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17.2 用公式法分解因式 课时基础作业2026-2027学年
人教版八年级数学上册
一、单选题
1．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，，则的值为（　　）
A．2 B． C． D．
3．将多项式再加上一项，使它能分解因式成的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（ ）
A．2x B． C． D．4x
4．将多项式分解因式的结果是（　　）
A． B．
C． D．
5．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，分别对应下列六个字：爱，我，利，津，学，校．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．利津爱学 B．我爱利津 C．利津学校 D．我爱学校
6．数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内因式分解，则整数m的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数m的值有几个？（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
7．已知，，则代数式的值是（　　）
A．2 B． C．15 D．
8．已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，则的周长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
二、填空题
9．因式分解：____________．
10．若，则_____，_____．
11．计算__（用幂的形式表示）．
12．山西平遥推光漆器以“推光、描金、镶嵌”闻名，某非遗工坊接到一批定制漆器礼盒订单，礼盒编号为四位数（，为的整数）．已知符合订单要求的礼盒编号能被15整除，且漆器工坊按编号从小到大依次生产，则生产的合格礼盒最小的编号是______．
13．以下四个命题：
①若，关于x轴对称，则；
②如果三角形一边的中点到其他两边距离相等，那么这个三角形一定是等腰三角形；
③将多项式因式分解，其结果为；
④等边三角形中，D是边上一点．E是边上一点，若，则．
其中正确的命题的序号为___________．
三、解答题
14．因式分解
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
15．下面是小明同学的数学笔记，笔记中有一道因式分解题，小明在练书法时不小心将笔记中的两个数字沾上了墨水，分别求出“▲”“■”代表的数字
因式分解：．
16．在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：
甲： （分成两组）（直接提公因式） 乙： （分成两组）（直接运用公式）
请在他们的解法启发下解答下面各题：
(1)因式分解：；
(2)若，求式子的值．
17．探究不同情境，回答下面问题：
(1)观察与发现—因式分解： ； ； ； ．
(2)归纳与猜想：若也可以分解成完全平方的形式，那么系数、之间有何数量关系？说明理由．
(3)拓展与应用：若多项式加上一个含字母的单项式就能变形为一个完全平方式，请直接写出所有满足条件的单项式．
18．在整数中，很多整数都能表示成（是整数）的形式．例如可以表示成的形式．
(1)请将写成（是整数）的形式；
(2)已知（其中是整数，是一个确定的数），若能表示成（是整数）的形式，请找出一个符合条件的的值，并说明理由．
(3)已知整数满足，求的最小值．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D A C B B D A
1．【答案】A
【知识点】判断能否用公式法分解因式
【分析】本题考查用公式法进行因式分解．能用公式法进行因式分解的式子的特点需识记．
能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两个平方项，符号相反；能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点是：两个平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，由此即可判断．
【详解】A、，能用平方差公式分解因式，故A符合题意；
B、不能继续分解因式，故B选项不符合题意；
C、不能继续分解因式，故C选项不符合题意；
D、只能用提公因式法分解因式，故D选项不符合题意．
故选A．
2．【答案】D
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】利用平方差公式将变形为，再代入已知条件计算即可求出的值．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
3．【答案】A
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】分①是平方项，②是乘积二倍项，③是乘积二倍项，然后根据完全平方公式的结构解答．
【详解】解：A、，无法运用完全平方公式分解因式，故此选项符合题意；
B、，能运用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意；
C、，能运用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意；
D、，能运用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意．
4．【答案】C
【知识点】综合运用公式法分解因式
【分析】本题考查了公式法因式分解．
利用完全平方公式和平方差公式进行解答．
【详解】解：
．
故选：C．
5．【答案】B
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查因式分解：先提取公因式，再利用平方差公式分解因式，得到因子对应的汉字，组合后匹配选项．
【详解】解：∵，
∴分解后的因子为8，，，，
对应汉字为：利、津、爱、我，
组合后为“我爱利津”，
故选：B．
6．【答案】B
【知识点】十字相乘法
【分析】本题考查了利用十字相乘法分解因式，熟练掌握十字相乘法是解题关键．根据题意得出常数项20需分解成两个整数的乘积，再根据十字相乘法可得所有可能的值，由此即可得．
【详解】解：∵能在有理数的范围内因式分解，且要使得m为整数，
∴常数项20需分解成两个整数的乘积，即，，，，，，
∴，，，，，，
∴，，，，，，
综上，整数的值有2个，
故选：B．
7．【答案】D
【知识点】因式分解在有理数简算中的应用
