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第26章 二次函数 章末检测试题
2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册
一、单选题
1．下列各式中，是关于的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．当时，的函数值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知二次函数的图象开口向下，则“□”可能是（ ）
A． B．0 C． D．2
5．把抛物线向右平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）．
A． B． C． D．
6．若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．已知二次函数与x轴无交点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．关于二次函数的图象，下列结论正确的是（ ）
A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线
C．其最小值为 D．当时，随的增大而减小
9．掷实心球是中考体育考试项目之一，如图是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示．掷出时起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处．则该男生此次掷实心球的成绩是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．图象的对称轴是直线
二、填空题
11．二次函数与轴交于，则的值为______．
12．如果函数是关于x的二次函数，则_______．
13．一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________．
14．已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下：
x … 1 3 …
y … 4 …
则关于x的方程的解为：________．
15．已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______
16．已知抛物线与轴交于点和点，点为抛物线上的一动点，当为直角三角形时，则点的坐标为______．
三、解答题
17．已知在平面直角坐标系内，抛物线经过轴上两点，，点的坐标为，与轴相交于点．求抛物线的表达式以及点的坐标．
18．在平面直角坐标系中，已知二次函数．
(1)若该二次函数图象的顶点在轴上，求此二次函数的表达式；
(2)若该抛物线的顶点到轴的距离为，求的值．
19．如图，在平面直角坐标系中，，，，点B的坐标为．抛物线经过A、B两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作垂直x轴于点D，交线段于点E，使．求点P的坐标．
20．如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
21．已知二次函数．图象经过点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围；
(3)当，二次函数的最大值是，求的值．
22．2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动．
(1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率；
(2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？
23．如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）；
(2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？
(3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由．
(4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？
24．燃放烟花爆竹是中华民族传承千年的春节习俗．新春佳节，嘉琪在安全区域燃放一款烟花，如图1，火花从垂直地面的烟花筒的顶端A处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以烟花放置位置O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，烟花筒的高度是米，喷出的最远的一颗火星的运动轨迹为抛物线，与烟花筒的水平距离为1米时，达到最大高度2米，之后火星沿原来的抛物线继续运动，落到地面上的B点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)嘉琪点燃烟花后，跑到离烟花筒水平距离为米处，是否存在安全隐患，请说明理由；
(3)设图1中喷出的所有火星的运动轨迹所在的抛物线形成了烟花瀑布，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线l上，如图3，其中一条抛物线与直线相交于点E．
①的顶点坐标为________________；l的表达式为________________．
②设烟花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点F，经测算，当时，烟花瀑布的观赏效果最好，请直接写出此时拋物线中a的取值范围________________．
25．定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，两个二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线与是共生抛物线
已知抛物线的顶点是点，它的共生抛物线的顶点是；
(1)点的坐标是___________，抛物线的函数关系式是___________．
(2)当的取值范围是___________时，抛物线与的函数值都随的增大而减小．
(3)直线与抛物线均有两个交点，这些交点从左到右分别是．
①求的取值范围是___________；
②在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A A C A C D B D
1．B
