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18.5 分式方程 课时固本练习2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．下列方程是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．关于的方程
2．在分式方程的解法中，去分母后得到的整式方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．若是分式方程的解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．若解分式方程会产生增根，那么的值是（ ）
A．或 B．或2 C．1或2 D．1或
5．某社区组织居民去距离社区的环保主题公园参加环保宣传活动，一部分居民骑共享单车先出发，后其余居民骑共享电动车出发，结果同时到达．已知共享电动车的速度是共享单车速度的3倍，设共享单车的速度为，根据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
6．某校准备开展防溺水知识竞赛，用元经费购买甲，乙两类奖品共件，且经费全部用完，已知奖品甲的单价与奖品乙的单价之比为，购买奖品甲用了元．为了求出购买的这两种奖品的单价，小齐列出方程“”，则他所列方程中的x表示的意义为（ ）
A．奖品甲的件数 B．奖品甲的单价
C．奖品乙的件数 D．奖品乙的单价
7．已知甲同学阅读150页课外读物与乙同学阅读200页课外读物所用的时间相同，且两人每小时共阅读60页课外读物，求甲同学每小时阅读课外读物的页数？若设甲同学每小时阅读课外读物x页，则可列方程为（ ）．
A． B．
C． D．
8．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．电视机、摄像机等电器的电路中有许许多多的元件，它们都有电阻．如图所示，当两个电阻、并联时，总电阻R满足，若，，则的值为（ ）
A．60 B．50 C．40 D．30
10．甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如下：
甲说：我的工作效率比乙的工作效率少 乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成工作量相等； 丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的； 丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率．知道工程问题三者关系是：工作效率×工作时间＝工作总量．
如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（ ）小时．
A．20 B．21 C．19 D．19
二、填空题
11．有下列方程：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是整式方程的是____________；是分式方程的是____________．（填序号）
12．按照如图所示的程序计算，若输出y的值是，则输入x的值是______．
13．若关于x的方程有增根，则_____．
14．一艘轮船顺水航行所用的时间与逆水航行所用的时间相同，若水流速度为，则静水速度为_____．
15．小明现有本金5万元，准备投资理财，方案是1年后返还3万元，2年后返还万元，设收益率为，那么该方案的收益率应该满足的方程是__ ．
三、解答题
16．解下列方程：
(1)
(2)
17．定义：如果一个关于分式方程的解是，我们就说这个方程是和解方程．比如就是一个和解方程．如果关于的分式方程是一个和解方程，求的值．
18．某市安排甲、乙两个工程队分别完成3600米的道路施工任务，下表是甲、乙两个工程队的施工方式：
甲工程队 第一、二天的施工速度为米/天，从第三天开始，每天都按前两天施工速度的2倍施工，这样比全程只按米/天的速度完成道路施工的时间提前了3天．
乙工程队 A方案：计划1800米按每天施工米完成，剩下的1800米按每天施工米完成，预计完成施工任务所需的总时间为天； B方案：预计完成施工任务所需的总时间为天，其中，一半时间每天施工米，另一半时间每天施工米． 说明：A，B两种方案中的均满足实际意义，且．
(1)求甲工程队完成施工任务用了多少天？
(2)为尽快完成施工任务，请通过计算说明乙工程队应采取A，B两种方案中的哪种方案？
19．某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木首需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．设正方形木板的单价为m元/块，已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍．
采购清单
单价（元/块） 数量（块） 总价（元）
正方形木板 m 120
长方形木板 300
(1)请将表格填写完整（用含m的代数式表示），并求m的值．
(2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完？
(3)该工厂发现有一批尺寸为的废旧木板，若用这批废旧木板切割成木箱所需的上述两种木板．
①请问如何切割才能将每块废旧木板恰好用完（不计损耗）．
②因工厂生产需要，还需制作竖式无盖木箱60个、横式无盖木箱50个，所有废旧木板恰好用完，则这批废旧木板共多少块？试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C D B A A A A D
