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17.2 用公式法分解因式 课时夯实练习2026-2027学年
人教版八年级数学上册
一、单选题
1．下列各多项式中，能因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
2．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．将多项式分解因式的结果是（　　）
A． B．
C． D．
4．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，分别对应下列六个字：爱，我，利，津，学，校．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．利津爱学 B．我爱利津 C．利津学校 D．我爱学校
5．对多项式因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（ ）
A．甲： B．乙： C．丙： D．丁：
7．设，则与最接近的正整数是( )
A． B． C． D．
8．若是完全平方式，则实数的值为（ ）
A． B．或 C．5 D．4
二、填空题
9．若，，则_____．
10．设，，则数a，b，c的大小关系是__________．
11．将下列四个图形拼成一个大长方形，据此写出一个将多项式因式分解的等式为______．
12．若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是________．
13．若，则的值为_______.
三、解答题
14．计算、因式分解
(1)
(2)
(3)
(4)
15．对于二次三项式，不能直接用公式法，我们可以在二次三项式中先加上一项，构造完全平方式，再减去．例如：．像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫作添（拆）项法．
(1)请用上述方法把分解因式．
(2)多项式有最小值吗？如果有，请求出多项式的最小值和x的值．
16．长方形的长为a厘米，宽为b厘米，其中，如果将原长方形的长和宽分别增加3厘米，得到的新长方形面积记为S1，如果将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形面积记为S2．
(1)用含a、b的式子分别表示S1和S2；
(2)若a、b为正整数，请说明：S1与S2的差一定是5的倍数．
17．下面是小明同学的数学笔记，笔记中有一道因式分解题，小明在练书法时不小心将笔记中的两个数字沾上了墨水，分别求出“▲”“■”代表的数字
因式分解：．
18．小七同学对数学科目的学习兴趣浓厚．本学期在学习十七章因式分解的课堂中了解到因式分解的方法有很多种，如提公因式法、公式法、十字相乘法等．他回家主动查阅网络资料后了解到，还有一种分组分解法．即要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，两组分别进行因式分解后，两项具有相同的公因式，再运用提公因式法进行分解从而解决问题，步骤如下：
这种分解因式的方法称为分组分解法．
根据以上方法回答下列问题：
(1)分解因式分组分解法体现的数学思想有（ ）
A．方程思想 B．数形结合思想 C．分类讨论思想 D．整体思想
(2)解决问题：因式分解：；
(3)拓展应用：已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C B C D A B
1．【答案】D
【知识点】完全平方公式分解因式、判断能否用公式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解，能熟记因式分解的方法是解此题的关键，①把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，②因式分解的方法有提取公因式法，公式法等．
根据因式分解的方法逐个判断即可．
【详解】解：A、不能因式分解，故本选项不符合题意；
B、不能因式分解，故本选项不符合题意；
C、，不符合平方差公式，不能因式分解，故本选项不符合题意；
D、能用完全公式分解因式，故本选项符合题意；
故选：D．
2．【答案】C
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】本题考查了平方差公式分解因式，将分解因式，再代入已知条件计算的值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：．
3．【答案】C
【知识点】综合运用公式法分解因式
【分析】本题考查了公式法因式分解．
利用完全平方公式和平方差公式进行解答．
【详解】解：
．
故选：C．
4．【答案】B
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查因式分解：先提取公因式，再利用平方差公式分解因式，得到因子对应的汉字，组合后匹配选项．
【详解】解：∵，
∴分解后的因子为8，，，，
对应汉字为：利、津、爱、我，
组合后为“我爱利津”，
故选：B．
5．【答案】C
【知识点】十字相乘法
【分析】本题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是关键．利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：．
故选：C．
6．【答案】D
【知识点】平方差公式分解因式、因式分解的应用、完全平方公式分解因式、提公因式法分解因式
【分析】甲：利用完全平方公式进行因式分解即可；乙：利用平方差公式进行因式分解即可；丙：利用提取公因式法进行因式分解即可；丁：不能进行因式分解．