【分析】本题考查因式分解的应用以及用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．本题的关键是把所求代数式分解因式．由题意利用分组分解的方法把因式分解，再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵
，
∵，，
∴，
故选：D．
8．【答案】A
【知识点】因式分解的应用、三角形三边关系的应用
【分析】先对已知等式配方求出a，b的值，再根据三角形三边关系确定正整数c，最后计算周长即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵任何数的平方都是非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数为0，
∴，，
解得：，，
根据三角形三边关系，得：，
即，
∵是正整数
∴
∴的周长为：．
9．【答案】
【知识点】平方差公式分解因式
【详解】解：
．
10．【答案】
【知识点】绝对值非负性、完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了完全平方公式因式分解．利用非负数的性质，将方程转化为绝对值与完全平方的和为零，从而求出和的值．
【详解】解：由，得．因为且，所以且，即且，解得，．
故答案为：；．
11．【答案】
【知识点】提公因式法分解因式、因式分解在有理数简算中的应用
【分析】利用提公因式法提公因式，即可得结果．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解－提公因式法的应用；找出公因式是解题的关键，注意符号．
12．【答案】8070
【知识点】因式分解的应用、数的整除
【分析】本题考查数的整除知识，灵活运用数的整除性质是解题关键．
礼盒编号为四位数，需被15整除，即同时被3和5整除．被5整除要求个位数字为0或5；被3整除要求数字之和被3整除，即被3整除．为求最小编号，应分类讨论的取值（或），并比较两种情况下得到的最小编号，取其中较小者．
【详解】解：礼盒编号为四位数，需被15整除，即同时被3和5整除．
由被5整除，可知：或．
若，则被3整除，即是3的倍数，所以，此时最小编号为．
若，则被3整除，即是3的倍数，所以，此时最小编号为8175，均大于8070．
故最小编号为8070．
故答案为8070．
13．【答案】①②③
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、等边三角形的性质、判断命题真假、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了命题，涉及点坐标的特征，角平分线的性质，因式分解，等边三角形的性质及三角形外角的性质，据此逐一判断即可．
【详解】解：①若，关于x轴对称，则，即，故①为真命题；
②如果三角形一边的中点到其他两边距离相等，则该点在这个三角形的中线和角平分线上，那么这个三角形一定是等腰三角形，故②为真命题；
③将多项式因式分解，其结果为，故③为真命题；；
④如图，等边三角形中，则，
D是边上一点．E是边上一点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故④为假命题；．
故答案为：①②③．
14．【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
（1）用提取公因式法即可；
（2）用提取公因式法，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（3）先提取公因式法，再用平方差公式分解即可；
（4）先利用多项式乘式项式法则计算，合并同类项，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
15．【答案】“▲”代表的数字是3，“■”代表的数字是．
【知识点】十字相乘法、构造二元一次方程组求解
【分析】本题考查了因式分解，解二元一次方程组．根据同意得到，再根据等式的性质得到二元一次方程组，据此求解即可．
【详解】解：设“▲”代表的数字为，“■”代表的数字为，
．
，
，
解得，
“▲”代表的数字是3，“■”代表的数字是．
16．【答案】(1)
(2)
【知识点】分组分解法
【分析】本题主要考查用分组分解法分解因式，分组分解时往往还要用到提公因式法和公式法，首先观察给出的多项式，将多项式进行适当的分组，使分成的各组中有公因式或可以用公式分解；然后要再用提公因式法或公式法进行分解，注意因式分解要分解到不能分解为止．
（1）把前两项和第四项结合后利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式因式分解；
（2）先对式子进行分组分解，把已知的两式相加得，最后整体代入计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
∵，，
∴，
∴原式．
17．【答案】(1)；；；
(2)
，理由：
若是完全平方式，设，
∴，，
∴；
(3)满足条件的单项式为或或
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】（1）根据完全平方公式分解因式即可；
（2）根据完全平方公式的结构解答即可；
（3）分两种情况分别解答；
【详解】（1）解：；；；．
（2）略
（3）解：分两种情况讨论构造完全平方式：
①把和作为完全平方公式的两个平方项：需要补充的是中间的2倍交叉项，即，
此时、；
②把作为中间的2倍交叉项，1作为其中一个平方项：设补充的项为，
则，展开得，即单项式．
18．【答案】(1)
(2)，此时满足的形式；理由见解析
(3)的最小值为
【知识点】运用完全平方公式进行运算、完全平方公式在几何图形中的应用、因式分解的应用
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式的应用．
（）找到两个平方数之和等于的组合，即可得到的形式；
（）先对的表达式进行配方，将其整理为两个完全平方式加常数项的形式，再让常数项为，即可确定的值，使符合的形式；
（）先从已知等式中用含的代数式表示，再代入得到关于的表达式，再通过配方得到，再由完全平方的非负性求解最值．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：，此时满足的形式，
理由如下：
∵若能表示成（是整数）的形式，需要消去常数项，
∴，即，
此时满足的形式；
（3）解：，
整理得：
则
将其配方：
∵，
∴当，即时，
∴取得最小值：．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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