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16.3 乘法公式 课时基础作业2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．下列式子中，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列式子用乘法公式计算，下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知是完全平方式，则m的值为（ ）
A． B．3 C． D．6
6．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，正方形与正方形的边长分别为a，b，若，则阴影部分的面积是（ ）
A．20 B．25 C．30 D．40
8．如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各8张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个大正方形，则所有能够拼成符合要求的大正方形的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
9．关于x的二次三项式（a，b均为非零常数），关于x的三次三项式（其中c，d，e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（ ）
①当时，；
②当为关于x的三次三项式时，则；
③当多项式M与N的乘积中不含项时，则；
④；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
10．定义，例如．则_____________．
11．已知，，则______．
12．若二次三项式是一个完全平方式，则的值是___________．
13．如图，用正方形卡片类4张、B类9张和长方形卡片类张拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为_____．（用含的式子表示）
14．从前，有一个狡猾的地主把一块边长为的正方形土地租给马大伯耕种．过了一年，他对马大伯说：“我把租给你的这块地的一边减少，另一边增加，继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”马大伯一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道马大伯吃亏了，他亏了______．
三、解答题
15．计算：
(1)
(2)
(3)
16．如图①，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个如图②所示的长方形．

(1)上述操作能验证的等式是__________；（填序号）
①；②；③．
(2)根据（1）中的等式，完成下列各题：
①已知，，求的值；
②计算：．
17．借助图形直观，感受数与形之间的关系，我们常常可以发现一些重要结论．
初步应用：（1）如图1，大正方形的面积可以看作是边长为的正方形面积，还可以看作是两个正方形的面积与两个长方形的面积的和，即，，，的和，从而得到乘法公式：
．仿照图1，构造图形并计算．
经验总结：完全平方公式可以：从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．（2）如图2，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，连接，若，两正方形的面积和，求的面积．
应用迁移：（3）已知x、y、z满足，，，求的值．
18．如图，某小区有一块长为，宽为的长方形地，角上有四个边长为的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．
(1)用含有，的式子表示绿化的面积（结果写成最简形式）；
(2)物业找来阳光绿化团队完成此项绿化任务，已知该团队每小时可绿化，每小时收费元，则该物业应该支付绿化团队多少元（用含，的代数式表示）？试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B D C D A A C B D
1．【答案】B
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查了平方差公式，平方差公式的形式为．
判断各选项是否符合的形式即可．
【详解】解：A．，不符合的形式；
B．，符合的形式；
C．，不符合的形式；
D．，不符合的形式；
故选：B．
2．【答案】D
【知识点】运用平方差公式进行运算、添括号
【分析】本题考查了平方差公式，先理解题意，再把整理为，再结合选项进行分析比较，即可作答．
【详解】解：依题意，，
故选：D．
3．【答案】C
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的计算是解题的关键．利用完全平方公式，将展开为，然后代入已知值计算．
【详解】解：∵，
又∵，，
∴
故答案为：C．
4．【答案】D
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键；
使用完全平方公式 进行计算每个选项，判断哪个等于即可．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
5．【答案】A
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】根据完全平方式的定义对应系数列等式，即可求解m的值．
【详解】∵完全平方公式为，
又是完全平方式，
∴，
约去得，
解得．
故选：A．
6．【答案】A
【知识点】平方差公式与几何图形
【分析】本题考查了平方差公式的图形推导，根据两个图形中阴影部分的面积相等列式即可得到答案；
【详解】解：由图形可得，
，
故选：A．
7．【答案】C
【知识点】通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查分割法求阴影部分面积，利用完全平方公式变形求值，根据题意得，求出梯形的面积，和得出阴影部分的面积代数式，将代入计算即可．
【详解】解：由题意可知，
∴梯形的面积为，
，，
∴阴影部分的面积，
∵，
∴，
故选C．
8．【答案】B
