资源简介

14.3 角的平分线 课时回顾练习2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．如图，下列四种用无刻度直尺和圆规作角平分线的方法，其中不正确的个数是（ ）

A．个 B．个 C．个 D．个
2．如图，在中，，是边上的一点，，则点到的距离为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．10
3．如图，是内部的一条射线，点P在上，于点D，于点E，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．小红同学在学习了全等三角形相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小红说：“射线就是的平分线”．她这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．角平分线把角分成相等的两部分
5．如图，点是内一点，于点，于点，于点，，则（）
A．点在的平分线上 B．点在的平分线上
C．点在的平分线上 D．点是，，平分线的交点
6．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路、、两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（ ）

A．各边垂直平分线的交点 B．中线的交点
C．高的交点 D．内角平分线的交点
7．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是（ ）
A． B． C．5 D．4
8．如图，的平分线交于点，，，则下列结论中正确的个数是（ ）
平分； ；
； ．
A． B． C． D．
二、填空题
9．平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的 _____．
10．如图，在中，是的平分线，，，则 ________．
11．如图，在中，，分别以点B，C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点P，作射线．若，则的度数为________．
12．如图，两两相交的三条公路中央有一深水湖泊，要在陆地建一个加油站P到三条公路距离相等，这样的位置有______处．

13．如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径画弧，与边，分别交于点E，D ；②分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点M；③作射线，交于点F；④过点F作，垂足为点G．若的面积为9，，则的长为_____．
三、解答题
14．已知：如图，点A在的边上，求作点P，使点P到直线和直线的距离相等，且；（保留作图痕迹，不需要写出作图步骤）
15．如图，为了促进当地旅游发展 某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？
16．已知，如图，于点于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
17．如图，小聪想画∠AOB的角平分线，手头没有量角器和圆规，只有一个带刻度的直角三角尺，于是他按如下方法操作：在OA，OB边上量取OC＝OD＝1cm，分别过点C，点D作CF⊥OA，DE⊥OB，CF与DE交于点P，作射线OP，则射线OP就是∠AOB的角平分线．请判断小聪的做法是否可行？并说明理由．
18．综合与实践
【问题情境】数学活动课上，兴趣小组分享了一道题，如图1，，和的平分线交于点P，过点P作直线分别交于两点，．求证：．
（1）兴趣小组过通过添加辅助线于点E很快解答了此问题．请根据兴趣小组添加辅助线的方法，解答此问题．
【深入探究】老师提出，当与不垂直，其它条件不变时，还成立吗？
（2）如图2，请你回答老师的提问，并证明．
【拓展应用】兴趣小组又进一步研究了这道题，并提出了新的问题，当与不垂直，其它条件不变时，如图3，过点P作，交于Q，若，求的长．
（3）请你解答兴趣小组提出的问题．
试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B A A B D A D
1．【答案】A
【知识点】作角平分线(尺规作图)、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）
【分析】利用作图痕迹，第个图在和上取的长度不一致,可对第个图进行判断；通过全等三角形的判定与性质可对第个图和第个图进行判断；根据等腰三角形的性质可对第个图进行判断．
【详解】解：第个图在和上取的长度不一致，不符合作法，所以第个图符合题意；
第个图符合角平分线的作法，所以第个图不符合题意；
第个图可两次证明三角形全等得到角平分线，所以第个图不符合题意；
第个图可根据等腰三角形的性质得到角平分线，所以第个图不符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质．
2．【答案】B
【知识点】角平分线的性质定理
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等．
根据题意易求，由角平分线的性质定理可知D点到的距离等于D点到的距离的长度，则答案可解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴是的角平分线，
∴D点到和的距离相等，
∵表示D点到的距离，，
∴D到的距离为4．
故选：B．
3．【答案】A
【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了角平分线的判定， 利用角平分线的判定定理得到平分，再利用角平分线的定义求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴平分，
∵，
∴．
故选A．
4．【答案】A
【知识点】角平分线的判定定理
【分析】本题考查了作图——基本作图，角平分线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．过点作于点，于点．利用角平分线的判定定理解决问题即可．
【详解】解：如图，过点作于点，于点．
直尺的宽度相等，
，
又，，
平分．
故选：A．
5．【答案】B
【知识点】角平分线的判定定理
【分析】本题考查了角平分线判定，能熟记角平分线判定的内容是解此题的关键，注意：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．根据角平分线判定推出即可．
【详解】解：，于点，于点，
点在的平分线上，
但从现有条件无法推导出点在的平分线上，点在的平分线上，
故选：B．
6．【答案】D
【知识点】角平分线性质的实际应用
【分析】此题主要考查了角平分线的性质的实际应用，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在和的角平分线的交点处，即可得出答案．
【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点处，
故选：D．
7．【答案】A
【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)
【分析】作于E，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：作于E，如图，
由作法得平分，
，，
，
，
的面积．
8．【答案】D
【知识点】角平分线的判定定理、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．
【详解】解：①过点作于，
∵平分，平分，，
∴，，
∴，
∵，
∴点在的角平分线上，故①正确；
②∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴，
∴，②正确；
③∵平分，平分，
∴，
∵，
∴
∴，③正确；
④由②可知，，
∴，，
∴，故④正确，
综上可知，正确的结论有：①②③④，共有4个．
9．【答案】角平分线
【知识点】角平分线的判定定理
【分析】根据角平分线的判定可知．
【详解】解：根据角平分线的判定可知：平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线，
故答案为：角平分线．
【点睛】本题考查了角平分线的判定，解题关键是明确在角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
10．【答案】
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理
【分析】本题考查角平分线的性质，通过垂线段相等，构建线段比例之间的关系是解题关键．过点D分别向，作垂线，根据角平分线的性质定理，得到垂线段相等，从而利用垂线段相等，得到，再利用求解即可．
【详解】解：如图，过点D分别作，，垂足分别为M，N，
∵是的平分线，
∴，
设点A到直线的距离为h，
则，，
∴，
即，
故答案为：．
11．【答案】/69度
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、作角平分线(尺规作图)
【分析】本题考查了角平分线的作法，直角三角形的特征，由作法得，直角三角形的特征得，即可求解．
【详解】解：由作法得平分，
，
，
，
故答案为：．
12．【答案】三
【知识点】角平分线性质的实际应用、作角平分线(尺规作图)
【分析】此题考查了三角形角平分线的性质，分别作外角的角平分线，交点分别为，即为所求的点，解题的关键是熟练掌握三角形角平分线的性质及其应用．
【详解】解：如图所示，，即为所求的点，

