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18.5 分式方程 课时夯实练习2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．下列方程是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．关于的方程
2．解分式方程，去分母时可在等式两侧同乘（ ）
A．2 B． C． D．
3．为分式方程的解时，k的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．若关于的方程无解，则的取值为（ ）
A． B． C． D．3
5．我国著名院士袁隆平被誉为“杂交水稻之父”，他在杂交水稻事业方面取得了巨大成就．某水稻研究基地统计，杂交水稻的亩产量比传统水稻的亩产量多400千克，总产量同为3000千克的杂交水稻种植面积比传统水稻种植面积少2亩．若设传统水稻亩产量为x千克，则下列方程正确的是（ ）（亩：市制土地面积计量单位）
A． B．
C． D．
6．某社区组织居民去距离社区的环保主题公园参加环保宣传活动，一部分居民骑共享单车先出发，后其余居民骑共享电动车出发，结果同时到达．已知共享电动车的速度是共享单车速度的3倍，设共享单车的速度为，根据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
7．某学校篮球社团要购买一定数量的篮球，现有甲、乙两个商店销售某品牌篮球（篮球标价相同），国庆期间同时搞品牌促销活动，甲商店：购买篮球消费满700元，送两个篮球；乙商店：篮球单价打七折．如果到甲商店购买，正好能用720元经费买够数量；如果到乙商店购买，不仅能买够数量，还能剩48元，两位同学分别就两种方案给出了两个方程： ① ，② ．其中x表示的意义是（　　）
A．均为篮球的数量
B．均为篮球的单价
C．方程①中的x表示篮球的数量，方程②中的x表示篮球的单价
D．方程①中的x表示篮球的单价，方程②中的x表示篮球的数量
8．某校组织八年级360名学生前往成都科幻馆游学，学校安排乘车时每辆车比原计划多6名学生，结果比原计划少用了2辆车，求原计划每辆车乘坐多少名学生？设原计划每辆车乘坐x名学生，则列出的方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示电路的总电阻R为，若（总电阻R，与的关系∶），则的值分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．某工厂工人甲做90个机器零件所用时间和工人乙做120个机器零件所用时间相同，已知每小时甲、乙两人共做35个机器零件．设甲每小时做x个零件，则根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“完美分式方程”．
例如为完美分式方程，可化为，
，．
再如为分式方程，可化为，
，．
应用上面的结论解答问题：已知完美分式方程的两个解分别为，；若，．则的值为______．
12．当_____时，与互为相反数．
13．如果关于x分式方程有增根，则增根____，若分式方程无解，则______．
14．某中学组织八年级学生进行校外徒步素质训练，班和班同时从学校出发，班学生的平均速度是班学生平均速度的倍，结果班学生比班学生早小时完成训练．班学生徒步的平均速度是_______．
15．为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了、两类玩具，其中类玩具的进价比类玩具的进价每个多元，经调查：用元购进类玩具的数量与用元购进类玩具的数量相同，则类玩具的进价______元/个．
三、解答题
16．解分式方程：
(1)
(2)
17．已知关于x的分式方程．
(1)若分式方程有增根，求a的值；
(2)若分式方程的解为非负数，求a的取值范围．
18．（教材呈现）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？
思路1：设乙队单独施工1个月能完成总工程的，
则：甲队半个月完成总工程的__________；
乙队半个月完成总工程的__________；
方程为____________________；
思路2：设乙队单独施工需个月完成总工程，则甲队单独施工需_____个月完成总工程．甲队半个月完成总工程的_____，乙队半个月完成总工程的_____；
方程为____________________；
思路3：设乙队工作效率为，则甲队的工作效率为_____；
甲队半个月完成的工程量__________；
乙队半个月完成的工程量__________；
方程为____________________．
19．某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木首需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．设正方形木板的单价为m元/块，已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍．
采购清单
单价（元/块） 数量（块） 总价（元）
正方形木板 m 120
长方形木板 300
(1)请将表格填写完整（用含m的代数式表示），并求m的值．
(2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完？
(3)该工厂发现有一批尺寸为的废旧木板，若用这批废旧木板切割成木箱所需的上述两种木板．
①请问如何切割才能将每块废旧木板恰好用完（不计损耗）．
②因工厂生产需要，还需制作竖式无盖木箱60个、横式无盖木箱50个，所有废旧木板恰好用完，则这批废旧木板共多少块？试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C B B B C A A C
1．【答案】B
【知识点】分式方程的定义
【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键；
根据分式方程的定义逐项判断即可．
【详解】A、是一元一次方程，不是分式方程，故本选项不符合题意；
B、是分式方程，故本选项符合题意；
C、的分母含未知数，但不是整式，不是分式方程，故本选项不符合题意；
