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13.3 三角形的内角与外角 课时固本练习2026-2027学年
人教版八年级数学上册
一、单选题
1．定理：三角形的内角和是180°．
已知：、、是的三个内角．
求证：．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ）

A．①② B．②③ C．②④ D．①③
2．如图，直线，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C．三角形的内角和是 D．两点之间，线段最短
5．一次数学活动中，小明对纸带沿AB折叠，量得，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
6．具备下列条件的中，不为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图是某种可调节躺椅的示意图，与的交点为，按规定，，时才合格．而且为了舒适，可以根据需求调整大小，调整时，，保持不变．嘉琪躺在躺椅上时，测得，，关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：该躺椅合格；
结论Ⅱ：若的度数减少，的度数会增加．
A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确
C．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都正确
8．如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为__________．
10．如图，中，E是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点D，又将△沿着翻折，点C恰好落在上的点G处，此时，则原三角形的的度数为_________．
11．如图是一款儿童小推车的示意图，若，，则的度数为__________．
12．如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了_________．
13．如图，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以点A为端点作射线，交线段于点C（点C不与点O重合）．在中，如果和之间为2倍关系，则的度数是_____________．
三、解答题
14．在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论．
如图，已知是的内角，求证：．
小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法：
小颖作的辅助线如图①，过点作；小星作的辅助线如图②，作的延长线，作；小红作的辅助线如图③，作；
请你认真阅读思考并完成如下问题：
(1)请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程．
(2)在图2中，求证：．
15．如图所示，已知四边形，求证．
16．如图，，平分，平分，．求的度数．
17．如图，把沿折叠，使点A落在点D处，
(1)若，试判断与的数量关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
18．如图①，已知，是直线、间的一点，于点，交于点．
(1)的度数是___________．
(2)如图②，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按每秒的速度返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当时，求的度数：
②当时，则时间的值为___________．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D B C D C D
1．【答案】C
【知识点】两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、三角形内角和定理的证明
【分析】根据平行线的性质得出，，即可推出结论．
【详解】解：证明：如图，作点E作直线，使得，
∴（两直线平行，内错角相等），
∴，
∴．
①*表示两直线平行，内错角相等；故①不正确，不符合题意；
②@表示，故②正确，符合题意；
③④上述证明得到的结论，在任何三角形均适用；故③不正确，不符合题意；④正确，符合题意；
综上：正确的有②④，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的证明，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
2．【答案】B
【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】本题主要考查平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴；
故选B．
3．【答案】D
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义；根据三角形内角和定理求得的度数，根据角平分线的定义求出的度数，然后在中，利用三角形内角和定理求得的度数，根据即可求解．
【详解】解：在中，，，
，
是的平分线，
，
∵是边上的高，
∴，
∴，
．
故选：D．
4．【答案】B
【知识点】两直线平行内错角相等、对顶角相等、判断命题真假、三角形内角和定理的应用
【详解】解：∵对顶角相等是对顶角的基本性质，∴A是真命题；
∵只有两条平行直线被第三条直线所截时，内错角才相等，本选项未说明两条直线平行，∴B是假命题；
∵三角形内角和定理表明三角形的内角和为180°，∴C是真命题；
∵两点之间线段最短是几何基本事实，∴D是真命题．
5．【答案】C
【知识点】两直线平行内错角相等、三角形折叠中的角度问题、两直线平行同位角相等
【分析】此题主要考查了翻折问题，同时也利用了三角形的内角和定理，解题的关键是利用折叠的性质解决问题．
首先根据平行线性质求出，再根据折叠性质求出三角形内角和定理即可得到．
【详解】∵，
，
∵纸带沿折叠，
，
故选：C．
6．【答案】D
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查三角形的内角和定理，判断三角形是否为直角三角形．通过代入内角和公式或设未知数求解各角度数，判断是否有度角即可．
【详解】解：∵ 在中，，
对于A：∵ ，∴ ，即，∴ ，是直角三角形．
对于B：∵ ，设，则，，
∴，即，，，是直角三角形．
对于C：∵ ，∴ ，∴ ，是直角三角形．
对于D：∵ ，∴ （因为），则为钝角，无度角，故不是直角三角形．
故选：D．
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据三角形内角和定理和三角形外角的性质逐项判断即可．
【详解】解：如图，延长交于点，
，，
，
按规定，，，
，
