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14.3 角的平分线 课时固本练习2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，平分，于点，若，则到的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，是内部的一条射线，点P在上，于点D，于点E，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是角的平分线”他这样做的依据是（ ）
A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
5．如图，在上作一点，使它到，的距离相等，则点是（ ）
A．线段的中点 B．与的垂直平分线的交点
C．与的平分线的交点 D．与的垂直平分线的交点
6．如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P、连接并延长，交于点D．若，则的面积是（）
A．30 B．20 C．15 D．10
8．如图，在中，、的平分线、交于点P，延长至E，至F，于点M，于点N，下列结论：①平分；②；③．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
9．平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的 _____．
10．如图，在中，是的平分线，，，则 ________．
11．如图，为了促进当地旅游发展，某地区要修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，这个度假村的选址有________处可供选择．
12．如图，根据尺规作图所留痕迹，已知，可以求出________°．
13．如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交于，两点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线．交边于点，若，，，则的长为____．
三、解答题
14．如图，已知，请你用尺规作图法作的角平分线．（不写作法，保留作图痕迹）
15．如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别为E，F．求证：．
16．我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．如图1，是中的遥望角．

(1)直接写出与的数量关系__________；
(2)连接，猜想与的数量关系，并说明理由．
17．如图所示，平面内两条互相垂直的直线相交于点O，，点A，B分别在射线，上移动，是的平分线，为的平分线，的延长线与的反向延长线交于点P．试问：随着点A，B位置的变化，的大小是否会变化？若保持不变，请求出∠P的度数；若发生变化，请求出变化范围．
18．综合与实践
【问题情境】数学活动课上，兴趣小组分享了一道题，如图1，，和的平分线交于点P，过点P作直线分别交于两点，．求证：．
（1）兴趣小组过通过添加辅助线于点E很快解答了此问题．请根据兴趣小组添加辅助线的方法，解答此问题．
【深入探究】老师提出，当与不垂直，其它条件不变时，还成立吗？
（2）如图2，请你回答老师的提问，并证明．
【拓展应用】兴趣小组又进一步研究了这道题，并提出了新的问题，当与不垂直，其它条件不变时，如图3，过点P作，交于Q，若，求的长．
（3）请你解答兴趣小组提出的问题．
试卷第1页，共2页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A B C B C D
1．【答案】C
【知识点】作角平分线(尺规作图)
【分析】本题考查了作角平分线，熟练掌握基本作图是解题的关键．
【详解】解：根据作图可得，，故A，B正确；
∵是角平分线，
∴，故D选项正确，
而不一定成立，故C选项错误，
故选：C．
2．【答案】B
【知识点】角平分线的性质定理
【分析】根据角平分线的性质，可得，由此求解即可．
【详解】解：∵到的距离即为，且，
又∵平分，
且，，
∴，
∴到的距离为2．
3．【答案】A
【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了角平分线的判定， 利用角平分线的判定定理得到平分，再利用角平分线的定义求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴平分，
∵，
∴．
故选A．
4．【答案】B
【知识点】角平分线的判定定理
【分析】本题考查角平分线的判定，根据角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上进行判断即可．
【详解】解：如图所示：过两把直尺的交点作，，
两把完全相同的长方形直尺，
，
平分角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，
故选：B．
5．【答案】C
【知识点】角平分线的判定定理
【分析】本题考查角平分线的判定定理，熟知在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上是解答的关键．
根据角平分线的判定定理求解即可．
【详解】解：∵点P到，的距离相等，
∴点P在的平分线上，
又点P在上，
∴P点是与的平分线的交点，
故选：C．
6．【答案】B
【知识点】角平分线性质的实际应用
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可．
【详解】解：如图：过点作，垂足为点F，
∵C是的中点，，
∴，
∵，，射线是的平分线，
．
故选：B．
7．【答案】C
【知识点】角平分线的性质定理
【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，掌握知识点是解题的关键。
过点D作于点G，由作图可知是的角平分线，得到，则，即可解答．
