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18.3 分式的加法与减法 课时夯实练习2026-2027学年
人教版八年级数学上册
一、单选题
1．下列四个选项中，哪一个为多项式的计算结果的选项的是（ ）
A． B． C． D．
2．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．某校举办了“学习二十大精神，争做五育标兵”系列活动，其中一项数学活动是计算接力赛，规则是：每一个人只能看到前一个人给的式子，然后只计算一步，再把结果传给下一个人，最后完成计算，某组同学计算过程如下，出现错误的是（ ）
A．只有甲 B．乙和丁 C．丙和丁 D．甲和丙
4．某轮船在静水中的速度为30千米/时，港、港之间的航行距离为千米，水流速度为千米/时．如果该轮船从港驶往港，接着返回港，航行所用时间为小时，假设该轮船在静水中航行千米所用时间为小时，那么与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不确定
5．如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形，已知①和②能够重合，③和④能够重合，且这四个长方形的面积相等．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知其中A，B为常数，则的值为（ ）
A．7 B．9 C．13 D．5
8．对分式（）进行如下操作：将与1相加，结果记为，称为第一次操作；将第一次操作的结果与相加，结果记为，称为第二次操作；将第二次的操作结果与2相加，结果记为，称为第三次操作；将第三次操作的结果与相加，结果记为，称为第四次操作；将第四次操作的结果与3相加，结果记为，称为第五次操作；将第五次操作的结果与相加，结果记为，称为第六次操作，…，以此类推，下列三个说法：①第七次操作的结果；②；③第二十次操作的结果．其中正确的说法有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
9．计算：___________．
10．阅读材料：设一元二次方程的两根为，，则两根与方程系数之间有如下关系：，．根据该材料填空：若，是方程的两实数根，则的值为________．
11．已知 ，则的值为__________ ．
12．学校倡导全校师生开展“全科阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读__________页．
13．一个各个数位互不相等且均不为的四位数，满足．则满足题意的的最小值为_________．对于，将其千位数字与个位数字互换，百位数字与十位数字互换，得到新的四位数，规定：．若能被的各个数位上的数字之和整除，则满足条件的的最大值为_________．
三、解答题
14．化简：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
15．数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证些数学结论．
(1)糖水实验
现有克糖水，其中含有克糖（），则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为，加入克水，则糖水的浓度为，生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡．由此可以写出一个不等式___________，我们趣称为“糖水不等式”．
(2)糖水实验二：
将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖”，根据生活经验，请你写出个新的糖水不等式___________．
(3)请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设、、是三边的长，求证：
16．定义：若分式A和分式B满足（n为正整数），则称A是B的“n阶差分式”．
例如：，我们称是的“3阶差分式”．
解答下列问题：
(1)分式是分式的“________阶差分式”．
(2)分式A是分式B的“2阶差分式”．若x取正整数，且A的值为正整数，求x的值．
17．【提出问题】（1）已知，试比较，的大小；
【解决问题】根据某地相关规定，民用住宅居室的窗户面积必须小于该室内地面面积，采光标准是：窗户面积和地面面积的比不小于，显然，这个比值越大住宅的采光情况越好．
（2）如图，小琼家主卧原来的窗户的面积为，为了增加采光，决定将其进行改造，使其面积增加，求改造后，采光情况为原来的多少倍
（3）若小琼家窗户增加的同时，将主卧墙体改造，使地面的面积也增加，则采光情况会变好吗
试卷第1页，共2页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D D B B A C D
1．【答案】B
【知识点】同分母分式加减法
【分析】根据同分母分式的减法计算后，即可得到答案．
【详解】解：，
故选：B
【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．【答案】D
【知识点】异分母分式加减法
【分析】先对分母因式分解确定最简公分母，再将两个分式通分为同分母分式，接着对分子进行减法运算并因式分解，最后约去分子分母的公因式，得到最简分式．
【详解】解：
．
3．【答案】D
【知识点】整式与分式相加减
【分析】根据分式的加减进行计算即可求解．
【详解】解：
，
∴甲和丙出现错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式与整式的加减运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
4．【答案】B
【知识点】分式加减的实际应用
【分析】利用速度公式求差法比较大小即可．
【详解】解：由题意可得：，，,
，
故选：B．
【点睛】本题考查了列代数式，分式的加减运算，把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． 解决本题的关键是表示轮船顺水和逆水中的速度．
5．【答案】B
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算法则是解本题的关键．设四个长方形的面积均为S，，则，得出，，求出，，根据求出结果即可．
【详解】解：设四个长方形的面积均为S，，则，
∴，，
∴，
，
∴
．
故选：B．
6．【答案】A
【知识点】计算单项式乘单项式、同底数幂相乘、分式化简求值、同底数幂的除法运算
【分析】根据单项式乘单项式、同底数幂的乘法和积的乘方和分式运算进行解答.
【详解】解：A、，该选项正确；
B、，该选项错误；
C、，该选项错误；
D、，该选项错误；
故选：A.
【点睛】此题考查单项式乘单项式、同底数幂的乘法和积的乘方，关键是根据单项式乘单项式、同底数幂的乘法和积的乘方法则解答.
