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17.2 用公式法分解因式 课时固本练习2026-2027学年
人教版八年级数学上册
一、单选题
1．下列各多项式中，能因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
2．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．小西是一名密码爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：“，，，，，，依次对应下列六个字：西、爱、我、陕、安、小”，现将因式分解，结果呈现的密码可能是（ ）
A．西安 B．我爱陕西 C．我爱西安 D．爱小西
4．若算式的结果为整数，则整数的值不可能是（ ）
A．100 B．50 C．17 D．3
5．数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内因式分解，则整数m的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数m的值有几个？（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
6．分解因式的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，则的周长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
8．若是完全平方式，则实数的值为（ ）
A． B．或 C．5 D．4
二、填空题
9．因式分解：____________．
10．当_______时，多项式能利用完全平方公式进行因式分解．
11．设，，则数a，b，c的大小关系是__________．
12．如图，某工人师傅在一个边长为的正方形的四个角截去了个边长为的正方形，再沿图中的虚线把，两个长方形剪下来，拼成了如图所示的一个大长方形．试根据图与图，写出一个关于因式分解的等式：_________．
13．新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为______
三、解答题
14．把下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
15．阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
(1)因式分解：；
(2)已知，，求的值；
(3)的三边，，满足，判断的形状并说明理由．
16．阅读与思考：将式子分解因式．这个式子的常数项，一次项系数，这个过程可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图所示：
这种分解二次三项式的方法叫“十宇相乘法”．请认真观察，分析理解后，解答下列问题．
(1)分解因式：；
(2)填空：若可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______．
17．探究不同情境，回答下面问题：
(1)观察与发现—因式分解： ； ； ； ．
(2)归纳与猜想：若也可以分解成完全平方的形式，那么系数、之间有何数量关系？说明理由．
(3)拓展与应用：若多项式加上一个含字母的单项式就能变形为一个完全平方式，请直接写出所有满足条件的单项式．
18．如图，将一张长方形纸片分割成6块，其中有两块是边长为x的正方形，一块是边长为y的正方形．
(1)观察图形，代数式可因式分解为______；
(2)图中阴影部分面积之和记作，非阴影部分面积之和记作．
①用含x，y的代数式表示，；
②若，求的值．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B D B C A B
1．【答案】D
【知识点】完全平方公式分解因式、判断能否用公式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解，能熟记因式分解的方法是解此题的关键，①把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，②因式分解的方法有提取公因式法，公式法等．
根据因式分解的方法逐个判断即可．
【详解】解：A、不能因式分解，故本选项不符合题意；
B、不能因式分解，故本选项不符合题意；
C、，不符合平方差公式，不能因式分解，故本选项不符合题意；
D、能用完全公式分解因式，故本选项符合题意；
故选：D．
2．【答案】C
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】本题考查了平方差公式分解因式，将分解因式，再代入已知条件计算的值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：．
3．【答案】B
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、因式分解的应用
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．将多项式因式分解，提取公因式后应用平方差公式，得到四个因式，分别对应密码手册中的字，组合后匹配选项．
【详解】解：∵
，
根据密码手册：→爱，→我，→西，→陕，
由于乘法具有交换律，可将这些字组合为“我爱陕西”．
故选：B．
4．【答案】D
【知识点】因式分解在有理数简算中的应用
【分析】将中的分子进行因式分解，再依次判断，即可求解，本题考查了因式分解的应用，解题的关键是：熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解．
【详解】解：，
A、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意，
B、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意，
C、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意，
D、，不是的因子，不可使结果为整数，符合题意，
故选：D．
5．【答案】B
【知识点】十字相乘法
【分析】本题考查了利用十字相乘法分解因式，熟练掌握十字相乘法是解题关键．根据题意得出常数项20需分解成两个整数的乘积，再根据十字相乘法可得所有可能的值，由此即可得．