【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，为常数）的整式函数，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、是分式，不是整式，不符合定义，该选项不符合题意；
B、整理得，符合，符合二次函数定义，该选项符合题意；
C、中x的最高次数为1，是一次函数，该选项不符合题意；
D、中，一个x对应两个不同的y值，y不是x的函数，该选项不符合题意．
2．B
【分析】二次函数顶点式的顶点坐标为．
【详解】解：抛物线顶点坐标为．
3．A
【分析】将代入式子中相应的位置即可求出函数值．
【详解】将代入得
．
4．A
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象开口向下，则二次项系数小于零，即可求解．
【详解】解：∵ 二次函数的开口方向由决定，当时开口向下，
又∵ 题目中二次项系数为“□”，
∴，
故选：A．
5．C
【分析】根据平移口诀“左加右减，上加下减”进行判断即可．
【详解】解：根据题意，平移后的抛物线的解析式为．
6．A
【分析】本题考查二次函数的性质，利用开口方向和点到对称轴的距离判断函数值大小，先求出抛物线对称轴，再根据开口向上的性质比较即可．
【详解】∵二次函数解析式为
∴抛物线开口向上，对称轴为直线开口向上时，点到对称轴的距离越大，
对应的函数值越大分别计算三个点到对称轴的距离：
点到对称轴的距离：
点到对称轴的距离：
点到对称轴的距离：
∵
∴．
7．C
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，根据一元二次方程根的情况求参数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
根据二次函数与x轴无交点，得出方程无实数根，再列出不等式求解．
【详解】解：∵二次函数与x轴无交点，
∴方程无实数根，
∴，
解得：，
故选：C．
8．D
【分析】将二次函数一般式化为顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可．
【详解】解：把化为顶点式：，
∵，
∴图象开口向上，A错误；
该函数的对称轴为直线，B错误；
∵开口向上，顶点坐标为，
∴函数的最小值为，C错误；
∵，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小．
9．B
【分析】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数表达式是解题的关键．已知顶点坐标，设顶点式，将代入求出的值，即可求出函数表达式，再求出时的值，即点的坐标，则可知的长．
【详解】解：设行进高度与水平距离之间的函数关系式为，
将代入得：，
解得，
，
当时，，
解得，（不合题意，舍去），
点的坐标为，
的长为，
该男生此次掷实心球的成绩是．
故选：B．
10．D
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是根据抛物线的开口方向、与轴交点的个数、对称轴判断各项是否正确．
【详解】解：A选项：当时，，由函数图像可知，抛物线与轴的交点在轴的正半轴，，故A选项错误；
B选项：由函数图像可知，抛物线与轴有两个不同的交点，
方程有个不相等的实数解，
，故B选项错误；
C选项：二次函数的图象经过点，
当时，，故C选项错误；
D选项：二次函数的图象经过点，，
抛物线的对称轴是，故D选项正确．
故选：D．
11．
【分析】二次函数图象与轴交点的坐标满足二次函数解析式，将交点坐标代入函数解析式，求解关于的一元二次方程即可得到的值．
【详解】解：∵二次函数与轴交于点，
∴将，代入得，
整理得，
∴，
解得,
∴的值为．
12．
【详解】解：由题意，可得 ，
解方程，得，
解得或；
由，得，
故.
13．
【分析】先根据题意得到新正方形的边长. 再利用正方形面积公式列出与的关系式. 整理后即可得到函数解析式．
【详解】由题意可知，原正方形边长为，边长增加后，新正方形的边长为
根据正方形面积公式，可得：
展开整理得：
由的实际意义可知，
∴．
14．，
【分析】将方程的解等价转化为二次函数中时对应的的值是解题关键，先根据表格数据求出抛物线的对称轴，再利用对称性得到时对应的所有的值即可．
【详解】解：由表格可知，二次函数经过点，，，
点与点纵坐标相等，
抛物线的对称轴为直线，
设点关于对称轴的对称点横坐标为，
则，
解得，即对称点坐标为，
当时，的值为或，
即关于的方程的解为，．
15．
【分析】根据点A和点B的纵坐标相同求出对称轴为直线，根据函数图象开口向上时，在对称轴处取得最小值可确定对称轴为直线，据此建立方程求解即可．
【详解】解：∵二次函数图象经过点和点，
∴二次函数的对称轴为直线，
∵在中，，
∴该二次函数的图象开口向上，
∴在对称轴处函数有最小值，
又∵当时函数取得最小值，
∴该函数的对称轴为直线，
∴，
∴．
16．或
【分析】由题意易得，设，然后根据两点间距离公式可得，，，进而根据勾股定理进行分类讨论求解即可．
【详解】解：令时，则有，解得，
不妨令点在点的左侧，
∴，
设，
∴，
，
，
当为直角三角形，且时，根据勾股定理得：，
∴，
解得，此时点T与点重合，故不符合题意；
当时，同理可得：，
解得：，此时点T与点重合，故不符合题意；
当时，同理可得：，
解得，
∵不符合题意，
∴或，
∴当时，则；
当时，则；
综上所述：当为直角三角形时，点的坐标为或．
17．
抛物线表达式为，点的坐标为
【详解】解：将点代入，得，
，
解得，
∴抛物线的表达式为，
将代入，得，
∴点的坐标为．
18．(1)；
(2)或.
【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题、二次函数的顶点坐标等，熟练掌握二次函数与轴的交点问题和配顶点式是解题的关键．
（1）根据二次函数图象的顶点在轴上，可得，代入求解即可；
（2）先将配成顶点式，再结合题目求解即可.
【详解】（1）解：∵二次函数图象的顶点在轴上，
∴与轴只有一个交点，即，
，
解得：，
二次函数表达式为；
（2）解：∵，
∴顶点为，
∵抛物线的顶点到轴的距离为，
∴，
解得，，
的值为或．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件求出，，根据待定系数法求解即可；
（2）先求出的解析式，然后表示出，，根据即可求解；
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中， ，
∴，即
∴，
∴，
把代入得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：如图，
设的解析式为：，
∵,，
所以，
解得，
所以的解析式为：，
设， 则，
∵，
∴ ，
解得：（舍） 或，
∴.