7．【答案】C
【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母
【分析】先对等式右侧通分，根据分式恒等式的性质，分子对应系数相等得到方程组，求解后计算的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，且，
∴，
∴．
8．【答案】D
【知识点】分式加减混合运算
【分析】根据题意找规律，再进行分式的运算求解．
【详解】解：①根据题意得：第七次操作的结果为，故①正确；
②根据题意得：，
∴，故②正确；
根据题意得：，
，
，
，
……
由此发现，，故③正确，
∴正确的说法有3个．
故选：D
【点睛】本题考查了分式的加减法运算，根据题意找出数字的变化规律式解题的关键．
9．【答案】1
【知识点】同分母分式加减法
【分析】本题考查同分母分式的加法运算．先根据同分母分式加法法则将分子相加，再合并同类项化简分子，最后约分得到结果．
【详解】解：．
故答案为：1．
10．【答案】2
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、分式化简求值、异分母分式加减法
【分析】本题主要考查了分式的化简求值、分式的加减运算等知识点，根据阅读材料得到、的值是解题的关键．
根据阅读材料先求出两根之和与两根之积，再运用分式的加减运算化简所求代数式，最后代入求值即可．
【详解】解：∵，是方程的两实数根，根据阅读材料可得：，．
∴．
故答案为 2．
11．【答案】8
【知识点】分式加减混合运算
【分析】等式两边同时乘以(a-4)(b-4)，去分母整理即可求解．
【详解】解：等式两边同时乘以(a-4)(b-4)，得
，
即，
即，
即，
即，
∴，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．
12．【答案】
【知识点】分式加减的实际应用
【分析】此题考查分式加减的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的关系．根据题意列出算式，根据分式的减法法则计算，得到答案．
【详解】平均每天比原计划要多读的页数新工作效率原工作效率．
解：按原计划每天读页，实际每天读页，
故每天比原计划多读的页数是：，
故答案为：．
13．【答案】
【知识点】整式的加减运算、分式加减乘除混合运算、不等式的性质
【分析】根据最小，可得，，，根据即可确定的最小值；规定化简，再根据整除特性得到为整数，令，，则，即可得到是整数，根据得出，，即可求出，，要使最大，可得，，，，即可得答案．
【详解】解：∵，，，互不相等，且均不为，
∴当，，时，最小，
∵，
∴，
∴；
∵对于，将其千位数字与个位数字互换，百位数字与十位数字互换，得到新的四位数，
∴，
∵
∴，
∴，
∵能被的各个数位上的数字之和整除，
∴为整数，
∴为整数，
设，，
∵，
∴，，，
∴为整数，
∵，
∴是整数，
∴是的正因数，
∵，
∴，
∴，
∵要使的值最大，四个数字互不相等且不为，
∴，，，．
∴的最大值为．
14．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查了分式的运算，
对于（1），根据分式的乘法，直接约分即可；
对于（2），将除法变为乘法，再计算即可；
对于（3），先算乘方，再按照顺序计算即可；
对于（4），先计算括号内的，再将除法变成乘法计算；
对于（5），先计算括号内的，再将除法变为乘法计算；
对于（6），先计算括号内的，再将除法变为乘法计算；
对于（7）（8），仿照（6）解答．
【详解】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式
；
（4）原式
；
（5）原式
；
（6）原式
；
（7）原式
；
（8）原式
．
15．【答案】(1)
(2)
(3)
证明：，
，
，
【知识点】分式加减的实际应用、列一元一次不等式
【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则和不等式的性质是解题的关键．
（1）根据题意写出新的分式和不等式即可；
（2）加入m克糖后，分子分母都变化，此时需要证明不等式的正确性，利用做差法即可；
（3）利用（2）的结论来证明即可．
【详解】（1）解：由题意得，加入m克水，糖水为克，
∴糖水的浓度为；
∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵加入克糖，糖水为克，糖为克，
∴糖水的浓度为，
∴；
故答案为：；
（3）略
16．【答案】(1)1
(2)或．
【知识点】同分母分式加减法、异分母分式加减法
【分析】本题主要考查了“阶差分式”，分式的加减混合计算，分式的约分，正确理解题意是解题的关键．
（1）只需要计算出的结果即可得到答案；
（2）根据题意可得，则，再由是正整数，且x取正整数讨论即可．
【详解】（1）解；∵，
∴分式是分式的“1阶差分式”；
故答案为：1；
（2）解：∵分式是分式的“2阶差分式”，
∴，
∴，
∵是正整数，且x取正整数，
∴也是正整数，
∴或．
17．【答案】（1）；（2）；（3）会变好
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查分式的大小比较，分式的混合运算，掌握分式的混合运算的运算法则，是解题的关键．
（1）利用作差法解答即可．
（2）设主卧的地面面积为，则，即可解答．
（3）设改造前主卧的地面面积为，则，求解后再比较大小即可．
【详解】解：（1）
，
，
，，
，
．
（2）设主卧的地面面积为，
则，
答：改造后，采光情况为原来的倍
（3）设改造前主卧的地面面积为，
则
，
根据题意可知：，，
，，
所以，，
所以．
答：采光情况会变好．
答案第1页，共2页
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