该躺椅不合格，
故结论Ⅰ不正确；
，
，
若的度数减少，的度数也会减少，
故结论Ⅱ不正确；
综上，结论Ⅰ、Ⅱ都不正确
故选：C ．
8．【答案】D
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质．根据三角形的外角的性质得出，根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
9．【答案】
【知识点】根据平行线判定与性质求角度、与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】由，，得到，根据平行线的判定，得到，根据平行线的性质，得到，根据三角形内角和定理，求出的度数，即可求解，
本题考查了，平行线的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
10．【答案】
【知识点】三角形折叠中的角度问题
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据折叠的性质可得，则，再根据三角形内角和定理得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
11．【答案】/40度
【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角定理，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和．
先根据平行线的性质得到，再由三角形的外角定理得到，即可求解．
【详解】解：∵，，
，
，，
，
故答案为：．
12．【答案】三角形内角和等于180°
【知识点】三角形内角和定理的证明
【分析】根据旋转后反方向说明旋转度数等于180°解答．
【详解】解：笔尖方向发生了由点B到点A的方向，
∵铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数，
∴旋转角度之和为∠A＋∠B＋∠C，
∵笔尖方向变为点B到点A的方向，
∴旋转角度之和为180°，
∴这种变化说明三角形内角和等于180°．
故答案为：三角形内角和等于180°．
【点睛】本题考查了平角的性质，三角形的内角和定理，理解旋转度数之和与三角形的内角和的关系是解题的关键．
13．【答案】或
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余及三角形内角和定理．根据已知条件可得到的度数，由和之间为2倍关系可知，需进行分类讨论，利用三角形内角和定理，根据不同的情况得到不同的的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵和之间为2倍关系，
∴当时，，则，
当时，，则
，
∴的度数为或．
故答案为：或．
14．【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】三角形内角和定理的证明、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明：
（1）利用平行线的性质即可证明；
（2）利用平行线的性质即可证明．
【详解】（1）解：选择小星的作图进行证明
，
，
，
；
选择小颖的作图进行证明：
，
，
，
；
选择小红的作图进行证明：
，
，
，
；
（2）证明：
，
，
即．
15．【答案】
证明：方法1如图所示，连接BC.
在中，，即.
在中，，
；
方法2如图所示，连接AD并延长.
是的外角，
.
同理，.
.
即.
方法3如图所示，延长BD，交AC于点E.
是的外角，
.
是的外角，
.
.
【知识点】三角形的外角的定义及性质
【分析】方法1连接BC，根据三角形内角和定理可得结果；
方法2 作射线，根据三角形的外角性质得到，，两式相加即可得到结论；
方法3延长BD，交AC于点E，两次运用三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】略
【点睛】本题考查了三角形的外角性质：解题的关键是知道三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和．也考查了三角形内角和定理．
16．【答案】
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
如图，连接，首先根据三角形内角和定理求出，然后结合平行线的性质得到，然后利用角平分线的概念得到，最后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图，连接，

∵
∴
∵
∴
∴
∵平分，平分，
∴，
∴
∴
∴．
17．【答案】(1)，见解析
(2)
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角形折叠中的角度问题、根据平行线的性质求角的度数
【分析】（1）根据折叠的性质，平行线的性质，等量代换思想解答即可；
（2）根据，，得到，根据，得到，计算的度数．
本题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线性质是解题的关键．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵是由翻折得到，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．【答案】(1)
(2)①或；②秒或秒或秒
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、行程问题(一元一次方程的应用)、根据平行线的性质求角的度数
【分析】（1）延长交于点G，可得，再由三角形内角和定理解答即可；
（1）①分两种情况讨论，根据题意画出图形，即可求解；②分三种情况讨论，根据题意画出图形，结合平行线的性质，即可求解．
【详解】（1）解：如图，延长交于点G，
∵，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：①第一种情况，如图，
∵，，
∴，
∴射线的运动时间为，
∴射线旋转的角度为，
∵，
∴；
第二种情况，如图，
∵，，
∴，
∴射线的运动时间为，
∴射线旋转的角度为，
∵，
∴；
综上所述，的度数为或；
②如图，射线从出发，运动至如图位置时，，与交于点H，
根据题意得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
射线垂直后，再顺时针向运动至如图位置时，，
根据题意得：，，
∵，
∴，
∴，
解得：；
射线从出发，运动至如图位置时，，此时垂直时，立刻按每秒的速度向运动，
根据题意得：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：；
综上所述，满足条件的t的值为秒或秒或秒．
【点睛】本题主要考查平行线性质，三角形内角和定理，合理添加辅助线和根据题意画出相应的图形是解决本题的关键．
答案第1页，共2页
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