20．(1)抛物线的函数表达式为
(2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为
【分析】（1）由点的坐标设抛物线的交点式，再把点D的坐标代入计算可得；
（2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可求得．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
∵当时，，
∴点D的坐标为，
∴将点D坐标代入解析式得，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：由抛物线的对称性得，
∴，
当时，，
∴矩形的周长
，
∵，
∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为．
21．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）将点代入，求出的值即可；
（2）原命题等价于恒成立，即，通过变形可得，因此当时，取得最大值，从而得到的取值范围；
（3）先分析该二次函数的图象与性质，可得该抛物线的开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线．分类讨论，当对称轴在区间左侧，随的增大而减小，当时，取得最大值，解得；当对称轴在区间内，在顶点处取得最大值，此时的值与题设矛盾；当对称轴在区间右侧，同理，当时，取得最大值，解得．
【详解】（1）解：将点代入，得，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：∵，
∴，
∴，
，
∵，
∴当时，取得最大值，
∵对于一切实数，都有，
∴；
（3）解：，
∴该抛物线的开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，
①当，即时，
当时，区间在对称轴右侧，
∴随的增大而减小，
∴当时，取得最大值，
∴，
化简，得，
解得或（与题设矛盾，舍去），
∴；
②当，即时，
当时，对称轴在区间内，
∴当时，取得最大值，
∴，即，与题设矛盾，故舍去；
③当，即时，
当时，区间在对称轴左侧，
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，
∴，
化简，得，
解得或（与题设矛盾，舍去），
∴；
综上所述，的值为或．
22．(1)每月产量的增长率为 .
(2)应降价元，最大利润为 元.
【分析】（1）设每月产量的增长率为，根据原产量和增长两次后的产量关系列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果；
（2）设降价元，每天总利润为 元，根据总利润每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根据二次函数的性质即可求出最大利润和对应的降价金额．
【详解】（1）解：设每月产量的增长率为，
根据题意列方程得: ，
解得 , ，增长率不能为负，不符合实际，舍去，
答: 每月产量的增长率为；
（2）解：设降价元，每天总利润为 元，
根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件，
∴，
，
当时， 取得最大值，最大值为，
答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元．
23．(1)；；
(2)1秒后
(3)解：不能，理由如下：
当的面积等于时，则，
整理，得，
∴，
∴方程没有实数根，
故的面积不能等于；
(4)当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为.
【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间以及线段的和差关系列出代数式即可；
（2）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可；
（3）根据三角形的面积公式列出方程，求出判别式的符号，即可得出结果；
（4）将三角形的面积转化为二次函数求最值即可.
【详解】（1）解：由题意，得，
∴；
（2）解：∵，，，
∴的面积，
解得或，
当时，（不符合题意，舍去）；
∴，
答：1秒后，的面积等于；
（3）略
（4）解：当点运动到点时，秒；
由题意，，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随着的增大而增大，
∵，
∴当时，的值最大为；
故当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为.
24．(1)
(2)不存在安全隐患，理由见解析
(3)①；②
【分析】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线的解析式为，再将点代入求解即可；
（2）当时，，此时火星已经落地，即可判断答案；
（3）①设直线l的表达式为，将和的顶点坐标的顶点代入求解即可；
②先求出，，再根据的顶点在直线l上，求得，即，可进一步求得，结合，可得，再解不等式即可．
【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：不存在安全隐患；理由如下：
当时，，
当时，火星已经落地，不存在安全隐患；
（3）解：①，
的顶点坐标为；
设直线l的表达式为，
将的顶点和代入，得，
解得，
直线l的表达式为；
②．理由如下：
令，则，
解得，，
，
令，则，
解得，，
，
，
抛物线的顶点坐标为，
把顶点的坐标代入直线l的表达式，得，
整理，得，
解得，，
当时，抛物线开口向下，顶点在，无实际飞行轨迹，舍去，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
25．(1)；
(2)
(3)①；②
【分析】（1）根据抛物线的解析式可得点P的坐标，根据共生抛物线的定义，可以得到抛物线的顶点坐标和二次项系数，据此可得答案；
（2）根据（1）所求分别求出抛物线和的函数值随的增大而减小时x的取值范围即可得到答案；
（3）①求出直线经过点Q和点P时m的值，再结合函数图象即可得到答案；②分两种情况：点P为直角顶点和点Q为直角顶点，利用一线三垂直模型构造全等三角形求出点K的坐标，再验证点K是否在抛物线上即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点是点，
∴点P的坐标为，
∵抛物线的共生抛物线的顶点是，
∴，且抛物线的二次项系数为，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵抛物线的解析式为，且，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当，的函数值随着x的增大而减小；
∵抛物线的解析式为，且，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当，的函数值随着x的增大而减小；
综上所述，当时，抛物线与的函数值都随的增大而减小；
（3）解：①如图所示，
当直线恰好经过点P时，则，
当直线恰好经过点Q时，则，
由函数图象可知，当时，直线与抛物线分别有两个不同的交点；
②如图所示，当点P为直角顶点时，
过点P作轴，过点K作，过点Q作，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，当时，，
∴点在抛物线上，此时符合题意；
如图所示，当点Q为直角顶点时，同理可得，
在中，当时，，
∴点不在抛物线上，此时不符合题意；
综上所述，点K的坐标为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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