故答案为：三．
13．【答案】5
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)
【分析】本题主要考查了基本作图-尺规作角平分线、角平分线的性质、三角形的面积等知识点，得到是的平分线是解题的关键．
根据作图过程得到是的平分线，过F作于H，根据角平分线的性质得到，进而利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，过F作于H，
由作图过程可得：是的平分线，
∵，，
∴，
∵的面积为9，，
∴，
解得．
故答案为：5．
14．【答案】
如图，点P即为所求．
【知识点】作线段(尺规作图)、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)
【分析】本题考查了作图—复杂作图、角平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．作的角平分线，再以O为圆心，为半径，于角平分线的交点即为点P．
【详解】略
15．【答案】度假村应该在围成的三角形三条角平分线的交点处．
【知识点】角平分线性质的实际应用
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．
【详解】解：∵度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等，
∴度假村应该在围成的三角形三条角平分线的交点处．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
16．【答案】(1)
证明：连接，如图所示：
在和中，
，
，
；
(2)
证明：由（1）可知：，
，
，，
，
在和中，
，
，
．
【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理是解题的关键．
（1）连接，先证，然后根据全等三角形的性质可进行求证；
（2）由（1）可得，进而根据角平分线的性质定理可进行求证．
【详解】（1）略
（2）略
17．【答案】小聪的做法可行，
理由如下：
∵CF⊥OA，DE⊥OB，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵CF⊥OA，DE⊥OB，
∴OP平分∠AOB；
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的判定，准确证明是解题的关键．
通过已知条件证明，得到，，再根据已知条件证明，再根据角平分线的判定证明即可；
【详解】略
18．【答案】
（1）证明：作于点E．
∵，
∴，
∴
∵和的平分线交于点P，
∴，
∴．
（2）成立．
延长交于点F．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵平分，
∴．
在和中
∴．
∴．
（3）2
【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理
【分析】本题主要考查角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是作出合适的辅助线，并熟练应用角平分线的性质解决问题．
（1）作于点E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出结论；
（2）延长交于点F，根据角平分线的性质和平行线的性质得，再得即可得证；
（3）根据平行线的性质得，则，同理得，再由，得，则有，由此求出．
【详解】（1）略
（2）略
（3）∵，
∴．
∴．
∵．
∴．
∴．
同理．
∴．
由（2）可知，，
∴．
∴．
∴．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