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15.3 等腰三角形 课时夯实练习2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．如图，在中，以A为圆心，长为半径画弧交于点E，以点E为圆心，长为半径画弧交于点D，若，，则的度数为（ ）度
A． B． C． D．
2．如图，在中，，D是的中点，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能确定
4．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，点D的对应点为点与交于点E，若长方形的周长为16，则的周长为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．4
5．在平面直角坐标系中，点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．已知平面直角坐标系中，点A的坐标为，在y轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6
7．下列说法错误的是（ ）
A．等腰三角形的两底角相等
B．有两个角相等的三角形是等腰三角形
C．等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合
D．等腰三角形是轴对称图形
8．如图，，点在的延长线上，且平分，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，中，，，的垂直平分线交于，交于，，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，则图中一共有（　　）个等腰三角形．
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
11．如图， 在等边三角形中，，则的度数是_______．
12．已知，，是的三条边，若满足，则的形状为______．
13．在中，已知，那么 _______（填“＞”、“＜”或“=”）．
14．如图，在中，，将折叠，折痕与交于点D，点B的对应点为E，过点E作于点F，连接．若平分，，则的长为______．
15．如图，园区入口A到河的距离AE为100米，园区出口B到河的距离BF为200米，河流经过园区的长度EF为400米，现策划要在河上建一条直径CD为100米的半圆形观赏步道（如图：C在D左侧），游览路线定为A﹣C﹣D﹣B，问步道入口C应建在距离E_____米处，才能使游览路线最短．
三、解答题
16．如图，D为内部一点，E为上一点，连接、，，于点D．求证：是等腰三角形．
17．如图，点D在AC上，，．你能在图中找到几个等腰三角形？分别说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角．
18．如图，一轮船由西向东以海里/时的速度航行，在处测得小岛在北偏东方向，航行小时后，轮船在处测得小岛在北偏东方向，已知小岛周围海里范围内有暗礁，若轮船继续向前航行，有没有触礁的危险？为什么？
19．已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、．
(1)如图（1），如果，证明：．
(2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：．
20．在平面直角坐标系中，直线m为经过且垂直于y轴的直线，直线n为经过且垂直于x轴的直线．图形G关于直线m的对称图形称为图形G的一次对称图形；记作图形，图形关于直线n的对称图形称为图形G的二次对称图形，记作图形．
根据定义，回答下列问题：
(1)点的一次对称点的坐标与二次对称点的坐标分别为_______，________．
(2)点在第三象限，，分别是点B的一次对称点与二次对称点，为等腰直角三角形．
①求y与x之间满足的数量关系；
②已知，，写出的最小值为_______；
(3)已知点，，若以为边的正方形（P、Q在线段的上方）的二次对称图形与过且垂直于y轴的直线有公共点，写出a的取值范围．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C A C B C A A C
1．【答案】A
【知识点】作线段(尺规作图)、等边对等角
【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的性质．由作法得：，根据等腰三角形的性质可得，，即可求解．
【详解】解：由作法得：，
∴，，
∴，，
∴．
故选：A
2．【答案】C
【知识点】等边对等角、三线合一
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
由知是等腰三角形，根据等腰三角形的性质进行判断即可．
【详解】解：在中，，
∴，
∵D为边的中点，
∴，平分，
故选项A、B、D正确，
不一定成立，
故选：C．
3．【答案】C
【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、三角形内角和定理的应用
【分析】先根据三角形内角和定理求出第三个内角的度数，再依据等腰三角形的判定定理判断三角形类型．
【详解】解：第三个内角的度数为，
∵有两个内角相等，
∴这个三角形是等腰三角形．
4．【答案】A
【知识点】根据等角对等边证明边相等、折叠问题
【分析】根据折叠的性质可得，根据平行线的性质可得，进而可得，根据等边等角可得，进而可得的周长为即可求解．
【详解】解：∵把一张长方形纸片沿对角线折叠，点D的对应点为点
∴
∵四边形是长方形
∴
长方形的周长为16
的周长为
故选A
【点睛】本题考查了折叠的性质，等角对等边，平行线的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．
5．【答案】C
【知识点】格点图中画等腰三角形、坐标系中描点
【分析】本题考查了等腰三角形的定义及坐标与图形的性质；针对线段在等腰三角形中的地位，分类讨论用两圆一线的方式，找与轴的交点即可得到答案．
【详解】如图所示，
当点A是顶角顶点时，以A为圆心为半径的圆弧与轴有一个交点；
当点O是顶角顶点时，以O为圆心为半径的圆弧与轴有两个交点，即和；
当点P是顶角顶点时，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点．
故符合条件的点一共个．
故选：C．
6．【答案】B
【知识点】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
【分析】分类讨论①②③时，求出点P的个数．
【详解】因为为等腰三角形，
所以可分三类讨论：
①(有一个)．此时只要以A为圆心长为半径画圆，可知圆与y轴交于O点和另一个点，另一个点就是点P；
②(有两个)．此时只要以O为圆心长为半径画圆，可知圆与y轴交于两个点，这两个点就是P的两种选择；
③(一个)．作的中垂线与y轴有一个交点，该交点就是点P的最后一种选择．
综上所述，共有4个．
故选B.

