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15.3 等腰三角形 课时固本练习2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．小朋友荡秋千的侧面示意图如图所示，秋千旋转了，小朋友的位置从点运动到了点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，中，，则的长度是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，在中，，平分，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
4．如图，在中，，，若某个三角形能与拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的三角形有（ ）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
5．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，点D的对应点为点与交于点E，若长方形的周长为16，则的周长为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．4
6．如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．已知，点P在内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，则 是（ ）
A．含角的直角三角形 B．顶角是的等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
8．如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，则图中一共有（　　）个等腰三角形．
A．3 B．4 C．5 D．6
10．在平面直角坐标系中，点在第二象限，点在坐标轴上．若以，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
二、填空题
11．如图，在等腰中，，以为边在的右侧作等边，点E为的中点，连接，点P为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为______．
12．已知，，是的三条边，若满足，则的形状为______．
13．在中，，则________．（填“”、“”或“”）
14．如图，在等边中，M是边的中点，N是边上的任意一点（不与点A，B重合），将沿折叠使点B的对应点恰好落在等边的边上，已知，则的长为______．
15．如图，园区入口A到河的距离AE为100米，园区出口B到河的距离BF为200米，河流经过园区的长度EF为400米，现策划要在河上建一条直径CD为100米的半圆形观赏步道（如图：C在D左侧），游览路线定为A﹣C﹣D﹣B，问步道入口C应建在距离E_____米处，才能使游览路线最短．
三、解答题
16．如图，中，，将沿直线平移到的位置（使点B与点C重合，点B、C、E在一条直线上），连接，求证：．
17．已知：如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB、AC于点D、E．
(1)找出图中所有的等腰三角形，并且选择其中一个加以说明；
(2)如果AB＝3，AC＝2，求△ADE的周长是多少？
18．如图，灯塔在海岛B的北偏西方向，某天下午2点，一艘船从海岛B出发，以20海里/时的速度由东向西航行，下午5时整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏西方向．
(1)求处到灯塔的距离．
(2)已知在以灯塔为中心，周围32海里的范围内均有暗礁，若该船继续由东向西航行，是否有触礁的危险？请你说明理由．
19．如图，边长为1的正方形网格中，的三个顶点A、B、C都在格点上．
(1)画出关于轴的对称图形（其中点A、B、C的对称点分别是D、E、F）；
(2)在轴上找一点，使得周长最短，请画出点所在的位置，并写出点的坐标．
20．已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、．
(1)如图（1），如果，证明：．
(2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：．试卷第1页，共2页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B C A D D B C C
1．【答案】A
【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
由题意得，，由等腰三角形性质可得，然后通过三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：由题意得，，，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
2．【答案】B
【知识点】含30度角的直角三角形
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质．
直接根据直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半作答即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选：B．
3．【答案】B
【知识点】三线合一
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；根据等腰三角形的三线合一进行求解即可．
【详解】解：∵，平分，，
∴．
故选：B．
4．【答案】C
