资源简介

15.3 等腰三角形 课时基础作业2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．如图，等腰的顶角为度，则它的底角为（ ）度．
A． B． C． D．
2．如图，在中，，将该三角形沿着折痕l折叠，使边落在边上，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能确定
4．如图，在中，点在边上，连接，且，则的周长是（ ）
A．18 B．20 C．26 D．28
5．如图，大盈江边一棵竹子在一次强风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵竹子在折断前的高度为（　　）
A．4米 B．8米 C．12米 D．15米
6．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且为等腰三角形，所有符合条件的点C有（ ）．
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
7．下列说法错误的是（ ）
A．任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形
B．任意一个等腰三角形都可以被分割成两个等腰三角形
C．任意一个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形
D．任意一个等腰三角形都可以被分割成两个直角三角形
8．如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则的长为 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
10．如图，已知直线于点O，点A，B分别在，上，，，在直线或直线上找一点C，使是等腰三角形，则这样的C点有（ ）
A．3个 B．4个 C．7个 D．8个
二、填空题
11．如图，已知等边△中，点D是的中点，点E是延长线上一点，且，作，垂足为M，连接，若，则的长度为_______．
12．如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接）
13．如图，，若________，则是等边三角形．
14．如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使，连接．有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是___________．（填序号）
15．如图为某工厂厂区示意图，办公大楼在工厂主干道上，车间，与办公大楼的距离皆为，且，．在主干道上选址仓库，从仓库到车间，修建厂区支路，，使得支路总长最短，测得仓库与办公大楼距离为．已修建的支路长为 ，还需修建的支路的长度用代数式可以表示为__________．
三、解答题
16．已知：如图，，、相交于点O，求证：．
17．如图，点D在AC上，，．你能在图中找到几个等腰三角形？分别说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角．
18．如图，灯塔B在灯塔A的正东方向，且．灯塔C在灯塔A的北偏东20°方向，灯塔C在灯塔B的北偏西50°方向．
（1）求的度数；
（2）一轮船从B地出发向北偏西50°方向匀速行驶，5h后到达C地，求轮船的速度．
19．如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？
小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置．
下面是小明根据这一方法写出的证明过程：
证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接
点B与点关于直线l对称
________，_________；
当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置．
(1)解决问题：补全证明过程；
(2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法）
20．如图，在等边中，点P，Q在边上，并且满足，作关于直线的对称图形，连接，线段交于点N．
(1)当时， ；
(2)求证：．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C A C B B C A D
1．【答案】A
【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用
【分析】利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算，即可得答案．
【详解】解：∵等腰的顶角为度，
∴度．
2．【答案】D
【知识点】三线合一、折叠问题
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三线合一定理，根据折叠的性质可判断A、B，再由三线合一定理可判断C；根据现有条件无法得到，则可判断D．
【详解】解：由折叠的性质可得，，
又∵，
∴，
根据现有条件无法得到，
故选：D．
3．【答案】C
【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、三角形内角和定理的应用
【分析】先根据三角形内角和定理求出第三个内角的度数，再依据等腰三角形的判定定理判断三角形类型．
【详解】解：第三个内角的度数为，
∵有两个内角相等，
∴这个三角形是等腰三角形．
4．【答案】A
【知识点】根据等角对等边证明边相等
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据等角对等边得出，结合已知则可求出，最后求出的周长即可．
【详解】解：∵，
∴，
又，
∴，
又，
∴的周长是，
故选：A．
5．【答案】C
【知识点】含30度角的直角三角形
【分析】给图形标注上字母，由含角的直角三角形的性质得，即可解决问题．
【详解】解：如图，
根据题意得：，米，
∵，
∴（米），
∴（米），
即这棵竹子在折断前的高度是米．
6．【答案】B
【知识点】格点图中画等腰三角形
【分析】本题考查了作图与应用，解题的关键是掌握等腰三角形的定义，学会运用数形结合的思想解决问题．
根据等腰三角形的定义和网格的特点即可求解．
【详解】解：如图所示：
，故为等腰三角形，
，故为等腰三角形，
，故为等腰三角形，
，故为等腰三角形，
，故为等腰三角形，
则一共有5个等腰三角形，
故选：B．
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质和判定
【分析】根据等腰三角形和直角三角形的性质判断各选项即可得出答案．
【详解】解：、任意一个直角三角形一定能分成两个等腰三角形，本选项正确，不符合题意；
、任意一个等腰三角形不一定能分成两个等腰三角形，本选项错误，符合题意；
、任意一个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形，本选项正确，不符合题意；
、任意一个等腰三角形都可以被分割成两个直角三角形，本选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形和直角三角形的知识，解题的关键是能判断等腰三角形及直角三角形，可动手操作进行判断．