D、关于的方程分母不含未知数，不是分式方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．【答案】B
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】找出方程所有分母的最简公分母，去分母时等式两边同乘最简公分母即可．
【详解】解：原分式方程中，各分母分别为和，
∴计算得各分母的最简公分母为，
∴去分母时需要在等式两侧同乘．
3．【答案】C
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查分式方程的解，解题的关键是将代入原方程中得到关于的方程．
将代入原方程即可求出的值．
【详解】解：将代入方程，得：，
解得：，
故选：C．
4．【答案】B
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程无解的条件是解题关键．
先解分式方程得，再由方程无解可得，然后把代入中，即可求出的取值．
【详解】解：方程两边同时乘以，得，
整理得，．
当，即时，该方程无解，
把代入中，解得．
故选：B．
5．【答案】B
【知识点】列分式方程
【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
设传统水稻亩产量为x千克，则杂交水稻亩产量为千克，根据亩产量和种植面积的关系，杂交水稻种植面积比传统水稻少2亩，列出方程．
【详解】设传统水稻亩产量为x千克，则杂交水稻亩产量为千克
根据题意得，．
故选：B．
6．【答案】B
【知识点】分式方程的行程问题
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是根据路程、速度、时间的关系，结合共享单车和共享电动车行驶时间的差异列出方程．
先分别表示出共享单车和共享电动车行驶所需的时间，再根据共享单车先出发（换算为小时）且同时到达，得出两者时间差的等式．
【详解】解：设共享单车的速度为，则共享电动车的速度为，
根据题意可得方程：，即．
故选：B．
7．【答案】C
【知识点】分式方程的经济问题
【分析】根据题意，得x表示篮球的数量时，单价分别表示为，根据单价相同建立方程；x表示篮球的单价，分别表示出篮球的数量为，建立方程即可．
本题考查了分式方程的应用，熟练掌握列方程是解题的关键．
【详解】解：设购买x个篮球，单价分别表示为，根据单价相同建立方程；
设篮球的单价为x，分别表示出篮球的数量为，建立方程．
故选：C．
8．【答案】A
【知识点】分式方程和差倍分问题
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．根据结果比原计划少用了2辆车列方程即可．
【详解】解：由题意，得
．
故选A．
9．【答案】A
【知识点】分式方程的其它实际问题
【分析】本题考查了分式方程的应用．
将已知条件代入，进而解分式方程即可．
【详解】解：∵总电阻R为，若，
∴，
去分母得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
∴，
故选：A．
10．【答案】C
【知识点】列分式方程、分式方程的工程问题
【分析】本题考查分式方程的实际应用，设甲每小时做个零件，则乙每小时做个零件，根据“甲做90个零件的时间=乙做120个零件的时间”这一等量关系列方程即可．
【详解】解：∵设甲每小时做个零件，甲、乙两人每小时共做35个零件，
∴乙每小时做个零件，
∵甲做90个零件所用时间=乙做120个零件所用时间，且工作时间=工作量÷工作效率
∴可列方程：．
故选C．
11．【答案】
【知识点】分式方程的定义、分式化简求值
【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分式化简求值等知识点，读懂题意，理解“完美分式方程”的定义是解题的关键．
由“完美分式方程”的定义可得，，将变形为，然后将，代入求值即可．
【详解】解：由“完美分式方程”的定义可得：
，，
，
故答案为：．
12．【答案】
【知识点】相反数的应用、解分式方程（化为一元一次）
【分析】根据相反数的定义可得，解分式方程并检验即可得出结果．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，
去分母并展开得：，
解得：，
把代入得，
∴当时，与互为相反数．
13．【答案】
【知识点】分式方程无解问题
【分析】先明确增根的定义（使分式方程分母为的根 ），求出增根；再将分式方程化为整式方程，结合增根情况或整式方程无解的情况，确定的值．本题主要考查了分式方程的增根及无解的情况，熟练掌握“增根是使分式方程分母为的根，分式方程无解包括产生增根和整式方程本身无解（本题整式方程恒有解，主要考虑增根情况 ）”是解题的关键．
【详解】解：对于分式方程，其分母为．
根据增根定义，令，
解得，
∴增根 ．
先将分式方程两边同乘（ ），
化为整式方程：，即 ．
因为分式方程无解，产生增根，即，把代入，
得，
解得 ．
∴时，分式方程无解 ，
故答案为：，．
14．【答案】
【知识点】分式方程的行程问题
【分析】本题考查的知识点是分式方程的实际应用，解题关键是熟练掌握分式方程的应用．根据题意列出分式方程后求解即可．
【详解】解：设班学生的平均速度是，则班学生的平均速度是，
则依题意得：，
解得：，
经检验，是该分式方程的解，且符合题意，
班学生的平均速度是，
故答案为：．
15．【答案】
【知识点】分式方程的经济问题
【分析】设类玩具的进价为元个，则类玩具的进价为元个，根据用元购进类玩具的数量与用元购进类玩具的数量相同，列出方程并解方程即可；
【详解】解：设类玩具的进价为元个，则类玩具的进价为元个，
由题意得，
解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
所以类玩具的进价为元个．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系并列出方程是解题关键．
16．【答案】(1)
(2)无解
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】此题考查的是解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决此题的关键.
