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16.3 乘法公式 课时固本练习2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．下列算式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
2．等于（ ）
A． B． C． D．
3．从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．通过计算两个图形阴影部分的面积，从左至右验证成立的公式为（ ）
A． B．
C． D．
4．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则a的值为（ ）
A．4 B．±4 C．2 D．12
6．如图，把一个边长为a的正方形相邻两边增加b得到一个新的大正方形，则通过新的大正方形的面积表示可以得到等式（ ）
A． B．
C． D．
7．若多项式是一个多项式的平方，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形与正方形的边长分别为a，b，若，则阴影部分的面积是（ ）
A．20 B．25 C．30 D．40
9．规定：使等式成立的a，b，c的值称为“等根系数”，记作．如，称为“等根系数”．若是“等根系数”，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
二、填空题
10．定义，例如．则_____________．
11．数学活动
我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：
．
，
．
……
请你写出一般的规律__________．
12．若是一个完全平方式，则的值是___________．
13．数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为的两个正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如，由图2可得．则由图3可以解释的等式是_____．
14．已知，，则______．
三、解答题
15．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
16．如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形
(1)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母表示）
(2)请应用这个公式完成下列各题.
①的结果是 .
②计算：；
③计算：
17．如图，小明的房间由小卧室和阳台组成，小明爸妈的房间由大卧室和露台组成．大小卧室都是正方形，大卧室的边长和小明房间的长都是a，露台的宽度为b，阳台的宽度是露台宽度的
(1)用含a，b的代数式分别表示小卧室和大卧室的面积；
(2)当，时，求大小卧室的面积差（先化简再求值）．
18．阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以把多项式（）变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题．
例如：①,
∵,
∴.
∴当时，多项式的最小值为；
②,
∵,
∴.
∴当时，多项式的最大值为．
根据上述材料解决下列问题：
(1)求多项式的最小值，并求出相应的x的值；
(2)如果多项式的最小值是，那么p的值为________；
(3)如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边AB = x米，那么当x =________时，该花坛的面积最大，最大面积是________平方米．
试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 D D C B C B A C D
1．【答案】D
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】平方差公式为，只有两个二项式相乘时，存在一项完全相同，另一项互为相反数，才能用平方差公式计算，据此逐项判断即可．
【详解】解：A选项，式子中不存在完全相同的项和互为相反数的项，不能用平方差公式计算，不符合题意．
B选项，两项均互为相反数，只能用完全平方公式计算，不能用平方差公式，不符合题意．
C选项，两项均互为相反数，只能用完全平方公式计算，不能用平方差公式，不符合题意．
D选项，式子中相同项为，相反项为和，符合平方差公式的结构，可以用平方差公式计算，符合题意．
2．【答案】D
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查了平方差公式的应用．通过连续应用平方差公式简化表达式．
【详解】解：
故选：D．
3．【答案】C
【知识点】平方差公式与几何图形
【分析】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，结合面积相等，即可解题．
【详解】解：由图知，甲图形阴影部分的面积为，
乙图形阴影部分的长为，高为，则其面积为，
即，
故选：C．
4．【答案】B
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】由完全平方差公式：，直接展开即可得到答案．
【详解】解：．
5．【答案】C
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
根据完全平方式把左边展开，并比较等式两边对应项的系数，建立方程求解a的值．
【详解】∵，
且给定，
∴．
比较x项系数：，
∴；
验证常数项：，符合．
∴a的值为2．
故选C．
6．【答案】B
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题主要考查了用几何图形验证完全平方公式，解决本题的关键是用不同的方式表示正方形的面积．
【详解】解：大正方形的边长为，
大正方形的面积为，
大正方形是由两个边长分别为、的正方形和个长为宽为的矩形组成，
大正方形的面积还可以表示为，
．
故选：B．
7．【答案】A
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题考查完全平方公式的逆用，掌握完全平方公式是解题关键．
将给定多项式与完全平方公式的结构对应，通过对比系数求出的值．
【详解】解：∵完全平方公式为，
已知多项式是某个多项式的平方，其结构与完全平方公式一致，
∴对应项可得，，
∴，代入得，
∴，
