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18.1 分式及其基本性质 课时固本练习2026-2027学年
人教版八年级数学上册
一、单选题
1．下列式子是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．要使分式有意义，则的取值应满足（ ）
A． B． C． D．
3．不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　）
A． B．
C． D．
4．若分式的值为0，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．若式子无意义，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值（ ）
A．扩大4倍 B．扩大2倍 C．缩小2倍 D．不变
8．若，则，的值可能是（ ）
A．， B．， C．， D．，
9．若四条均不相等线段的长度分别为，，，，且满足，则下列各式不正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．有下列说法：①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②把分式的分子和分母中的各项系数都化成整数为；③无论k取任何实数，多项式总能进行因式分解；④若，则t可以取的值有3个，其中正确的说法是（ ）
A．①④ B．①③④ C．②③ D．①②
二、填空题
11．若分式的值为正整数，则实数m可取的所有整数值是_____．
12．计算______．
13．分式与通分后的结果是_____．
14．分式，，的最简公分母是______．
15．在学完最简分式的概念后，老师在黑板上写了四个整式：．要求同学们从中任意选两个整式组成分式，其中能组成的最简分式有______个．
三、解答题
16．通分：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
17．（1）当取什么值时，分式有意义
（2）当取什么值时，分式的值为负
（3）当取什么值时，分式的值为负
（4）当取什么值时，分式的值为
18．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：
；
，
则和都是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）；
①；②；③；④
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________；
(3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？
19．已知三个整式，，．
(1)从中选出两个进行加法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解；
(2)从中选出两个分别作为分式的分子与分母，要求这个分式不是最简分式，并对这个分式进行约分．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C A C B B D A A
1．【答案】B
【知识点】分式的判断
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式．
【详解】解：A．的分母π是常数，不是字母，属整式；
B．分母含字母，属分式；
C．是多项式，属整式；
D． 的分母2是常数，不是字母，属整式．
2．【答案】B
【知识点】分式有意义的条件
【分析】根据分式有意义时分母不为0，可得关于的不等式，求解不等式即可．
【详解】∵分式有意义，
∴分母不为0，
即，
解得．
3．【答案】C
【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数
【分析】根据分式的基本性质即可求解．
【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得：
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
4．【答案】A
【知识点】分式值为零的条件
【详解】∵分式的值为，
∴可得且，
解得，且，符合条件
因此的值为．
5．【答案】C
【知识点】分式无意义的条件
【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式无意义的条件．
根据分式无意义的条件，即分母为0，进行求解即可．
【详解】解：分式无意义的条件是分母为零，由，得，
故选：C．
6．【答案】B
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】根据分式的基本性质：“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为的整式，分式的值不变”，逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、的分子不含因式，无法约分为，则，变形错误；
B、，变形正确；
C、的分子、分母没有同时乘同一个不为的整式，，变形错误；
D、分式分子、分母同时加不符合分式基本性质，，变形错误．
故选：B
7．【答案】B
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】将和替换为扩大2倍后的数值，化简后与原分式对比即可得出结论．
【详解】解：∵将和都扩大2倍后，新分式为 ，
∴新分式的值是原分式的2倍，即分式的值扩大2倍．
8．【答案】D
【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、不等式的性质
【分析】本题是考查了分式性质，不等式与数的取值范围，解题关键在于依据、的正负性和取值范围，分析的取值情况，判断是否满足．
【详解】解：A、当，时，，，则，
不可能大于，故选项不符合题意；
B、当，时，，，则，
不可能大于，故选项不符合题意；
C、当，时，，则，
不可能大于，故选项不符合题意；
D、当，时，取，，，
存在满足的情况，故选项符合题意，
故选：D．
9．【答案】A
【知识点】求使分式变形成立的条件
【分析】本题考查了分式的性质，利用分式的性质逐一进行判断即可，灵活运用分式的性质是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴不能说明，原选项不正确，符合题意；