（1）两边同乘以将分式方程转化为整式方程，从而求出方程的解，然后进行验根即可解答；
（2）两边同乘以将分式方程转化为整式方程，从而求出方程的解，然后进行验根得出答案．
【详解】（1）解：
两边同乘以得：
解得：，
检验：当时，
是原分式方程的解，
（2）解：
两边同乘以得：
，
解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
17．【答案】(1)
(2)且
【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次）
【分析】（1）先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，表示出x，再根据分式方程有增根时分母为0，从而求出x的值，再列出关于a的方程，解方程即可；
（2）根据分式方程的解是非负数和分式的分母不能为0，列出关于a的不等式组，解不等式组，求出答案即可．
本题主要考查了分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的一般步骤．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
∵分式方程有增根，
∴，
解得：，
∴，
，
，
；
（2）解：∵分式方程的解为非负数，
∴，
由①得：，
，
，
由②得：，
，
，
∴a的取值范围是：且．
18．【答案】；；；3；；；；；；；
【知识点】分式方程的工程问题、列分式方程
【分析】本题主要考查了分式方程的应用．根据条件计算甲队、乙半个月完成总工程的多少；根据条件计算甲、乙两个工程队半个月一起可以完成总工程的多少；再根据条件，列出分式方程，即可．
【详解】解：思路1：设乙队单独施工1个月能完成总工程的，
则：甲队半个月完成总工程的；
乙队半个月完成总工程的；
方程为；
思路2：设乙队单独施工需个月完成总工程，则甲队单独施工需3个月完成总工程．
甲队半个月完成总工程的，
乙队半个月完成总工程的；
方程为；
思路3：设乙队工作效率为，则甲队的工作效率为；
甲队半个月完成的工程量；
乙队半个月完成的工程量；
方程为．
19．【答案】(1)，，；
(2)竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱4个；
(3)①有两种切割方式，第一种切割方式为长方形木板7块，第二种为正方形木板8块和长方形木板2块；②这批废旧木板共70块．
【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、分式方程的其它实际问题
【分析】本题考查分式方程的应用，二元一次方程组的应用．读懂题意，正确的识图，找准等量关系，列出方程组，是解题的关键．
（1）根据题意列出分式方程进行求解即可；
（2）设竖式无盖木箱做个，横式无盖木箱个，根据题意列出方程组进行求解即可；
（3）①设每块废旧木板切割正方形木板块，长方形木板块，根据题意，列出二元一次方程，利用都是非负整数，求解即可；
②根据题意，进行求解即可．
【详解】（1）解：填写表格如下：
采购清单
单价（元/块） 数量（块） 总价（元）
正方形木板 120
长方形木板 300
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：；
（2）解：当时，正方形木块的数量块，长方形木块的数量块．
设竖式无盖木箱做个，横式无盖木箱个，
根据题意，得，
解得，
答：竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱4个；
（3）解：①设每块废旧木板切割正方形木板块，长方形木板块，根据题意，
得，
，
因为都是非负整数，
所以或．
答：有两种切割方式，第一种切割方式为长方形木板7块，第二种为正方形木板8块和长方形木板2块；
②所需正方形木板块，长方形块．
所以第二种切割方式的木板为块，第一种切割方式的木板为块，
所以废旧木板共块．
答：这批废旧木板共70块．
答案第1页，共2页
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