1．【答案】B
【知识点】分式方程的定义
【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键；
根据分式方程的定义逐项判断即可．
【详解】A、是一元一次方程，不是分式方程，故本选项不符合题意；
B、是分式方程，故本选项符合题意；
C、的分母含未知数，但不是整式，不是分式方程，故本选项不符合题意；
D、关于的方程分母不含未知数，不是分式方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．【答案】B
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查分式方程去分母的方法，关键是确定最简公分母，再给方程两边同乘最简公分母转化为整式方程．据此解答即可．
【详解】解：∵，
∴该分式方程的最简公分母为，
方程两边同时乘以，得．
故选：B．
3．【答案】C
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】将方程的解代入原分式方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到结果．
【详解】是分式方程的解，
将代入原方程，可得，
整理得，
解得．
4．【答案】D
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查了分式方程增根问题，增根是使原方程分母为零的根，即 或 ；通过解方程并代入这些值，求出；
【详解】解：∵ 原方程：，且 ，
∴ 公分母为 ；
两边乘 得：
，
即 ，
整理得：；
增根为 或 ，代入方程：
当 时：，解得 ；
当 时：，即 ，解得 ；
故选：D
5．【答案】B
【知识点】分式方程的行程问题
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是根据路程、速度、时间的关系，结合共享单车和共享电动车行驶时间的差异列出方程．
先分别表示出共享单车和共享电动车行驶所需的时间，再根据共享单车先出发（换算为小时）且同时到达，得出两者时间差的等式．
【详解】解：设共享单车的速度为，则共享电动车的速度为，
根据题意可得方程：，即．
故选：B．
6．【答案】A
【知识点】分式方程的经济问题
【分析】本题考查了分式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据题意，设为甲类奖品的件数，则乙类奖品的件数为，根据甲、乙单价之比为，可验证符合小齐所列方程，故代表甲类奖品的件数．
【详解】解：设为甲类奖品的件数，则乙类奖品的件数为，
∴甲类单价为元，乙类单价为元，
根据单价比，得方程：，
∴表示奖品甲的件数，
故选：A．
7．【答案】A
【知识点】分式方程和差倍分问题
【分析】设甲同学每小时阅读课外读物x页，则乙每小时读页，根据“已知甲同学阅读150页课外读物与乙同学阅读200页课外读物所用的时间相同”即可列出方程．
【详解】解：设甲同学每小时阅读课外读物x页，则乙每小时读页，
那么甲读150页所用的时间为：，
乙读200页所用的时间：．
由题意得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系：已知甲同学阅读150页课外读物与乙同学阅读200页课外读物所用的时间相同是解决问题的关键．
8．【答案】A
【知识点】列分式方程
【分析】设规定时间为天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程．
【详解】解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则．
9．【答案】A
【知识点】分式方程的其它实际问题
【分析】本题考查了分式方程的实际运用，根据总电阻R满足，且，，建立分式方程进行求解，即可解题．
【详解】解：总电阻R满足，且，，
，
解得，
经检验是该方程的解，
故选：A．
10．【答案】D
【知识点】分式方程的工程问题
【分析】设甲单独完成任务需要小时，则甲的工作效率是，乙的工作效率是，根据乙提供的信息列出方程并解答；根据丙提供的信息得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务所需的时间．
【详解】解：设甲单独完成任务需要小时，则甲的工作效率是，乙的工作效率是，由题意得：，
解得：，
经检验是原方程的根，且符合题意，
甲的工作效率是，乙的工作效率是，
∵丙的工作效率是乙的工作效率的，
丙的工作效率是，
∴一轮的工作量为：，
∴轮后剩余的工作量为：，
∴还需要甲工作1小时后，乙需要的工作量为：，
∴乙还需要工作的时间为（小时），
∴按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（小时）．
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是分析题意，找到合适的等量关系进行求解．
11．【答案】 ①②⑥⑦ ③④⑤⑨
【知识点】判断各式是否是方程、分式方程的定义
【分析】根据整式方程和分式方程的定义逐项判断即可．
【详解】解：∵①为整式方程；②为整式方程；③为分式方程；④为分式方程；⑤为分式方程；⑥为整式方程；⑦为整式方程；⑧为不是方程；⑨为分式方程．
∴整式方程的是①②⑥⑦，分式方程的是③④⑤⑨．
故答案为：①②⑥⑦，③④⑤⑨．
