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13.2 与三角形有关的线段 课时固本练习2026-2027学年
人教版八年级数学上册
一、单选题
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，7cm B．3cm，4cm，8cm
C．4cm，4cm，8cm D．7cm，7cm，13cm
2．为保障航天器在太空中的稳定运行，工程师需设计一款基于三角形稳定性的太阳能板支撑结构．该结构由三根高强度碳纤维杆首尾相接组成，其中两根杆的长度已确定：，则第三根碳纤维杆的长度可以是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
A．垂线段最短 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性
4．如图，在中，若，，则的高与的比是（ ）
A． B． C． D．
5．中，，边上的中线交于点D，中线分两部分的周长差为2，若，则的长为（ ）
A．5 B．8或10 C．12 D．8或12
6．平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，是的角平分线，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，中边上的高是（ ）

A． B． C． D．
9．如图，△中，，点、分别是、上的点，，，连接、交于点．当四边形的面积为7时，则△的面积为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
10．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交AD于点H，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．设a，b，c表示一个三角形的三边的长，且它们都是自然数，其中，若，则满足此条件的三角形共有______个．
12．如图，工人在装修时总会在四边形木条支架的对角处再安装一根木条，这样做支架就会更牢固，这样做的依据是________．
13．如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）上，黑棋，，围成，白棋，，，在中，则正好与的重心位置重合的是白棋___________（填或或或）．
14．如图，为的中线，若的面积为，则的面积为_____．
15．△ABC中，AE是角平分线，AD是边BC上的高，过点B作BF∥AE，交直线AD于点F，∠ABC=a，∠ACB=β，且a＞β，则∠AFB= ___________ (用a，β表示)
三、解答题
16．画出三角形的重心O，并说明、、的面积存在什么数量关系？
17．在中，，过点C作于D，

