
【分析】本题考查方位角的概念，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理与外角的性质，掌握好方位角的概念和三角形中角度的关系是解题关键．
（1）由题意可知，，，则，可得；
（2）过点作射线的垂线，交射线于点C，根据题意可得．由含角的直角三角形的性质可得，．求出的值后，与18进行比较，并得出结论．
【详解】（1）解：由题意可知，（海里），，，
∴，
∴，
∴海里；
（2）解：如图，过点作射线的垂线，交射线于点C，
∵，
∴，
∵，
∴，
在直角中，，，
（海里），
，
若轮船仍向东航行，则没有触礁危险．
19．【答案】(1)
如图所示，即为所求：
，，；
(2)
如图所示，点即为所求：
点的坐标为
【知识点】最短路径问题、根据成轴对称图形的特征进行求解、画轴对称图形、写出直角坐标系中点的坐标
【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称最短线段问题，坐标与图形，掌握轴对称的性质是解题的关键．
（）根据轴对称的性质作图即可；
（）作出点关于轴的对称点，连接，与轴相交于点，则，所以，由两点之间线段最短可知此时的值最小，再根据点的位置写出点的坐标即可．
【详解】（1）解：由图可得，，，；
（2）解：由图可得，点的坐标为．
20．【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】（1）证明，得到，对称，得到，即可得出结果；
（2）证明为等边三角形，即可．
【详解】（1）解：∵等边，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵对称，
∴；
（2）证明：∵为等边三角形，
∴，
由（1）可知：，，
∴，
∵对称，
∴，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴．
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