【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质作图即可解题．
【详解】如图所示，这样的三角形共有7种，
故选：C．
5．【答案】A
【知识点】根据等角对等边证明边相等、折叠问题
【分析】根据折叠的性质可得，根据平行线的性质可得，进而可得，根据等边等角可得，进而可得的周长为即可求解．
【详解】解：∵把一张长方形纸片沿对角线折叠，点D的对应点为点
∴
∵四边形是长方形
∴
长方形的周长为16
的周长为
故选A
【点睛】本题考查了折叠的性质，等角对等边，平行线的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．
6．【答案】D
【知识点】格点图中画等腰三角形
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据题意、画出符合实际条件的图形以及掌握数形结合的思想是解答本题的关键．
根据题意并结合图形，分为等腰底边和为等腰的腰两种情况分别解答即可．
【详解】解：如图：分情况讨论：
①为等腰底边时，符合条件的C点有0个；
②为等腰的腰时，符合条件的C点有8个；
故共有8个点．
故选：D．
7．【答案】D
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查轴对称的性质、等腰直角三角形的判定．由P，关于直线对称，P、关于直线对称，推出，，，，推出，由此即可判断．
【详解】解：如图，
∵P，关于直线对称，P、关于直线对称，
∴，，，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形．
故选：D．
8．【答案】B
【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长
【分析】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，由角平分线定义得，，由平行线性质得，，所以，，则，，然后通过线段的和与差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：．
9．【答案】C
【知识点】找出图中的等腰三角形
【分析】根据等腰三角形的判定定理得到△ABD与△BAC是等腰三角形，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠C＝72°，推出△ADE和△BCE是等腰三角形，根据全等三角形的性质得到AE＝BE，得到△ABE是等腰三角形．
【详解】解：∵AB＝AC＝BD，
∴△ABD与△BAC是等腰三角形，
在△ABD与△BAC中，
，
∴△ABD≌△BAC（SSS），
∴∠D＝∠C＝72°，
∴∠BAD＝∠D＝∠C＝∠ABC＝72°，
∴∠∠ABD＝∠BAC＝36°，
∴∠DAE＝∠CBE＝36°，
∴∠AED＝∠BEC＝72°，
∴∠D＝∠AED＝∠C＝∠BEC，
∴△ADE和△BCE是等腰三角形，
∵∠AED＝∠BEC，
∴△ADE≌△BCE（AAS），
∴AE＝BE，
∴△ABE是等腰三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
10．【答案】C
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
【分析】本题考查了等腰三角形的判定．分别以点O、A为圆心，以的长度为半径画弧，与坐标轴的交点以及的垂直平分线与坐标轴的交点即为所求的点P的位置．
【详解】解：如图，以点O、A为圆心，以的长度为半径画弧与坐标轴有6个交点，的垂直平分线与坐标轴的交点有2个，
综上所述，满足条件的点P有8个．
故选：C．
11．【答案】/15度
【知识点】等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解决本题的关键是证明出与全等．
连接，确定出当的值最小时，A、P、D三点共线，位置如图所示，先证明与全等，由此可得，计算出，即可求解的度数，由此可解．
【详解】解：连接，
∵为等边三角形，点E为的中点，
∴，且平分，
∴，，
∴，
当的值最小时，A、P、D三点共线，位置如图所示，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∵在等腰中，，
∴，
∴，
∴．
故答案为： ．
12．【答案】等边三角形
【知识点】等边三角形的判定、绝对值非负性
【分析】本题考查了绝对值的非负性，偶次方的非负性，等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据绝对值的非负性，偶次方的非负性，得到，，继而得到，推出是等边三角形，即可得到答案．
【详解】解：，，，
，，
，，
，
，，是的三条边，
是等边三角形，
故答案为：等边三角形 ．
13．【答案】
【知识点】大（小）边对大（小）角定理
【分析】本题考查三角形的概念，根据三角形边角关系，大边对大角，比较和的长度，对，对，，由，得，即可解答．
【详解】解：在中，，即，
∵对，对，根据大边对大角，
∴．
故答案为：．
14．【答案】或3
【知识点】含30度角的直角三角形、折叠问题、等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，菱形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．
当点B关于直线的对称点恰好落在等边三角形的边上时，于是得到，，根据等边三角形的性质得到，，根据线段中点的定义和直角三角形的性质得到，当点B关于直线的对称点恰好落在等边三角形的边上时，则，四边形是菱形，根据线段中点的定义即可得到结论．
【详解】解：如图1，当点B关于直线的对称点恰好落在等边三角形的边上时，
则，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵点M为边的中点，
∴，
∵在直角三角形中，，
∴；
如图2，当点B关于直线的对称点恰好落在等边三角形的边上时，
