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五省联考 2027 届高考适应性考试
数学试题
本试卷共 4 页，19 题。满分 150 分。考试用时 120 分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数 满足 ，则在复平面内， 对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2．已知集合 ，，则
A. B. C. D.
3．已知平面向量 ，，，，若 在 上的投影向量为 ，则
A. B. C. D.
4．正项递增等比数列 ，前 项的和为 ，若 ，，则
A. B. C. D.
5．自驾旅游已成为很多家庭节假日休闲娱乐的首选。小明一家人自驾旅行途中，看到一座特色建筑，小明根据实景绘制出该建筑的几何示意图，并且根据介绍标记了其中一些数据，如右图所示（单位：m），建筑上半部分的侧棱长都相等，下半部分是正棱台，则该建筑上半部分与下半部分体积的比为
A. B. C. D.
6．古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用 表示，即 ，设 ，则
A. B. C. D.
7．已知偶函数 （）的图象向右平移 （）个单位长度所得的图象与原图象重合，若 的最小值为 ，曲线 与 恰有一个交点，则实数 的值为
A. B. C. D.
8．点 为正四面体 的内切球球面上的两个动点， 为棱 上的一动点，则当 取最大值时，
A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．函数 （）的图象如图所示，则下列说法中正确的是
A．
B．函数 的图象关于点 对称
C．将 向左平移 个单位长度，得到函数
D．若方程 在 上有 个不相等的实数根，则 的取值范围是
10．已知在棱长为 的正四面体 中， 为 的中点，则下列说法正确的有
A．异面直线 与 所成角的余弦值为
B．若 为棱 上的动点，则 的最小值为
C．正四面体 的外接球被平面 所截得的截面面积为
D．若正四面体 外接球的球心为 ，则三棱锥 与正四面体 内切球公共部分的体积为
11．已知函数 ，则
A．当 时，函数 单调递增
B．当 时，函数 有两个极值
C．过点 且与曲线 相切的直线有且仅有一条
D．当 时，若 是 与 的等差中项，直线 与曲线 有三个交点 ，则
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．已知 ，且 ，则 　　　　。
13．若函数 的最小值为 ，则实数 的取值范围是 　　　　。
14． 为数列 的前 项和，满足 ，则 　　　　； 　　　　。
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13 分）已知数列 满足 ，。
（1）证明：数列 为等差数列，并求通项 ；
（2）求数列 的前 项和 。
16．（15 分）如图，在 中，，， 分别为 中点，将 沿 翻折成 ，得到四棱锥 ， 为 中点。
（1）证明：平面 ；
（2）若 ，试问求平面 与平面 夹角的余弦值是否等于 ？若存在，请给出证明，若不存在，请说明理由。
17．（15 分）锐角 的内角 的对边分别为 ，且 。
（1）若 ，求 ；
（2）求 的取值范围。
18．（17 分）已知椭圆 （）， 为 轴上的一点，椭圆 的左、右焦点分别为 ， 为坐标原点。
（1）若 ，且 ，求椭圆 的离心率；
（2）若 且 ， 是 上两个不同的点（ 不共线），求 的最大值；
（3）设经过点 的直线 交椭圆 于 两点（点 均在 轴上方），若对于任意的 ，都存在直线 ，使得 ，求实数 的取值范围。
19．（17 分）设函数 的定义域为 ， 为 的值域，若存在 的真子集 ，使得 ，则称 具有性质 ，且 为 的一个“代表集”。
（1）判断函数 和 是否具有性质 （无需说明理由）。若具有性质 ，直接写出它的一个“代表集”；
（2）设 ，函数 的定义域 ，且 。若 具有性质 ，求实数 的取值范围；
（3）设函数 的定义域 ， 是定义在 上的严格增函数且 ，集合 。若 满足 ，证明：函数 具有性质 ，且对 的任意“代表集”，都有 。

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