【详解】解：A、甲：，故此选项不符合题意；
B、乙：，故此选项不符合题意；
C、丙：，故此选项不符合题意；
D、丁：，不能因式分解，故此选项符合题意．
7．【答案】A
【知识点】因式分解在有理数简算中的应用、含乘方的有理数混合运算
【分析】本题考查的是有理数的混合运算，平方差公式的应用，按照有理数混合运算的顺序，以此类推可以计算结果．
【详解】
因为
所以与最接近的正整数为25．
故选：A．
8．【答案】B
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了完全平方公式的应用知识点，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
本题根据完全平方公式，分析多项式的结构，得出“中间项系数需满足与首项、末项的关系”的结论，进而通过解方程求出的值，即可解决根据完全平方式的结构特征求字母参数的问题．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
∵，
∴，
即：，
当时，；
当时，，
综上：或．
故选 ：B．
9．【答案】10
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、平方差公式分解因式
【详解】解：根据平方差公式可得
将，代入得原式．
10．【答案】/
【知识点】因式分解在有理数简算中的应用、平方差公式分解因式
【分析】本题考查因式分解，将利用平方差公式进行因式分解后，再根据乘法法则，比较大小即可．
【详解】解：，
，
∵，
∴；
故答案为：．
11．【答案】
【知识点】因式分解的应用
【分析】本题考查了因式分解与图形的面积问题．
画出拼接的长方形，进而根据面积的两种表达方式列等式即可．
【详解】解：拼接如图：
长方形的面积为，还可以表示面积为：．
故答案为：．
12．【答案】10
【知识点】完全平方公式分解因式、三角形三边关系的应用
【分析】本题主要考查三角形的三边关系，因式分解，将变形得，求得，的值，再分两种情况讨论即可．
【详解】解：将变形，得，可得，．
①若是腰长，则三角形的三边长为：、、，不能组成三角形；
②若是底边长，则三角形的三边长为：、、，能组成三角形；
所以的周长．
故答案为：．
13．【答案】1
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、综合提公因式和公式法分解因式、因式分解的应用
【分析】此题主要考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题关键．先用完全平方公式分解因式，把已知数据代入得出答案．
【详解】解：，
∵，
∴原式．
故答案为：1．
14．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】单项式乘多项式的应用、计算单项式除以单项式、提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式
【分析】此题考查了整式的混合运算和因式分解，熟练掌握相关运算法则和因式分解的方法是关键．
（1）利用单项式的除法和乘法计算即可；
（2）利用单项式的乘法和单项式乘以多项式计算，再合并同类项即可；
（3）先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可；
（4）利用提公因式法分解因式即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）
15．【答案】(1)
(2)有最小值，最小值是，．
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】（1）仿照例题的做法解答即可；
（2）利用例题的做法先将原式变形为，再根据完全平方式的非负性解答．
【详解】（1）解：（1）原式
．
（2）解：．
，
∴当时，多项式有最小值，最小值是，此时．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，正确理解题意、熟练掌握分解因式的方法是关键．
16．【答案】(1)，
(2)
，
，
，
，
所以与的差一定是5的倍数．
【知识点】列代数式、整式加减的应用、多项式乘多项式与图形面积、因式分解的应用
【分析】本题考查了整式乘法的应用，整式的加减以及因式分解的应用，理解题意是解题关键．
（1）根据题意及整式的乘法求解即可；
（2）根据（1）中结果作差，然后分解因式即可判断．
【详解】（1）解：由题意得：，
，
（2） 略
17．【答案】“▲”代表的数字是3，“■”代表的数字是．
【知识点】十字相乘法、构造二元一次方程组求解
【分析】本题考查了因式分解，解二元一次方程组．根据同意得到，再根据等式的性质得到二元一次方程组，据此求解即可．
【详解】解：设“▲”代表的数字为，“■”代表的数字为，
．
，
，
解得，
“▲”代表的数字是3，“■”代表的数字是．
18．【答案】(1)D
(2)
(3)解：这个三角形是等边三角形．理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴这个三角形是等边三角形．
【知识点】分组分解法
【分析】（1）因式分解中把相同的公因式看成整体，再运用提公因式法进行分解，因此体现了整体思想；
（2）运用材料的分组分解法求解即可；
（3）运用分组分解法将化为，根据平方的非负性求得，即可判断的形状．
【详解】（1）解：分组分解法体现的数学思想有整体思想．
（2）解：
．
（3）略
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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