资源简介

14.3 角的平分线 课时夯实练习2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将两个完全相同含角的三角尺与按图示位置摆放，这两个三角尺直角边所在直线交于点，连接并延长，射线就是的角平分线，判断的依据是（　　）
A．角的平分线上的点到角的两边的距离相等
B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
3．如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为（ ）
A．4.5 B．4 C．3.5 D．3
4．如图，在中，，，点E在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点D，连接，则度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点是内一点，于点，于点，于点，，则（）
A．点在的平分线上 B．点在的平分线上
C．点在的平分线上 D．点是，，平分线的交点
6．如图两条笔直的公路、相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知，，C村到公路的距离为，则C村到公路的距离是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P、连接并延长，交于点D．若，则的面积是（）
A．30 B．20 C．15 D．10
8．如图，在中，、的平分线、交于点P，延长至E，至F，于点M，于点N，下列结论：①平分；②；③．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
9．命题“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”是__________（选填“真命题”或“假命题”）．
10．如图，根据尺规作图所留痕迹，已知，可以求出______．
11．如图，在中，是的平分线，，，则 ________．
12．如图，为了促进当地旅游发展，某地区要修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，这个度假村的选址有________处可供选择．
13．如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径画弧，与边，分别交于点E，D ；②分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点M；③作射线，交于点F；④过点F作，垂足为点G．若的面积为9，，则的长为_____．
三、解答题
14．如图，已知，请你用尺规作图法作的角平分线．（不写作法，保留作图痕迹）
15．如图，为了促进当地旅游发展 某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？
16．已知，如图，于点于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
17．我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．如图1，是中的遥望角．

(1)直接写出与的数量关系__________；
(2)连接，猜想与的数量关系，并说明理由．
18．综合与实践
【问题情境】数学活动课上，兴趣小组分享了一道题，如图1，，和的平分线交于点P，过点P作直线分别交于两点，．求证：．
（1）兴趣小组过通过添加辅助线于点E很快解答了此问题．请根据兴趣小组添加辅助线的方法，解答此问题．
【深入探究】老师提出，当与不垂直，其它条件不变时，还成立吗？
（2）如图2，请你回答老师的提问，并证明．
【拓展应用】兴趣小组又进一步研究了这道题，并提出了新的问题，当与不垂直，其它条件不变时，如图3，过点P作，交于Q，若，求的长．
（3）请你解答兴趣小组提出的问题．
试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D C B D C D
1．【答案】C
【知识点】作角平分线(尺规作图)
【分析】本题考查了作角平分线，熟练掌握基本作图是解题的关键．
【详解】解：根据作图可得，，故A，B正确；
∵是角平分线，
∴，故D选项正确，
而不一定成立，故C选项错误，
故选：C．
2．【答案】B
【知识点】角平分线的判定定理
【分析】本题考查角平分线的判定，涉及“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”，掌握角平分线的判定是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知，本题判断射线就是的角平分线的依据是“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”，
故选：B．
3．【答案】D
【知识点】角平分线的性质定理
【分析】先作，再根据角平分线的性质定理解答即可．
【详解】解：过点D作，交于点E，
∵平分，，
∴，
所以点D到的距离是3．
4．【答案】C
【知识点】角平分线的性质定理、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了角平线的性质和判定，三角形的外角性质，过点分别作，，，可证到，得到平分，再利用三角形外角性质即可求解，熟练掌握这些性质是解题的关键．
【详解】解：过点分别作，，，垂足分别是点，

