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13.3 三角形的内角与外角 课时夯实练习2026-2027学年
人教版八年级数学上册
一、单选题
1．下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题是假命题的是（ ）
A．同角（或等角）的余角相等 B．三角形的内角和为
C．两直线平行，同旁内角相等 D．三角形的任意两边之和大于第三边
5．如图，在中，，过点作．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，D是的边上点，连接，平分交于点H，交于点M．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点G．当时，有下列四个结论：①与互余；②；③；④．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
7．如图，在中，是高，是的平分线．若，，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在中，若，则________°．

10．三角形内角和定理：三角形内角和等于_______．
11．如图，四边形中，，点、点在上，将沿折叠，点落在点处，线段所在的直线平分，将沿折叠，点刚好落在线段上的点处，且两条折痕形成的，则______．
12．中，是锐角，与的平分线交于点D，过A作交的延长线于点E．当是直角三角形，且与中有一个锐角相等时，的度数是________．
13．凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜，如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线交于点，点为焦点，若，，则的度数是______．
三、解答题
14．在学习了“三角形的内角和等于180°”的知识后，老师让同学们用不同的方法说明这个结论是正确的．聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．请你帮他完成解题过程吧．
15．在中，将，按如图所示的方式折叠，点，均落在边上的点处，线段，为折痕．若，求的度数．
16．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，．
(1)若，求的度数；
(2)求的度数．
17．如图①，已知，是直线、间的一点，于点，交于点．
(1)的度数是___________．
(2)如图②，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按每秒的速度返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当时，求的度数：
②当时，则时间的值为___________．
18．中，内角和外角和的角平分线交于点P，交于D．过B作于G．若，求的度数．
试卷第1页，共2页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B C C D A D
1．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理的证明、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：A、作，则可得，
，故该选项不符合题意；
B、作，则可得，
，故该选项不符合题意；
C、如图，过点作，
，
则可得，，，
，
故该选项不符合题意，
D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意，
故选：D．
2．【答案】A
【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，先根据折叠可知，再结合平角的定义可得，然后根据三角形内角和定理得出答案．
【详解】解：根据折叠可知，
∵，且，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
3．【答案】B
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查平行线的性质，直角三角形两锐角互余，利用平行线的性质得，由垂直的定义得，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
故选：B．
4．【答案】C
【知识点】两直线平行同旁内角互补、构成三角形的条件、求一个角的余角、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查命题的真假判断，涉及余角、三角形内角和、平行线的性质和三角形三边关系等知识点，掌握上述知识点是解题的关键．
【详解】 A选项：同角（或等角）的余角相等，是真命题；
B选项：三角形的内角和为，是真命题；
C选项：两直线平行，同旁内角互补，但不一定相等，是假命题；
D选项：三角形的任意两边之和大于第三边，是真命题．
故选：C．
5．【答案】C
【知识点】两直线平行内错角相等、与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】利用平行线的性质可求得出的度数，然后在中利用三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵在中，，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识点．牢记三角形内角和是是解题的关键．
6．【答案】D
【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，由角平分线的定义可得，，，求出，从而得出，由三角形外角的定义及性质得出，即可得出，从而判断①；求出得到，即可判断②；由以及结合三角形内角和定理计算即可得出 ，即可判断③；由结合③即可判断④，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，，
∴，
即，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴与互余，故①正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故②错误；
∵，，
，
∴，故③正确；
∵，
∴，故④错误；
综上所述，正确的是①③，
故选：D．
7．【答案】A
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的有关计算
【分析】根据角的平分线，高线，三角形内角和定理解答即可．
本题考查了角的平分线，高线，三角形内角和定理，熟练掌握定理，角的平分线是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
故选：A．
8．【答案】D
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质．根据三角形的外角的性质得出，根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
9．【答案】/55度
【知识点】邻补角的定义理解、两直线平行同位角相等、与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】先由邻补角求得，，进而由平行线的性质求得，，最后利用三角形的内角和定理即可得解．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了邻补角，平行线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
10．【答案】180°
【知识点】三角形内角和定理的证明
【解析】略
11．【答案】/度
【知识点】三角形折叠中的角度问题、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，由折叠的性质可得，设，则由平行线的性质可得，再由角平分线的定义推出，进而由平角的定义得到，则由三角形内角和定理可得，解方程即可得到答案．
【详解】解：由折叠的性质可得，
设，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为；．
12．【答案】或
【知识点】角平分线的有关计算、直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题考查直角三角形的性质，画出图形并熟练运用角平分线的定义是本题的关键．根据题意，画出°和两种三角形，利用角平分线的定义表示出相关角的数量关系，设，每个图形分两种情况讨论，根据三角形外角的性质表示出，列方程求出x的值，即可得到答案．
【详解】解：如图1所示，当时，
设，则，
与的平分线交于点D，
，，
①当时，
，
；
②当时，
，，
，
，
；
如图2所示，当时，
设，则，
与的平分线交于点D，
，，
，
，
，
，
；
综上，或．
故答案为：或．
13．【答案】/155度
【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质、对顶角相等，根据三角形的外角性质求得，再根据平行线的性质求得的度数．
【详解】解： ，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14．【答案】见详解
【知识点】三角形内角和定理的证明、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．由平行线的性质得出，，，，等量代换可得出，再根据平角的定义得出，等量代换可得出．
【详解】证明：在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．
∵，
∴，，
∵
∴，，
∴,
∵，
∴．
15．【答案】
【知识点】三角形折叠中的角度问题
【分析】本题考查了图形的对折，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．
根据折叠的性质，找到相等的角，然后利用平角的定义计算即可；
【详解】解：由题意知：，
，
，
．
16．【答案】(1)
(2)
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查三角形内角和、角平分线与高的性质，运用角度转化思想，关键是利用内角和及角平分线定义推导角度，易错点为角平分线分割角度时的比例错误；
（1）先求，再由角平分线和高的性质推导；
（2）先求，再由三角形内角和求．
【详解】（1）解：是高，，
，
，
，
是的平分线，
，
（2），
，
、是角平分线，
，
．
17．【答案】(1)
(2)①或；②秒或秒或秒
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、行程问题(一元一次方程的应用)、根据平行线的性质求角的度数
【分析】（1）延长交于点G，可得，再由三角形内角和定理解答即可；
（1）①分两种情况讨论，根据题意画出图形，即可求解；②分三种情况讨论，根据题意画出图形，结合平行线的性质，即可求解．
【详解】（1）解：如图，延长交于点G，
∵，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：①第一种情况，如图，
∵，，
∴，
∴射线的运动时间为，
∴射线旋转的角度为，
∵，
∴；
第二种情况，如图，
∵，，
∴，
∴射线的运动时间为，
∴射线旋转的角度为，
∵，
∴；
综上所述，的度数为或；
②如图，射线从出发，运动至如图位置时，，与交于点H，
根据题意得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
射线垂直后，再顺时针向运动至如图位置时，，
根据题意得：，，
∵，
∴，
∴，
解得：；
射线从出发，运动至如图位置时，，此时垂直时，立刻按每秒的速度向运动，
根据题意得：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：；
综上所述，满足条件的t的值为秒或秒或秒．
【点睛】本题主要考查平行线性质，三角形内角和定理，合理添加辅助线和根据题意画出相应的图形是解决本题的关键．
18．【答案】
【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】先求出，再由推导出，又由推导得，则，则可得．
本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角和内角的关系，熟练掌握以上知识，且推导出是解题的关键．
【详解】解：
，
，
，
．
，
即，
，
．
又，
，
，
，
即，
，
．
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