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有理数的运算 章末检测试题
2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）七年级上册
一、单选题
1．中国古代数学著作《九章算术》最早提到了负数．的倒数是（ ）
A． B． C． D．2026
2．下列各组数中，数值相等的是（ ）
A． B．和 C．和 D．和
3．脱贫攻坚成果举世瞩目，5575万农村贫困人口实现脱贫；粮食年产量连续五年稳定在一万三千亿斤以上．5575万这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．已知四个数：，，，，其中正数的个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（ ）
卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E
两数的和 71 48 54 66 59
A．D B．C C．B D．A
8．若”!”是一种数学运算符号，并且，，，，…，且公式的值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．“三进制”逻辑的芯片与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．二进制数的组成数字为0，1，二进制数转化为十进制数：．三进制数的组成数字为0，1，2，三进制数转化为十进制数：．将二进制数化为三进制数为（ ）
A． B． C． D．
10．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　）
A．19 B．31 C．62 D．98
二、填空题
11．计算：_______
12．若，则 ______．
13．定义一种新运算“※”：对于任意有理数、，都有，例如：．则的计算结果为________．
14．如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数1，，3，，，，相对面上的两个数互为倒数，则_____．
15．《易经》中记载：远古时期就有“结绳计数”．一位男孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来计数，如图，图中表示男孩用绳结记录的数字，按照五进制记数法，即右边的绳子打结满5个，则此绳子左边的绳子打1个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满5进1得来．根据图中记录的五进制数字，若用十进制表示的数表示男孩捞得的鱼的数量，他一共捞得的鱼的数量为______条．
16．数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5，点C到点B距离为2（点C不在原点上），则点C表示的数为__________．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．在数轴上表示下列各数，再用“”连接起来．
，，，．
19．把下列各数填入相应的大括号里．
，，，，，，，，，．
整数集合：{________…}；
分数集合：{________…}；
非正有理数集合：{________…}．
20．小河和小北计算的过程如下．
小河的解答 解：原式 ……第一步 ……第二步 ……第三步 小北的解答 解：原式 ……第一步 ……第二步 ……第三步
(1)小河和小北的解题过程都出现了错误，小河是第________步开始出现错误，小北是第________步开始出现错误；
(2)请你正确计算该题．
21．对于任意有理数，，我们规定：．
例如：；．
(1)计算： ；
(2)计算：．
22．近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
路程（）
(1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走______；
(2)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米
(3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少钱
23．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：
(1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？
(2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？
(3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可）
24．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”，一般地，把n个记作读作“a的n次商”．
【初步探究】
(1)直接写出计算结果：______，______；
(2)关于除方，下列说法错误的是______；
①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例如：；
(3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式．
______；______；
(4)求．
25．如图①，点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，且
(1)填空：a＝ ，b＝ ；
(2)若将该数轴沿着点C折叠，如图②所示，使得点A、点B能重合．已知点D也为该数轴上的一点，沿着点C进行同样的折叠后，与数轴上的点E重合．若点E与点A之间相距3个单位长度，则点D所表示的数为 ；
(3)在（2）的条件下，再将该数轴沿着点C还原．有一机器猫从点D沿数轴向左运动，同时一电子狗从对应的点E沿数轴向右运动，当电子狗遇到机器猫立刻返回到点E再向右运动，遇到机器猫再返回…设机器猫每秒运动1个单位长度，电子狗每秒运动1.5个单位长度，当机器猫到点E处停止运动，此时电子狗也停止运动．求电子狗运动的路程．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D C D C A B D C
1．B
【详解】解： 的倒数是．
2．A
【分析】注意乘方运算中括号对底数的影响，准确计算各选项数值．
【详解】解：A选项：，，数值相等，符合题意；
B选项：，，数值不等，不符合题意；
C选项：，，数值不等，不符合题意；
D选项：，，数值不相等，不符合题意．
3．D
【详解】解：5575万．
4．C
【分析】本题考查了有理数的混合运算.
根据运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内的，逐一计算后判断即可.
【详解】解： A.，A错误；
B.，B错误；
C.，正确；
D.，D错误；
故选：C.