8．【答案】C
【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行可以证明等腰三角形，是解题的关键．
根据角平分线平行可以证明等腰三角形，所以可得，，从而由求出，即可求解的长．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
9．【答案】A
【知识点】找出图中的等腰三角形、根据等角对等边证明等腰三角形、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题．
根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
∵平分，
∴，
∴，则是等腰三角形；
∵，
∴，则是等腰三角形；
∵平分，
∴，
∴，则是等腰三角形；
∵，
∴，则是等腰三角形，
综上，图中共有5个等腰三角形，
故选：A．
10．【答案】D
【知识点】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
【分析】本题考查了等腰三角形的判定；根据等腰三角形的判定分类别分别找寻，分可能为底，可能是腰进行分析．
【详解】解：使是等腰三角形，
当当底时，则作的垂直平分线，交的有两点，即有两个三角形．
当让当腰时，则以点A为圆心，为半径画圆交有三点，所以有三个．
当以点B为圆心，为半径画圆，交有三点，所以有三个．
所以共8个．
故选：D．
11．【答案】9
【知识点】等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了等腰三角形与等边三角形，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．连接，根据等边三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质推出，从而得到为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质即可得点M是的中点，即可求解．
【详解】证明：如图，连接．
∵在等边中，点是的中点，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
又∵，
∴点是的中点，
∴．
故答案为：．
12．【答案】
【知识点】大（小）边对大（小）角定理
【分析】本题考查三角形边角关系定理，掌握知识点是解题的关键．
根据三角形边角关系定理，大边对大角，小边对小角，由已知边的大小关系推导对应角的大小关系，即可解答．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
13．【答案】（答案不唯一）
【知识点】等边三角形的判定
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，根据等边三角形的定义进行分析，即可求解．
【详解】解：当或或或或时，是等边三角形，
故答案为：（答案不唯一）．
14．【答案】①②③④
【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质
【分析】根据等边三角形的性质及等边对等角依次判断即可．
【详解】∵是等边三角形，是中线，
∴平分；；故①②正确；
∵，
又，
∴，
∴，
∴
∴，故③④正确，
综上其中正确的是①②③④．
15．【答案】
【知识点】最短路径问题、线段问题(轴对称综合题)、列代数式
【分析】本题考查轴对称的性质与最短路径问题，解题关键是利用轴对称将线段和转化为两点之间线段，结合等边三角形判定求总长，再作差得长度．
作点关于的对称点，连接，则（最短路径），由角度计算得，结合，判定为等边三角形，得．由，得．
【详解】解：作点C关于直线的对称点连接，交于点D，
此时，，根据两点之间线段最短，即为所求的仓库位置．
由对称性，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
∵，且，
∴，
故答案为：．
16．【答案】
证明：在和中，
∴，
∴，
∴．
【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、根据等角对等边证明边相等
【分析】找到隐含的公共边这一条件，通过先证明，从而得到，最后利用等角对等边即可证明结论．
【详解】略
17．【答案】见解析
【知识点】等腰三角形的定义、找出图中的等腰三角形
【分析】根据等腰三角形的定义，即可进行解答．
【详解】解：∵，
∴为等腰三角形，
中，腰：和，底边：，顶角为；
∵，
∴为等腰三角形，
中，腰：和，底边：，顶角为．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的相关定义，解题的关键是掌握在等腰三角形中，相等的两条边为腰，另外一条边为底边，底边所对的角为顶角．
18．【答案】（1）70°；（2）15km/h
【知识点】三角形内角和定理的应用、根据等角对等边求边长、与方向角有关的计算题
【分析】（1）根据题意得∠BAC=70°，∠ABC=40°，根据三角形的内角和定理即可求得∠ACB；
（2）根据等腰三角形的判定可得BC=AB=75km，进而由速度=路程÷时间求解即可．
【详解】解：（1）根据题意得∠BAC=70°，∠ABC=40°，
∴∠ACB=180°－∠BAC－∠ABC=180°－70°－40°=70°；
（2）∵∠BAC=∠ACB=70°，
∴BC=AB=75km，
∴轮船的速度为75÷5=15（km/h）．
【点睛】本题考查方位角、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理，理解方位角，熟练掌握等腰三角形的等角对等边是解答的关键．
19．【答案】(1)，
(2)见解析
【知识点】最短路径问题、根据成轴对称图形的特征进行求解、画轴对称图形
【分析】本题是几何变换综合题，考查轴对称的最短路径问题中的应用，两点之间，线段最短，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据题意补全即可；
（2）根据轴对称的最短路径问题，作图即可．
【详解】（1）解：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，，
，，
，
当，，三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置，
故答案为：，，；
（2）解：如图，作点A关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求的水厂位置，使铺设管道的长度最短．
20．【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】（1）证明，得到，对称，得到，即可得出结果；
（2）证明为等边三角形，即可．
【详解】（1）解：∵等边，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵对称，
∴；
（2）证明：∵为等边三角形，
∴，
由（1）可知：，，
∴，
∵对称，
∴，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