∵平分，，，
∴，
同理可得，，
∴，
∵，，
∴平分，
∵，，
∴，
∴．
故选：．
5．【答案】B
【知识点】角平分线的判定定理
【分析】本题考查了角平分线判定，能熟记角平分线判定的内容是解此题的关键，注意：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．根据角平分线判定推出即可．
【详解】解：，于点，于点，
点在的平分线上，
但从现有条件无法推导出点在的平分线上，点在的平分线上，
故选：B．
6．【答案】D
【知识点】角平分线性质的实际应用、全等的性质和SSS综合（SSS）
【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
证明，可得，根据角平分线的性质，即可得C村到公路的距离．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
∴为的角平分线，
∴点到的距离与点到的距离相等，
∵C村到公路的距离为，
∴C村到公路的距离是．
故选：D．
7．【答案】C
【知识点】角平分线的性质定理
【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，掌握知识点是解题的关键。
过点D作于点G，由作图可知是的角平分线，得到，则，即可解答．
【详解】解：过点D作于点G，如图
由作图可知是的角平分线，
∵，，
∴，
∴．
故选C．
8．【答案】D
【知识点】角平分线的性质定理、与角平分线有关的三角形内角和问题、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】过点P作于点D，根据角平分线的性质可得，，再证明，即可判断①；同理证明，可证明，进而可表示出、的数量关系，根据三角形的内角和为，利用、这两个三角形，即可判定②；根据，，即可证明③，问题得解．
【详解】解：过点P作于点D，如图，
∵，，平分，
∴，，
∵，，平分，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即平分，即①正确；
同理证明，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，即②正确；
∵，，
∴，，
∴，
∴，即③正确，
即正确的结论有3个．
9．【答案】真命题
【知识点】角平分线的判定定理、判断命题真假
【分析】本题考查了判断命题真假、角平分线的判定定理，根据角平分线的判定定理判断即可得解，熟练掌握角平分线的判定定理是解此题的关键．
【详解】解：命题“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”是真命题，
故答案为：真命题．
10．【答案】/25度
【知识点】角平分线的有关计算、作角平分线(尺规作图)
【详解】解：由尺规作图可知是的角平分线，
．
11．【答案】
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理
【分析】本题考查角平分线的性质，通过垂线段相等，构建线段比例之间的关系是解题关键．过点D分别向，作垂线，根据角平分线的性质定理，得到垂线段相等，从而利用垂线段相等，得到，再利用求解即可．
【详解】解：如图，过点D分别作，，垂足分别为M，N，
∵是的平分线，
∴，
设点A到直线的距离为h，
则，，
∴，
即，
故答案为：．
12．【答案】4
【知识点】角平分线性质的实际应用
【分析】本题考查角平分线的性质．角的平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可得到答案．
【详解】解：如图，
三角形内角平分线的交点D，和外角平分线的三个交点A、B、C，共4处可供选择．
故答案为：4．
13．【答案】5
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)
【分析】本题主要考查了基本作图-尺规作角平分线、角平分线的性质、三角形的面积等知识点，得到是的平分线是解题的关键．
根据作图过程得到是的平分线，过F作于H，根据角平分线的性质得到，进而利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，过F作于H，
由作图过程可得：是的平分线，
∵，，
∴，
∵的面积为9，，
∴，
解得．
故答案为：5．
14．【答案】如图所示，射线即为所求，
【知识点】作角平分线(尺规作图)
【分析】根据判定全等三角形的原理，以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点，作射线，交于点，射线即为所求．
【详解】略．
15．【答案】度假村应该在围成的三角形三条角平分线的交点处．
【知识点】角平分线性质的实际应用
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．
【详解】解：∵度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等，
∴度假村应该在围成的三角形三条角平分线的交点处．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
16．【答案】(1)
证明：连接，如图所示：
在和中，
，
，
；
(2)
证明：由（1）可知：，
，
，，
，
在和中，
，
，
．
【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理是解题的关键．
（1）连接，先证，然后根据全等三角形的性质可进行求证；
（2）由（1）可得，进而根据角平分线的性质定理可进行求证．
【详解】（1）略
（2）略
17．【答案】(1)
(2)
，理由：
如图所示，过点作，，的垂线，分别交的延长线，，于点，，．

∵平分，，
∴．
同理可得．
∴．
∴平分．
∴．
又，
∴．
【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理
【分析】（1）根据和即可求得答案．
（2）过点作，，的垂线，分别交的延长线，，于点，，，可证得，，进而可得到平分，进而可求得答案．
【详解】（1）∵，，，
∴．
又，
∴．
故答案为：．
（2）略
【点睛】本题主要考查角平分线的定义和性质、三角形的外角，牢记角平分线的定义和性质是解题的关键．
18．【答案】
（1）证明：作于点E．
∵，
∴，
∴
∵和的平分线交于点P，
∴，
∴．
（2）成立．
延长交于点F．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵平分，
∴．
在和中
∴．
∴．
（3）2
【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理
【分析】本题主要考查角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是作出合适的辅助线，并熟练应用角平分线的性质解决问题．
（1）作于点E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出结论；
（2）延长交于点F，根据角平分线的性质和平行线的性质得，再得即可得证；
（3）根据平行线的性质得，则，同理得，再由，得，则有，由此求出．
【详解】（1）略
（2）略
（3）∵，
∴．
∴．
∵．
∴．
∴．
同理．
∴．
由（2）可知，，
∴．
∴．
∴．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