【点睛】本题考查判断整式方程和分式方程．解题的关键是掌握整式方程是指方程里所有的未知数都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数的一类方程；分式方程是指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程．
12．【答案】
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了解分式方程、解一元一次方程，理解题意是解题的关键．根据程序分析即可求解．
【详解】解：设输入的值为时，
由题意得，，
整理得，，
解得（舍去）；
当时，根据题意得，，
整理得，
解得，
故答案为：．
13．【答案】
【知识点】分式方程无解问题、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了分式方程的增根和解分式方程，根据增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，确定增根的可能值，让最简公分母即可，正确理解增根的定义及熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：，
，
解得，
∵分式方程的最简公分母是，原方程有增根，
∴，
∴增根是，
∴，
故答案为：．
14．【答案】28
【知识点】分式方程的行程问题
【分析】本题主要考查分式方程的应用，解决此题的关键是读懂题意找准等量关系；设静水速度为，则根据轮船顺水航行所用的时间与逆水航行所用的时间相同列出分式方程求解即可得到答案．
【详解】解：设静水速度为，则顺水航行速度为，逆水航行，
∴，
解得：，
经检验：是原方程的解；
∴静水速度为，
故答案为：28．
15．【答案】
【知识点】分式方程的经济问题
【分析】本题考查了收益率，熟练掌握定义是解题的关键．
根据现值原理，未来现金流的折现值之和应等于初始投资本金．
【详解】解：设收益率为，则一年后返还3万元的现值为 ，两年后返还万元的现值为 ，两者之和等于本金5万元，
故得方程 ，
故答案为：．
16．【答案】(1)
(2)
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，是解题的关键．
（1）先去分母，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可；
（2）先去分母，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】（1）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解；
（2）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解．
17．【答案】
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查了分式方程的解．
根据和解方程的定义，方程的解应为，代入原方程求解．
【详解】解：∵方程是和解方程
∴解为，
将代入原方程：
，
，
，
．
18．【答案】(1)甲工程队完成施工任务用了5天
(2)应选B方案
【知识点】分式方程的工程问题
【分析】本题考查了分式方程的实际应用和分式的大小比较，解题关键是理解题意，找出相等关系．
（1）利用时间关系列出方程即可求解．
（2）分别求出两种方案的时间，再利用作差法比较大小即可求解．
【详解】（1）解：（1）根据题意，得
解得
经检验，是所列方程的根，且符合题意．
∵（天），
所以，甲工程队完成施工任务用了5天．
（2）解：由题意，得
，
．
由题意，得，则，
，
，
应选B方案．
19．【答案】(1)，，；
(2)竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱4个；
(3)①有两种切割方式，第一种切割方式为长方形木板7块，第二种为正方形木板8块和长方形木板2块；②这批废旧木板共70块．
【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、分式方程的其它实际问题
【分析】本题考查分式方程的应用，二元一次方程组的应用．读懂题意，正确的识图，找准等量关系，列出方程组，是解题的关键．
（1）根据题意列出分式方程进行求解即可；
（2）设竖式无盖木箱做个，横式无盖木箱个，根据题意列出方程组进行求解即可；
（3）①设每块废旧木板切割正方形木板块，长方形木板块，根据题意，列出二元一次方程，利用都是非负整数，求解即可；
②根据题意，进行求解即可．
【详解】（1）解：填写表格如下：
采购清单
单价（元/块） 数量（块） 总价（元）
正方形木板 120
长方形木板 300
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：；
（2）解：当时，正方形木块的数量块，长方形木块的数量块．
设竖式无盖木箱做个，横式无盖木箱个，
根据题意，得，
解得，
答：竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱4个；
（3）解：①设每块废旧木板切割正方形木板块，长方形木板块，根据题意，
得，
，
因为都是非负整数，
所以或．
答：有两种切割方式，第一种切割方式为长方形木板7块，第二种为正方形木板8块和长方形木板2块；
②所需正方形木板块，长方形块．
所以第二种切割方式的木板为块，第一种切割方式的木板为块，
所以废旧木板共块．
答：这批废旧木板共70块．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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