(1)在图1中，若，，，则 ，边上的高 ；
(2)在图2中，若点P是B，C所在直线上的一点（不与点B，C重合），过点P作于E，作于F，请你补齐图形，尝试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
18．三角形的面积是24平方厘米，，是的中点，是的中点，求阴影面积．
19．如图，已知平面内有A，，三点，其中，，当线段绕点转动（不与共线）时，A，两点间的距离的取值范围恰好包含了关于的不等式组的所有整数解，试确定的取值范围．
试卷第1页，共2页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D A D B C D C D
1．【答案】D
【知识点】构成三角形的条件
【分析】直接利用三角形三边关系定理，三角形两边之和大于第三边，进而判断得出答案．
【详解】解：A．，不能组成三角形，不符合题意；
B．，不能组成三角形，不符合题意；
C．，不能组成三角形，不符合题意；
D．，能组成三角形，符合题意．
故选：D
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
2．【答案】B
【知识点】确定第三边的取值范围
【分析】本题考查了三角形的三边关系，关键是熟练应用知识点解题；根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，推导第三边长度的取值范围.
【详解】解：设第三边长为，
∵ 三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，
∴ ，
即：
故答案选：B．
3．【答案】D
【知识点】三角形的稳定性及应用
【详解】解：由题意得，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．
4．【答案】A
【知识点】与三角形的高有关的计算问题
【分析】本题考查了三角形高的定义．根据三角形的面积公式可得，即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴
故选：A.
5．【答案】D
【知识点】等腰三角形的定义、根据三角形中线求长度
【分析】本题考查的是三角形的中线的性质，利用三角形中线的定义，表示出两部分的周长，根据周长差为2建立方程求解．
【详解】解：∵ ，为边上的中线，
∴ ，
设，
则的周长为：，
的周长为：，
两部分的周长差为，
∴，
即或，
解得或．
∴ 的长为8或12．
故选：D．
6．【答案】B
【知识点】重心的概念
【分析】本题考查重心．
根据重心的概念，对各选项进行分析判断即可．
【详解】解：A．由作图可知，为三角形的一条中线所在的直线，重心一定在直线上，不符合题意；
B．为三角形的一条高所在的直线，重心不一定在直线上，符合题意；
C．组合图形关于直线对称，重心一定在直线上，不符合题意；
D．点为正方形的重心，点为长方形的重心，重心一定在直线上，不符合题意．
故选：B．
7．【答案】C
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形角平分线的定义、垂线的定义理解
【分析】根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义可得，最后利用垂线的定义可得，进而解答即可．
【详解】解：∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义．熟练掌握上述知识是解题关键．
8．【答案】D
【知识点】画三角形的高
【分析】根据三角形高的概念求解即可．
【详解】解：由图可得， ∵，
∴中边上的高是，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形高的定义，理解三角形高的概念是解题的关键．
9．【答案】C
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】本题考查三角形面积与线段比例的关系，解题关键是利用中点、底的比例设面积未知数，联立方程推导．连接辅助线，利用线段比例与三角形面积的关系来求解．
【详解】解：已知，，
故，
是中点，
，
连接，设，，
，
（等底同高的三角形面积相等），
因此，四边形的面积为，
，
（同高，底的比为，
是中点，
（等底同高），
；
，
因此有：①，
，
（同高，底的比为，
；
，
因此有：②，
由，得，
将其代入①：，
，
代入②：，
，
，
，
由，代入，
得，
故选：．
10．【答案】D
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形角平分线的定义、根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题
【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线、三角形的面积公式等知识点，根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系是解题的关键．
根据三角形的中线的性质即可判断①；根据直角三角形的性质可得 ，再根据角平分线的定义可得，再运用等量代换即可判断②；先说明，再结合角平分线的定义即可判断③；直接运用三角形的面积公式可计算即可解答．
【详解】解：∵是中线，
，
∴的面积等于的面积，即①正确；
∵ ，是高，
∴ ，
∵是角平分线，
∴ ，
，
又 ，
∴ ，故②正确；
，
，
，
∴，故③正确；
∵，
∴，解得：．故④正确．
综上，正确的有4个．
故选：D．
11．【答案】6
【知识点】三角形三边关系的应用
【分析】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系是解题关键，先得出或2或3，再分情况求出c的值．
【详解】解：∵a，b，c表示一个三角形的三边的长，且它们都是自然数，， ，
或2或3，
当时，，则；
当时，，则；或；
当时，，则；或；或；
则满足此条件的三角形共有6个，
故答案为：6．
12．【答案】三角形具有稳定性
【知识点】三角形的稳定性及应用
【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性进行解答．
【详解】解：工人在装修时总会在四边形木条支架的对角处再安装一根木条，这样做支架就会更牢固，这样做的依据是三角形具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
13．【答案】
【知识点】重心的概念
【分析】本题主要考查三角形的重心，确定三边中线的交点即可得出答案．
【详解】解：由图形可得三边中线的交点为，
所以，正好与的重心位置重合的是白棋，
故答案为：．
14．【答案】
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】本题主要考查了三角形面积的求法，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解答本题的关键； 根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分可得，，进而可得，由的面积为代入上式即可得解．
【详解】解：∵为的中线，
∴，为的中点，
∴为的中线，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
故答案为：．
15．【答案】
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】由三角形的个内角和定理可求解∠BAC的度数，结合三角形的角平分线，高线可求∠EAD的度数，根据平行线的性质可求解∠AFB的度数．
【详解】解：如图：
∵∠ABC＝α，∠C＝β，∠ABC＋∠C＋∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180° α β，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝，
∵AD是△ABC的BC边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90° ∠ABC＝90° α，
∴∠EAD＝∠BAE ∠BAD＝，
∵BF∥AE，
∴∠AFB＝∠EAD＝，
故答案为：；
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的高线，角平分线，平行线的性质，灵活运用三角形的内角和定理求解角的度数是解题的关键．
16．【答案】如下图O是的重心．
【知识点】根据三角形中线求面积、重心的概念
【分析】本题主要考查了画三角形的重心，重心的性质，掌握三角形的重心定义以及性质是解题的关键．
根据三角形重心的定义画图即可，由O是的重心，可得出、、是的中线，由中线可得出，进可可得出，又由，可得出，同理可得出，即可证明．
【详解】解：理由如下：
∵O是的重心，
∴、、是的中线，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
同理可得，
∴．
17．【答案】(1)；
(2)
当点在线段上运动时，连接，如图所示：

∵，
，，，
∴
∵
∴
当点在点左边运动时，连接，如图所示：

∵，
，，，
∴
∵
∴
当点在点右边运动时，连接，如图所示：

∵，
，，，
∴
∵
∴
【知识点】画三角形的高、与三角形的高有关的计算问题
【分析】（1），据此即可求解；
（2）分类讨论当点在线段上运动、当点在点左边运动、当点在点右边运动，结合之间的关系即可求解．
【详解】（1）解：，
∵
∴
故答案为：；
（2）解：略
【点睛】本题考查了三角形的高线与三角形面积之间的关系．根据题意作出正确的几何图是解题关键．
18．【答案】14
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】此题考查利用中线求三角形的面积，根据，得到，，
再利用是的中点，是的中点，得到，，即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：∵三角形的面积是24平方厘米，，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∴
∵是的中点，
∴，
∴阴影面积．
19．【答案】
【知识点】求不等式组的解集、三角形三边关系的应用
【分析】结合题意，根据三角形三边关系，得；再根据一元一次不等式组性质，求解得，从而得，通过计算即可得到答案．
【详解】由题意知，不与共线，此时A，，三点可构成三角形，根据三角形的三边关系可得：，即，
∴其整数值有，，，，
∵
∴
∴．
由题意可得：
∴
∴的取值范围是．
【点睛】本题考查了三角形、一元一次不等式组的知识；解题的关键是熟练掌握三角形三边关系、一元一次不等式组的性质，从而完成求解．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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