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】考查完全平方公式的意义和应用，面积法表示完全平方公式是得出答案的前提．每一种卡片8张，并且每种卡片至少取1张，因此拼成的正方形的边长可以为：，，，四种情况．
【详解】解：∵每一种卡片8张，并且每种卡片至少取1张，拼成的正方形，
∴正方形的边长可以为：，，，四种情况；
（注意每一种卡片至少用1张，至多用8张）
即：，需要A卡片1张，B卡片2张，C卡片1张；
，需要A卡片1张，B卡片4张，C卡片4张；
，需要A卡片1张，B卡片6张，C卡片9张，大于8张，不合题意；同理也不合题意；
，需要A卡片4张，B卡片4张，C卡片1张；
，需要A卡片4张，B卡片8张，C卡片4张；
故选：B．
9．【答案】D
【知识点】多项式的项、项数或次数、整式的混合运算、已知多项式乘积不含某项求字母的值、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查代数式求值，整式的加减运算，多项式乘多项式中不含某一项的问题．将代入代数式求出的值，判断①，根据多项式的和为三次三项式，得到的常数项为0，求出的值，确定②，计算多项式乘多项式后，项的系数为，求出的值判断③，根据恒等式对应项的系数相等，求出的值，判断④．掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴当时，；故①正确；
∵，为关于x的三次三项式，且a，b均为非零常数，
∴，
∴；故②正确；
∵
，
又多项式M与N的乘积中不含项，
∴，
∴；故③正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；故④正确；
综上：正确的个数为4个；
故选D．
10．【答案】
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】根据题中定义的新运算规则，将对应式子代入，利用平方差公式计算即可．
【详解】解：由题意得：
．
11．【答案】
【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查的是完全平方公式，熟练掌握此公式是解题的关键．利用完全平方公式，将已知条件代入求解即可．
【详解】解：根据完全平方公式，有，
已知，
所以，
又已知，则，
因此，
移项得，
故答案为：．
12．【答案】6或
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】直接利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，即或．
【点睛】掌握完全平方公式是解题的关键．
13．【答案】
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何应用，解题的关键是掌握完全平方公式．
利用完全平方公式进行求解即可．
【详解】解：根据题意得，，
∴大正方形的边长为，负值已舍，
故答案为：．
14．【答案】25
【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查了平方差公式在生活实际中的运用，解题的关键就是读懂题意列出算式，然后熟练的运用平方差公式进行计算．由题意可知道原来正方形土地的面积是平方米，而现在这块地的一边减少5米，另一边增加5米后的面积是平方米，然后用减去算出答案即可．
【详解】解：∵原来正方形土地的面积是平方米，
现在这块地的一边减少5米，另一边增加5米后的面积是平方米，
∴平方米，
∴马大伯租用的土地面积亏了25平方米，
故答案为：25．
15．【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】单项式乘多项式的应用、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式进行展开，再合并同类项，即可作答．
（2）运用完全平方公式进行计算，即可作答．
（3）先整理原式，再运用完全平方公式，然后去括号，得即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
（3）解：
16．【答案】(1)②
(2)；
【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形
【分析】（1）根据题意，将前后两个图形的面积表示出来即可 ；
（2）根据平方差公式即可求出答案 ．
【详解】（1）解：图①中，边长为的正方形的面积为：，
边长为的正方形的面积为：，
图①的阴影部分为面积为：，
图②中长方形的长为：，
长方形的宽为：，
图 2 长方形的面积为：，
∴验证的等式是，
故答案为：②；
（2）解：①根据（1）中等式得：
，
，
；
②原式
．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景， 掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
17．【答案】
（1）如图，已知大正方形的边长为，
利用图形3的面积关系可得：．
（2）；（3）
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查的是完全平方公式及其变形的应用；
（1）直接作图即可得出即可；
（2）由题意可得，，再结合完全平方公式的变形可得答案；
（3）由可得，再两边平方可得答案．
【详解】解：（1）略
（2）由题意可得：，
∵两正方形的面积和，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
18．【答案】(1)
(2)元
【知识点】整式的混合运算
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解决本题的关键是根据整式的混合运算法则进行计算即可．
根据绿化面积等于长方形的面积减去四个小正方形的面积，可得：，根据多项式乘以多项式的法则和完全平方公式展开，再合并同类项即可；
根据该团队每小时可绿化，每小时收费元，可得：，然后再根据单项式乘以多项式的法则进行运算即可．
【详解】（1）解：根据题意，得绿化的面积为：
，
绿化的面积是；
（2）解：根据题意得：元．
该物业应该支付绿化团队元．
答案第1页，共2页
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