【详解】解：过点D作于点G，如图
由作图可知是的角平分线，
∵，，
∴，
∴．
故选C．
8．【答案】D
【知识点】角平分线的性质定理、与角平分线有关的三角形内角和问题、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】过点P作于点D，根据角平分线的性质可得，，再证明，即可判断①；同理证明，可证明，进而可表示出、的数量关系，根据三角形的内角和为，利用、这两个三角形，即可判定②；根据，，即可证明③，问题得解．
【详解】解：过点P作于点D，如图，
∵，，平分，
∴，，
∵，，平分，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即平分，即①正确；
同理证明，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，即②正确；
∵，，
∴，，
∴，
∴，即③正确，
即正确的结论有3个．
9．【答案】角平分线
【知识点】角平分线的判定定理
【分析】根据角平分线的判定可知．
【详解】解：根据角平分线的判定可知：平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线，
故答案为：角平分线．
【点睛】本题考查了角平分线的判定，解题关键是明确在角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
10．【答案】
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理
【分析】本题考查角平分线的性质，通过垂线段相等，构建线段比例之间的关系是解题关键．过点D分别向，作垂线，根据角平分线的性质定理，得到垂线段相等，从而利用垂线段相等，得到，再利用求解即可．
【详解】解：如图，过点D分别作，，垂足分别为M，N，
∵是的平分线，
∴，
设点A到直线的距离为h，
则，，
∴，
即，
故答案为：．
11．【答案】4
【知识点】角平分线性质的实际应用
【分析】本题考查角平分线的性质．角的平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可得到答案．
【详解】解：如图，
三角形内角平分线的交点D，和外角平分线的三个交点A、B、C，共4处可供选择．
故答案为：4．
12．【答案】
【知识点】角平分线的有关计算、作角平分线(尺规作图)
【分析】根据作图痕迹得到平分，利用角平分线的定义求得的度数即可．
【详解】解：由作图痕迹可知，平分，
∵，
∴．
13．【答案】
【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)
【分析】本题主要考查了尺规作图作一个角的平分线、角平分线的性质，由作法得平分，过点作于，则，利用面积法求解．
【详解】解：如下图所示，由作法得平分，过点作于，则，
在中，，，，
，
，
即，
．
故答案为：．
14．【答案】如图所示，射线即为所求，
【知识点】作角平分线(尺规作图)
【分析】根据判定全等三角形的原理，以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点，作射线，交于点，射线即为所求．
【详解】略．
15．【答案】见解析
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理
【分析】根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到结论．
【详解】解：∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
16．【答案】(1)
(2)
，理由：
如图所示，过点作，，的垂线，分别交的延长线，，于点，，．

∵平分，，
∴．
同理可得．
∴．
∴平分．
∴．
又，
∴．
【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理
【分析】（1）根据和即可求得答案．
（2）过点作，，的垂线，分别交的延长线，，于点，，，可证得，，进而可得到平分，进而可求得答案．
【详解】（1）∵，，，
∴．
又，
∴．
故答案为：．
（2）略
【点睛】本题主要考查角平分线的定义和性质、三角形的外角，牢记角平分线的定义和性质是解题的关键．
17．【答案】的大小保持不变，始终等于．
【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线性质的实际应用
【分析】本题主要考查角平分线的性质以及三角形的外角性质，根据角平分线的性质，结合三角形的外角性质可以得到的度数，由此确定的大小，因此可以确定答案．
【详解】解：的大小始终保持不变，理由如下：
∵（三角形外角性质），
又∵平分，平分，
∴，
∴，
又∵（三角形外角性质）
∴．
故答案为：的保持大小不变，始终等于．
18．【答案】
（1）证明：作于点E．
∵，
∴，
∴
∵和的平分线交于点P，
∴，
∴．
（2）成立．
延长交于点F．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵平分，
∴．
在和中
∴．
∴．
（3）2
【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理
【分析】本题主要考查角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是作出合适的辅助线，并熟练应用角平分线的性质解决问题．
（1）作于点E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出结论；
（2）延长交于点F，根据角平分线的性质和平行线的性质得，再得即可得证；
（3）根据平行线的性质得，则，同理得，再由，得，则有，由此求出．
【详解】（1）略
（2）略
（3）∵，
∴．
∴．
∵．
∴．
∴．
同理．
∴．
由（2）可知，，
∴．
∴．
∴．
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