则，，
∵，
∴，
∵，
∴三角形是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形，
∵，点M为边的中点，
∴，
故答案为：或3．
15．【答案】100
【知识点】最短路径问题、利用平移解决实际问题、根据成轴对称图形的特征进行求解、等腰三角形的性质和判定
【分析】如图，将BF向FE方向平移100米到B1F1，延长AE到A1，使AE=A1E=100米，连接A1B1交EF于C，则C即为所求作的点，延长BB1交A1A 延长线于H，证明△A1HB1和△A1EC是等腰直角三角形即可解答．
利用相似三角形的性质求解EC即可．
【详解】解：如图，将BF向FE方向平移100米到B1F1，则BB1=FF1=CD=100米，B1F1=BF=200米，EF1=300米，
延长AE到A1，使AE=A1E=100米，连接A1B1交EF于C，则C即为所求作的点．
延长BB1交A1A 延长线于H，则A1H= 300米，B1H=BH－BB1=300米，∠H=90°，
∴△A1HB1是等腰直角三角形，
∴∠HAB1=45°，又∠A1EC=90°，
∴∠A1CE=45°，
∴EC=A1E=100，
∴步道入口C应建在距离E100米处，能使游览路线最短，
故答案为：100．
【点睛】本题考查平移性质、最短路径问题、等腰直角三角形的判定与性质，会利用轴对称性质和两点之间线段最短解决最短路径问题是解答的关键．
16．【答案】
证明：∵沿直线平移到的位置，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】利用平移的性质求解、根据等角对等边证明边相等
【分析】本题考查了平移的性质，等腰三角形的判定，掌握这两个知识点是关键；由平移的性质得；由得，进而可证明结论成立．
【详解】略
17．【答案】(1)△BDF和△CEF是等腰三角形，说明见解析；
(2)5.
【知识点】等腰三角形的性质和判定、等腰三角形的定义、找出图中的等腰三角形
【分析】（1）根据角平分线的定义得∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，再根据平行线的性质得∠DFB＝∠CBF，∠BCF＝∠EFC，则∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，根据平行线的判定得DB＝DF，EF＝EC，即可证得△BDF和△CEF是等腰三角形；
（2）根据三角形的定义得△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+BD+EC+AE＝AB+AE．
【详解】（1）解：∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠BCF＝∠EFC，
∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，
∴DB＝DF，EF＝EC，
∴△BDF和△CEF是等腰三角形；
（2）∵DB＝DF，EF＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE
＝AD+DF+EF+AE
＝AD+BD+EC+AE
＝AB+AC
＝3+2
＝5，
△ADE的周长是5．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．
18．【答案】(1)处到灯塔的距离为60海里
(2)有危险，理由见解析
【知识点】含30度角的直角三角形、根据等角对等边求边长、与方向角有关的计算题、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，等角对等边，方向角的计算，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据题意可证明，则，据此路程等于速度乘以时间求出的长即可得到答案；
（2）过点作，交的延长线于点，根据含30度角的直角三角形的性质求出的长，再与32海里比较即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示，
根据题意，得，，
（海里），
∵，
，
，
（海里）．
答：处到灯塔的距离为60海里．
（2）解：有危险．理由如下：
如图所示，过点作，交的延长线于点．
∴
（海里），
（海里），
，
若这条船继续由东向西航行会有触礁的危险．
19．【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】最短路径问题、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查了轴对称变换，“两点之间，线段最短”，掌握轴对称的坐标点特点是解题关键．
（1）先分别作出A、B、C关于x轴的对称点D、E、F，再连接D、E、F三点即可；
（2）由上问已知，C点关于y轴的对称点是点，连接A、两点，与y轴的交点即为P点，这时最短，则周长最短，即可求出答案．
【详解】（1）解：如图所示，关于x轴的对称图形．
（2）如图所示：C点关于y轴的对称点是点，连接A、两点，与y轴的交点即为P点，
有，
则，此时最短，
∵ ，
∴此时周长最短．
由图形可知，点P的坐标为．
20．【答案】(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的判定
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得，即可得出结论；
（2）证明，得，，再证明是等边三角形，得到，然后证明，得，即可得出结论．
【详解】（1）证明：，是的中点，
是的垂直平分线，
，
，
；
（2）证明：，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
，
．
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