、∵，
∴，原选项正确，不符合题意；
、∵，
∴
∴，
∴，
∴，原选项正确，不符合题意；
、∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
10．【答案】A
【知识点】平行公理的应用、将分式的分子分母各项系数化为整数、零指数幂、平方差公式分解因式
【分析】利用平行公理对①判断；根据分式的基本性质本分子分母都乘以10即可对②判断；利用平方差公式的特点对③分析；④通过0指数、底数为1，底数为-1对代数式进行分类讨论得结果．
【详解】解：①按照平行公理可判断在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项正确；
②把分式的分子和分母中的各项系数都化成整数为，故本选项不正确；
③当k为负值时，多项式x2-ky2不能分解成两个一次因式积的形式，故本选项不正确；
④当2t=0即t=0时，（t-2）2t=（-2）0=1，
当t-2=1即t=3时，（t-2）2t=16=1，
当t-2=-1即t=1时，（t-2）2t=（-1）2=1，
t可以取的值有3个，故本选项正确；
综上正确的说法是①④．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行公理、分式的基本性质、因式分解、零指数幂等知识点，熟练掌握相关性质定理及运算法则是解题的关键．
11．【答案】0
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题考查分式的值为整数时求字母的取值．先对分式进行变形，然后根据分式值为整数的条件来确定m的取值．
【详解】解：∵，
∴是3的因数，
∵分式的值为正整数，
∴或，
∴或，
∵时，原分式无意义，舍去，
∴，
故答案为：0．
12．【答案】
【知识点】约分
【分析】本题考查单项式除以单项式的运算和分式的化简，根据约分的法则计算即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
13．【答案】，
【知识点】通分
【分析】根据分式通分的方法求解即可．
【详解】解：∵，，
∴分式，
分式．
故答案为，．
【点睛】此题考查了分式的通分，解题的关键是熟练掌握分式通分的方法．
14．【答案】
【知识点】最简公分母
【分析】本题考查最简公分母的求法，需将各分母因式分解后取所有因式的最高次幂的积，熟练掌握最简公分母的求法是解此题的关键．
【详解】解：分式中，分母为，
分式，分母为，
分式，分母为，
∴分式，，的最简公分母是，
故答案为：．
15．【答案】5
【知识点】约分、最简分式
【分析】先列出所有可能的分式，再判断哪些是最简分式．
【详解】解：①分母为的情况：
：分子为常数，分母为，无公因式，为最简分式；
：分子可分解为，与分母有公因式，可约分为，非最简；
：分子与分母无公因式，为最简分式．
此类分式中，最简分式有个．
②分母为的情况：
：分子为常数，分母分解为，无公因式，为最简分式；
：分母分解为，与分子有公因式，可约分，非最简；
：分母分解为，与分子有公因式，可约分，非最简．
此类分式中，最简分式有个．
③分母为的情况：
：分子为常数，分母为，无公因式，为最简分式；
：分子与分母无公因式，为最简分式；
：分子分解为，与分母有公因式，可约分，不是最简分式．
此类分式中，最简分式有个．
故共有个．
故答案为：．
【点睛】本题考查了最简分式的概念，解题关键是明确最简分式的定义，即分子和分母没有公因式的分式，然后逐一分析所组成的分式是否为最简分式．
16．【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【知识点】通分
【分析】本题考查了通分的定义，异分母分式的通分，关键是确定它们的最简公分母，通分的依据是分式的基本性质．
（1）根据通分的定义把分式变形即可；
（2）根据通分的定义把分式变形即可；
（3）根据通分的定义把分式变形即可；
（4）根据通分的定义把分式变形即可．
【详解】（1）解：，；
（2）解：，；
（3）解：，；
（4）解：，．
17．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、分式值为零的条件、分式无意义的条件
【分析】（1）根据分式有意义的条件可得，即可求解．
（2）根据分式的性质，可得，解不等式即可求解；
（3）根据分式的性质，可得且，即可求解；
（4）根据分式的值为0的条件以及分式有意义的条件即可求解．
【详解】解：（1）∵分式有意义
∴，
解得：；
（2）∵分式的值为负
∴，
∴；
（3）∵分式的值为负
∴且，
∴；
（4）∵分式的值为，
∴且，
解得：
【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，分式有意义的条件，分式的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
18．【答案】(1)①③④是“和谐分式”
(2)
(3)的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数
【知识点】分式的判断、求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题主要考查分式的新定义；
（1）根据和谐分式的定义逐一判断即可；
（2）根据和谐分式的定义计算求解即可；
（3）根据题意得到当为整数时，的值也要为整数，得到当或时，分式的值为整数，计算求解即可．
【详解】（1）解：①；
②；
③；
④，
①③④是“和谐分式”．
故答案为：①③④．
（2）解：
，
．
故答案为：．
（3）解：的值为整数，
当为整数时，的值也要为整数，
当或时，分式的值为整数，
或或或，
即当的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数．
19．【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】约分、因式分解的应用
【分析】（1）先找出两个整式的和，再看看能否分解因式即可；（2）先找出两个整式分别作为分式的分子与分母，再看看能否约分即可
【详解】（1）解：
或；
（2）解：或．
【点睛】本题考查了最简分式，因式分解，约分等知识点，能熟记完全平方公式和能正确约分是解此题的关键．
答案第1页，共2页
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