【详解】解：∵能在有理数的范围内因式分解，且要使得m为整数，
∴常数项20需分解成两个整数的乘积，即，，，，，，
∴，，，，，，
∴，，，，，，
综上，整数的值有2个，
故选：B．
6．【答案】C
【知识点】综合运用公式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题的关键．先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可得．
【详解】解：原式
．
故选：C．
7．【答案】A
【知识点】因式分解的应用、三角形三边关系的应用
【分析】先对已知等式配方求出a，b的值，再根据三角形三边关系确定正整数c，最后计算周长即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵任何数的平方都是非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数为0，
∴，，
解得：，，
根据三角形三边关系，得：，
即，
∵是正整数
∴
∴的周长为：．
8．【答案】B
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了完全平方公式的应用知识点，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
本题根据完全平方公式，分析多项式的结构，得出“中间项系数需满足与首项、末项的关系”的结论，进而通过解方程求出的值，即可解决根据完全平方式的结构特征求字母参数的问题．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
∵，
∴，
即：，
当时，；
当时，，
综上：或．
故选 ：B．
9．【答案】
【知识点】平方差公式分解因式
【详解】解：
．
10．【答案】
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】本题主要考查了因式分解的公式法的应用，准确分析判断是解题的关键．
多项式能利用完全平方公式分解时，需满足常数项为平方数，且一次项系数为平方根的二倍，根据完全平方公式的特征判断即可．
【详解】完全平方公式的形式为，
多项式需与该形式匹配，
，
解得，
代入一次项系数关系，得或；
当时，多项式为，符合题意；
当时，多项式为，符合题意；
故答案是：．
11．【答案】/
【知识点】因式分解在有理数简算中的应用、平方差公式分解因式
【分析】本题考查因式分解，将利用平方差公式进行因式分解后，再根据乘法法则，比较大小即可．
【详解】解：，
，
∵，
∴；
故答案为：．
12．【答案】
【知识点】平方差公式与几何图形、因式分解的应用
【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．由大正方形的面积小正方形的面积矩形的面积，即可解答．
【详解】解：图1阴影部分的面积为，图2阴影部分的面积为，
则．
故答案为：．
13．【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、构造二元一次方程组求解
【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，由新定义求出的值，得到，再由新定义得到，利用提公因式法及公式法即可求解，求出新定义表达式是解题的关键．
【详解】解：由，得，
，
解得，
∴，
∴，
，
，
故答案为：．
14．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了因式分解，包括提取公因式法，完全平方公式以及平方差公式的应用，解决本题的关键是根据题目特点使用不同方法并正确计算．
（1）提取公因式 即可因式分解；
（2）提取公因式 即可因式分解；
（3）根据平方差公式即可因式分解；
（4）提取负号，再使用完全平方公式即可因式分解；
（5）应用平方差公式与完全平方公式即可因式分解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
．
15．【答案】(1)
(2)7
(3)
解：是等腰三角形，理由如下：
，即，
，
且，
，
是等边三角形．
【知识点】分组分解法、等腰三角形的定义
【分析】（1）将前两项组合和后两项组合提取公因式，再提取公因式即可．
（2）将前两项组合利用公式法分解因式，将后两项组合提取公因式，再利用提公因式法分解因式，再将其值代入即可．
（3）由整理得，进而可得，由此可判断．
【详解】（1）解：
．
（2）
将，，代入．
（3）略
【点睛】本题考查了分组分解法分解因式及等腰三角形的判定，熟练掌握分组分解法分解因式是解题的关键．
16．【答案】(1)
(2)7，，2，
【知识点】十字相乘法、已知因式分解的结果求参数
【分析】本题考查的是因式分解的应用，
（1）仿照题中十字相乘法将原式分解即可；
（2）把分为两个整数相乘，其和即为整数的值，写出即可．
【详解】（1）解：
；
（2）若可分解为两个一次因式的积，
则整数p的所有可能值是．
17．【答案】(1)；；；
(2)
，理由：
若是完全平方式，设，
∴，，
∴；
(3)满足条件的单项式为或或
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】（1）根据完全平方公式分解因式即可；
（2）根据完全平方公式的结构解答即可；
（3）分两种情况分别解答；
【详解】（1）解：；；；．
（2）略
（3）解：分两种情况讨论构造完全平方式：
①把和作为完全平方公式的两个平方项：需要补充的是中间的2倍交叉项，即，
此时、；
②把作为中间的2倍交叉项，1作为其中一个平方项：设补充的项为，
则，展开得，即单项式．
18．【答案】(1)
(2)①，；②1
【知识点】整式加减的应用、多项式乘多项式与图形面积、因式分解的应用
【分析】（1）最大的长方形的面积等于三个正方形的面积加上三个长方形的面积，可推出，据此可得答案；
（2）①阴影部分的面积等于三个长方形的面积之和，非阴影部分的面积等于三个正方形的面积之和，据此求解即可；②根据（2）①可得，则可推出，据此可得答案．
【详解】（1）解：∵最大的长方形的面积等于三个正方形的面积加上三个长方形的面积，
∴，
∴，
∴代数式可因式分解为；
（2）解：①由题意得，，；
②∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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