∴．
故选：．
8．【答案】C
【知识点】通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查分割法求阴影部分面积，利用完全平方公式变形求值，根据题意得，求出梯形的面积，和得出阴影部分的面积代数式，将代入计算即可．
【详解】解：由题意可知，
∴梯形的面积为，
，，
∴阴影部分的面积，
∵，
∴，
故选C．
9．【答案】D
【知识点】整式的混合运算、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查了整式的混合运算，先根据题目所给的“等根系数”的定义，得出，即可解答．
【详解】解：∵是“等根系数”，
∴，
∴，
故选：D．
10．【答案】
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】根据题中定义的新运算规则，将对应式子代入，利用平方差公式计算即可．
【详解】解：由题意得：
．
11．【答案】
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查数字变化规律的探究以及完全平方公式，关键是通过观察已知等式，提取共性特征，再用字母表示数推导一般规律．观察给出的等式可知，左边均为个位数字是5的两位数的平方，右边的结果可拆分为“”的形式．设该两位数的十位数字为(为正整数)，将这个两位数表示为，通过整式的乘方运算展开验证，即可得到通用的规律表达式．
【详解】解：设个位为5的两位数的十位数字为(为正整数)，则该两位数可表示为，
∵，
∴一般规律为．
故答案为：．
12．【答案】
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】利用完全平方式的结构特征列式计算，即可确定出的值．
【详解】解：是一个完全平方式，且，
或 ，
解得或，
13．【答案】
【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查了多项式乘法的几何意义、数形结合思想以及面积法的应用．解题的关键是通过 “整体面积法” 和 “分割求和法” 计算同一图形的面积，从而建立等式关系．先计算图 3 大长方形的整体面积，再将其分割为小正方形和小长方形并求面积和，最后根据面积相等得到对应的多项式乘法等式．
【详解】解：方法一：图 3 是一个大长方形，其长为，宽为，
因此整体面积为：
方法二：将图 3 分割为各小图形，面积分别为：
边长为 的正方形：2 个，面积和为
边长为 的正方形：1 个，面积和为
长为 、宽为 的长方形：3个，面积和为
总面积为：
两种方法计算的面积相等，因此图 3 可以解释的等式为
故答案为：．
14．【答案】0
【知识点】整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式．
将代入得，求出，，求出．
【详解】解：将代入得：
，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：0．
15．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、计算单项式乘单项式、运用平方差公式进行运算
【分析】（1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂乘法即可；
（2）根据单项式乘以单项式的运算法则求解即可；
（3）利用平方差公式求解即可；
（4）把原式变形为，再利用平方差公式求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
16．【答案】(1)
(2)①；②；③
【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形
【分析】（1）根据两个图形中阴影部分的面积相等得出答案；
（2）①根据平方差公式进行计算即可求解；
②根据平方差公式进行计算即可求解；
③根据平方差公式进行计算即可求解．
【详解】（1）图①中阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差，即；图②中阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为，
∵两个图形中的阴影部分面积相等，
∴，
故答案为：
（2）解：①
故答案为：．
②计算：
；
③计算：
．
【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积，根据平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键．
17．【答案】(1)，
(2)，
【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查了列代数式，完全平方公式在几何图形中的应用，已知字母的值求代数式的值，解题关键是理解题意，列出代数式．
（1）先根据题意，求出阳台的宽度，再根据大卧室的边长和小明房间的长都是a，求出小卧室的边长，最后根据正方形的面积公式求出答案即可；
（2）先列出算式求出大小卧室的面积差，再把a，b的值代入进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：
小卧室的面积为：，大卧室的面积为：；
（2）当，时，大小卧室的面积差为：
．
18．【答案】(1)当时，代数式的最小值为
(2)
(3)5米，25
【知识点】运用完全平方公式进行运算、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查了配方法的应用和非负数的性质，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
（1）根据阅读材料即可求出答案；
（2），根据阅读材料和已知条件即可求出答案；
（3）由题意得到长方形的面积，根据阅读材料和已知条件即可求出答案．
【详解】（1）解：，
∵，
∴．
∴当时，代数式的最小值为4；
（2）解：，
∵，
∴，
∴当时，代数式的最小值为，
∵多项式的最小值是，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；
（3）解：∵米，
∴（米），
∴长方形的面积，
∵，
∴长方形的面积，
∴当时，长方形的面积的最大值为25，
即米时，该花坛的面积最大，最大面积是25平方米．
故答案为：5米，25．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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