【点睛】本题考查等腰三角形的判定、坐标与图形性质，解决此类问题的方法主要是线段垂直平分线与辅助圆的灵活运用以及分类讨论时做到不重不漏．
7．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质；
根据等腰三角形的判定和性质判断各选项的正确性即可．
【详解】解：等腰三角形的两底角相等，A正确；
有两个角相等的三角形，对边相等，是等腰三角形，B正确；
等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，C错误；
等腰三角形是轴对称图形，D正确；
故选：C．
8．【答案】A
【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，由角平分线的定义及平行线的性质可得，进而由等腰三角形的判定即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
9．【答案】A
【知识点】含30度角的直角三角形、等边对等角、线段垂直平分线的性质、直角三角形的两个锐角互余
【分析】连接，根据直角三角形两锐角互余得，再利用线段垂直平分线的性质得，继而得到，进而可得，然后根据含角的直角三角形的性质可得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵是的垂直平分线，，
∴，
∴，
∴，
∴．
10．【答案】C
【知识点】找出图中的等腰三角形
【分析】根据等腰三角形的判定定理得到△ABD与△BAC是等腰三角形，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠C＝72°，推出△ADE和△BCE是等腰三角形，根据全等三角形的性质得到AE＝BE，得到△ABE是等腰三角形．
【详解】解：∵AB＝AC＝BD，
∴△ABD与△BAC是等腰三角形，
在△ABD与△BAC中，
，
∴△ABD≌△BAC（SSS），
∴∠D＝∠C＝72°，
∴∠BAD＝∠D＝∠C＝∠ABC＝72°，
∴∠∠ABD＝∠BAC＝36°，
∴∠DAE＝∠CBE＝36°，
∴∠AED＝∠BEC＝72°，
∴∠D＝∠AED＝∠C＝∠BEC，
∴△ADE和△BCE是等腰三角形，
∵∠AED＝∠BEC，
∴△ADE≌△BCE（AAS），
∴AE＝BE，
∴△ABE是等腰三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
11．【答案】/75度
【知识点】等边对等角、等边三角形的性质
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质．根据等边三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
12．【答案】等边三角形
【知识点】等边三角形的判定、绝对值非负性
【分析】本题考查了绝对值的非负性，偶次方的非负性，等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据绝对值的非负性，偶次方的非负性，得到，，继而得到，推出是等边三角形，即可得到答案．
【详解】解：，，，
，，
，，
，
，，是的三条边，
是等边三角形，
故答案为：等边三角形 ．
13．【答案】
【知识点】大（小）边对大（小）角定理
【分析】本题考查了大（小）边对大（小）角定理．根据三角形中“大边对大角”的性质，通过比较对应边的大小关系判断角的大小关系，即可作答．
【详解】解：在中，是的对边，是的对边，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
14．【答案】2
【知识点】含30度角的直角三角形、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，含角的直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．根据等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的性质，含角的直角三角形的性质，作出适当的辅助线即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
如图，
过点作于点，延长与交于点，连接，
又 ，平分，
，
∵，平分，
∴，，
∴垂直平分，
，
由折叠得，，，
，，
为等边三角形，
．
∵，
，
．
，
．
在中，，
，
．
故答案为：．
15．【答案】100
【知识点】最短路径问题、利用平移解决实际问题、根据成轴对称图形的特征进行求解、等腰三角形的性质和判定
【分析】如图，将BF向FE方向平移100米到B1F1，延长AE到A1，使AE=A1E=100米，连接A1B1交EF于C，则C即为所求作的点，延长BB1交A1A 延长线于H，证明△A1HB1和△A1EC是等腰直角三角形即可解答．
利用相似三角形的性质求解EC即可．