5．D
【分析】根据数轴确定有理数a、b的取值范围，再依据有理数的加减法、乘除法运算法则判断各式的正负性．
【详解】由数轴可知：，，
∴，，，，
综上所述，结论正确的是D．
6．C
【分析】本题主要考查有理数的乘方．根据乘方运算法则、绝对值性质、相反数的定义逐一计算，再根据正数大于0即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴是正数
∵，，
∴是正数
∵，，
∴是正数
∵，，
∴是负数
∴正数共有3个，
故选：C．
7．A
【分析】将五个相邻两数之和的等式相加，求出五个数的总和，再结合已知条件依次求出各数，比较大小即可．
【详解】解：由题意得：，，，，，
将以上五式相加得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，，，
∵，即，
∴卡片上的数最大的编号记为D．
8．B
【详解】解：依题意可得：
= ．
9．D
【分析】本题考查不同进制之间的转换，解题思路为先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数通过除3取余法转换为三进制数，即可得到结果
【详解】解：∵二进制数的各位权值从右到左依次为
∴将转换为十进制数得：
即对应的十进制数为14，
接下来将十进制数14转换为三进制，使用除3取余法：
，余数为2；
，余数为1；
，余数为1；
将所得余数倒序排列，得到三进制数为
10．C
【分析】根据题意，依次求出每次“F运算”的结果，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，
因为，
所以第1次“F运算”的结果是，
第2次“F运算”的结果，
第3次“F运算”的结果，
第4次“F运算”的结果，
第5次“F运算”的结果，
第6次“F运算”的结果，
第7次“F运算”的结果，
…，
由此可见，从第1次“F运算”的结果开始按152，19，62，31，98，49循环．
因为，
所以第2025次“F运算”的结果62．
11．
【详解】解：．
12．
【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性，两个绝对值的和为零，则每个绝对值都为零，从而求出和的值，即可求解．
【详解】解：，
，，
解得，，
，
故答案为：．
13．49
【详解】解：由题意得，．
14．/
【分析】本题考查倒数．
根据倒数的定义，可得1，，3，，，的乘积，即可得．
【详解】解：∵正方体的各面标有数1，，3，，，，相对面上的两个数互为倒数，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据题意可以列出算式，然后计算即可．
【详解】解：由图可得，
，
∴他一共捞得的鱼的数量为条，
故答案为：．
16．或或
【分析】利用两点间的距离公式可以知道点表示的数为或，再由点C到点B距离为2（点C不在原点上），可得答案．
【详解】解：数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5，
点表示的数为或，
点C到点B距离为2（点C不在原点上），
点C表示的数为（舍去）或或或．
综上，点C表示的数为或或．
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用乘法运算律计算即可得出结果；
（2）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可得出结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．，
【详解】解：，，．
图见答案，用“”连接见答案．
19．，，，；，，，，；，，，
【分析】本题考查了有理数的乘方，有理数的分类；根据有理数的分类填写，即可求解．
【详解】解：，
整数集合：{，，，…}；
分数集合：{，，，，…}；
非正有理数集合：{，，，…}．
20．(1)一，一
(2)
【分析】（1）先根据有理数混合运算的顺序，分别检查小河和小北的每一步计算：小河在第一步计算时，违反同级运算从左到右的顺序，错误先算，因此从第一步开始出错；小北在第一步计算时，错误对除法使用分配律拆分，因此从第一步开始出错．
（2）按照有理数混合运算的正确顺序：先算括号内的减法，再算乘除，最后算减法，同级运算从左到右依次计算，逐步脱式计算出正确结果．
【详解】（1）解：小河计算时，违反同级运算从左到右的计算顺序，先计算了后一项的乘法，第一步就得到错误结果，因此小河从第一步开始出现错误．
小北计算时，错误对除法使用分配律拆分，第一步就得到错误结果，因此小北从第一步开始出现错误．
（2）解：正确计算过程如下：
．
21．(1)
(2)
【详解】（1）解：；
（2）解：．
22．(1)
(2)千米
(3)元
【分析】（1）找出路程偏差的最大值与最小值，计算二者的差值即可得到结果；
（2）先计算7天路程偏差的总和，再加上7天的标准总路程，得到总行驶路程；
（3）分别计算汽油车和新能源车行驶总路程的费用，作差得到节省的费用．
【详解】（1）解： ∵ 7天的路程偏差中，最大值为，最小值为，
∴ 路程最多的一天比最少的一天多走 ．
（2）解：∵ 7天的路程偏差总和为 ，
7天的标准总路程为 ，
∴ 七天总行驶路程为 ．
（3）解：汽油车行驶的费用为 （元），
新能源车行驶的费用为 （元），
节省的费用为 （元）；
答：这7天的行驶费用比原来节省146.8元．
23．(1)抽取和两张卡片，幂最大，最大为
(2)抽取、、三张卡片，乘积最小，最小为；
(3)抽取、、、，（答案不唯一）
【分析】（1）如果底数是正数，指数越大，幂越大；如果底数是负数，指数必须是偶数，结果才为正数，且底数的绝对值越大、指数越大，幂越大．指数越大，幂通常越大，据此即可求解；
（2）根据同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，计算积，再根据有理数的大小比较解答即可；
（3）根据有理数的混合运算解答即可．
【详解】（1）解：和两张卡片，幂最大，；
（2）解：根据正数大于零，正数大于负数，
故抽取的卡片上的数字之积为负数时，积最小，
抽取、和三张卡片，乘积最小，最小为；
（3）解：抽取、、、，（答案不唯一）
24．(1)，；
(2)②③；
(3)；
(4)．
【分析】（1）根据新定义直接计算即可求解；
（2）理解除方运算，利用除方运算的法则和意义解决初步探究，通过除方的法则，把深入思考的除方写成幂的形式，即可求解；
（3）根据法则计算即可求解；
（4）根据法则结合有理数的混合运算进行计算即可求解．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：①任何非零数的2次商都等于1，故①正确；
②对于任何正整数，当为奇数时，，当为偶数时，，故②不正确；
③，
∴故③不正确；
④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，故④正确；
（3）解：，
；
（4）解：
．
25．(1)，4
(2)1或7
(3)电子狗运动的路程为12或30个单位长度
【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的非负性，有理数乘除的实际应用．熟练掌握绝对值的非负性以及数轴上两点间的距离公式，是解题的关键．
（1）根据绝对值的非负性，进行求解即可；
（2）根据对称性确定点表示的数，根据点E与点A之间相距3个单位长度，得到点表示的数，再根据对称性，得到点表示的数即可；
（3）分两种情况，结合路程等于速度乘以时间，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，又，
∴，
∴，
故答案为：，4；
（2）∵该数轴沿着点C折叠，使得点A、点B能重合，
∴点表示的数为：，
∵点E与点A之间相距3个单位长度，
∴点表示的数为：或，
∴点表示的数为：或；
故答案为：1或7；
（3）①当点E表示的数为 7，点D表示的数为1时，则，
由题意，得机器猫到达E点所用的时间为秒，
在这8秒内，电子狗一直在运动，
∴电子狗运动的路程为：个单位长度；
②当点E表示的数为 13，点D表示的数为7时，则，
由题意，得机器猫到达E点所用的时间为秒，
在这20秒内，电子狗一直在运动，
∴电子狗运动的路程为个单位长度；
答：电子狗运动的路程为12或30个单位长度．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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