【详解】解：如图，将BF向FE方向平移100米到B1F1，则BB1=FF1=CD=100米，B1F1=BF=200米，EF1=300米，
延长AE到A1，使AE=A1E=100米，连接A1B1交EF于C，则C即为所求作的点．
延长BB1交A1A 延长线于H，则A1H= 300米，B1H=BH－BB1=300米，∠H=90°，
∴△A1HB1是等腰直角三角形，
∴∠HAB1=45°，又∠A1EC=90°，
∴∠A1CE=45°，
∴EC=A1E=100，
∴步道入口C应建在距离E100米处，能使游览路线最短，
故答案为：100．
【点睛】本题考查平移性质、最短路径问题、等腰直角三角形的判定与性质，会利用轴对称性质和两点之间线段最短解决最短路径问题是解答的关键．
16．【答案】
证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、根据等角对等边证明边相等
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，则，整理得，运用等角对等边，即，进行作答即可．
【详解】略
17．【答案】见解析
【知识点】等腰三角形的定义、找出图中的等腰三角形
【分析】根据等腰三角形的定义，即可进行解答．
【详解】解：∵，
∴为等腰三角形，
中，腰：和，底边：，顶角为；
∵，
∴为等腰三角形，
中，腰：和，底边：，顶角为．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的相关定义，解题的关键是掌握在等腰三角形中，相等的两条边为腰，另外一条边为底边，底边所对的角为顶角．
18．【答案】若轮船继续向前航行，没有触礁的危险，理由见解析．
【知识点】含30度角的直角三角形、根据等角对等边求边长
【分析】本题主要考查了含30度角直角三角形的性质，等角对等边，关键找出题中的等腰三角形，然后再根据直角三角形性质求解．作，利用直角三角形性质求出长，再和海里比较即可看出船不改变航向是否会触礁．
【详解】解：作于，
∵在处测得小岛在北偏东方向，
∴，
∵在处测得小岛在北偏东方向，
∴，
∴，
∴，
∵海里，
∴海里，
∴海里，
∵，
∴若轮船继续向前航行，没有触礁的危险．
19．【答案】(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的判定
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得，即可得出结论；
（2）证明，得，，再证明是等边三角形，得到，然后证明，得，即可得出结论．
【详解】（1）证明：，是的中点，
是的垂直平分线，
，
，
；
（2）证明：，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
，
．
20．【答案】(1)；
(2)①；②
(3)
【知识点】最短路径问题、等腰三角形的性质和判定、求不等式组的解集、坐标与图形变化——轴对称
【分析】（1）根据轴对称的性质即可求解；
（2）①根据一次对称和二次对称的定义得到，，推出，再根据为等腰直角三角形得到，整理即可得出答案；②过点作垂直于轴的直线，过点作于点，易证是等腰直角三角形，则有，得出，再计算出当三点共线时的长度，即可得出答案；
（3）求出正方形的二次对称图形的各顶点坐标，再根据二次对称图形与过且垂直于y轴的直线有公共点，列出关于的不等式，即可求出a的取值范围．
【详解】（1）解：由题意得，直线m为直线，直线n为直线，
点关于直线m对称的点为，点关于直线n对称的点为，
∴点的一次对称点的坐标为，二次对称点的坐标为；
故答案为：；；
（2）解：①∵点在第三象限，
∴，，
∵点关于直线m对称的点为，点关于直线n对称的点为，
∴点的一次对称点的坐标为，二次对称点的坐标为，
∴，，
∴，
又∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
整理得：，
∴y与x之间满足的数量关系为；
②如图，过点作垂直于轴的直线，过点作于点，
则直线为直线，
由①得，点的坐标为，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴当三点共线时，有最小值，最小值为，
此时为点到直线的距离，
又∵，
∴，
∴，
∴的最小值为；
故答案为：；
（3）解：∵点，，正方形（P、Q在线段的上方），
∴，，
∴正方形的二次对称图形的各顶点为，，，，
∵二次对称图形与过且垂直于y轴的直线有公共点，
∴，
解得，
∴a的取值范围为．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，等腰直角三角形的性质与判定，最短路径问题，求不等式的解集，理解一次对称图形与二次对称图形的新定义是解题的关键．本题属于坐标与图形综合题，需要较强的几何推理和数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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