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17.2 用公式法分解因式 课时对点练2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，且，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
3．设a，b，c是三角形的三边，则多项式的值（ ）
A．等于0 B．大于0 C．小于0 D．无法确定
4．人类使用密码的历史悠久，有一种利用“因式分解”法生成的密码方便记忆：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码进行排列就可以形成密码．小安按这种方式将多项式因式分解后，取自己的年龄14作为x的值，设置了一个密码，他设置的密码可能是（ ）
A．101214 B．101410 C．141212 D．121416
5．将多项式分解因式后有一个因式为，则另一个因式是（ ）
A． B． C． D．
6．若长为a，宽为b的长方形，它的周长为10，且的值为30，则其面积为（ ）
A．16 B．6 C．5 D．3
7．已知，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
8．计算的值为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
9．因式分解：__________．
10．如果多项式加上一个单项式后，可以用公式法分解因式，那么这个单项式可以是____（写出一个即可）．
11．计算__（用幂的形式表示）．
12．如图，图中的大长方形是由2块边长为的大正方形，2块边长为的小正方形，5块长为，宽为的相同的长方形拼接而成．观察图形，可以发现代数式因式分解的结果为__________．
13．新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为______
三、解答题
14．计算、因式分解
(1)
(2)
(3)
(4)
15．常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如 ，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：
这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式：
(1) ；
(2) ．
16．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设．
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
．（第四步）
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了下列因式分解的___________；（请填写序号）
①提取公因式法②平方差公式法③两数和的完全平方公式法
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果；
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
17．如图，把、、三个电阻串联起来，线路上的电流为I，电压为U，则．当，时，求的值．
18．下面是小明同学的数学笔记，笔记中有一道因式分解题，小明在练书法时不小心将笔记中的两个数字沾上了墨水，分别求出“▲”“■”代表的数字
因式分解：．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C D C B C C
1．【答案】D
【知识点】判断能否用公式法分解因式
【分析】本题考查公式法因式分解，主要利用平方差公式 或完全平方公式 ，检查各选项是否符合公式形式即可．
【详解】解：选项 A∶ ，两个平方项的符号不一致，不符合完全平方公式，也无法直接应用平方差公式，不能用公式法分解．
选项B∶，整理为，两个平方项的符号不一致，不符合完全平方公式，也无法直接应用平方差公式，不能用公式法分解．
选项C∶，仅为两个平方项相加，不符合平方差公式或完全平方公式，不能用公式法分解．
选项D∶，可改写为，符合平方差公式，，能用公式法分解．
故选D．
2．【答案】C
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】本题利用平方差公式分解，代入已知的的值，即可求出的值．
【详解】∵，
已知 ，，
∴，
∴．
3．【答案】C
【知识点】综合运用公式法分解因式、三角形三边关系的应用
【分析】先将原式进行因式分解可得，然后根据三角形的三边关系可得，即可求解．
【详解】解：
，
∵a，b，c是三角形的三边，
∴，
∴，
∴，
故选：C
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，三角形的三边关系，熟练掌握多项式的因式分解的方法，三角形的三边关系是解题的关键．
4．【答案】D
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解的应用，先提取公因式x，再利用平方差公式分解得出，代入，计算各因式的值得到因式码，再按从小到大顺序排列形成密码，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵
，
当时，，
即因式码为14、12、16，把因式码按从小到大顺序排列形成密码121416．
∴他设置的密码可能是121416．
故选：D
5．【答案】C
【知识点】十字相乘法
【分析】本题考查因式分解—十字相乘法，准确的计算是解决本题的关键．
根据十字相乘法进行因式分解即可．
【详解】解：由题意得，
，
故选C．
6．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【分析】本题考查因式分解，利用周长求出，将因式分解后求得的值即可．
【详解】解：∵长为a，宽为b的长方形，它的周长为10，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即长方形的面积为6．
故选：B．
7．【答案】C
【知识点】完全平方公式分解因式、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，设，根据题意可得，则，根据非负数的性质求出t的值即可得到答案．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
8．【答案】C
【知识点】因式分解在有理数简算中的应用、运用平方差公式进行运算
【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．
【详解】原式，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键．
9．【答案】
【知识点】平方差公式分解因式
【详解】解：．
10．【答案】（答案不唯一）
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．
根据公式法分解因式即可求解．
【详解】解：若添加单项式，则，
∴多项式可以用公式法分解因式，
∴这个单项式可以是（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
11．【答案】
【知识点】提公因式法分解因式、因式分解在有理数简算中的应用
【分析】利用提公因式法提公因式，即可得结果．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解－提公因式法的应用；找出公因式是解题的关键，注意符号．
12．【答案】
【知识点】因式分解的应用
【分析】本题考查了因式分解．利用大长方形的面积等于两个大正方形、两个小正方形、五个长方形的面积和，从而得解．
【详解】解：大长方形面积为，
故答案为：．
13．【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、构造二元一次方程组求解
【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，由新定义求出的值，得到，再由新定义得到，利用提公因式法及公式法即可求解，求出新定义表达式是解题的关键．
【详解】解：由，得，
，
解得，
∴，
∴，
，
，
故答案为：．
14．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】单项式乘多项式的应用、计算单项式除以单项式、提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式
【分析】此题考查了整式的混合运算和因式分解，熟练掌握相关运算法则和因式分解的方法是关键．
（1）利用单项式的除法和乘法计算即可；
（2）利用单项式的乘法和单项式乘以多项式计算，再合并同类项即可；
（3）先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可；
（4）利用提公因式法分解因式即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）
15．【答案】(1)
(2)
【知识点】分组分解法
【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．
（1）用分组分解法分解即可；
（2）用分组分解法分解即可．
【详解】（1）原式
（2）原式
16．【答案】(1)③
(2)不彻底，最后结果为
(3)
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了换元法和完全平方公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式法分解因式是解题的关键．
（1）根据两数和的完全平方公式的形式即可求解；
（2）利用两数和的完全平方公式法即可求解；
（3）设，利用完全平方公式法分解因式即可求解．
【详解】（1）解：，
则某同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式法，
故答案为：③．
（2）解：设，
原式
；
（3）解：设，
原式
．
17．【答案】88
【知识点】因式分解的应用
【分析】本题考查了因式分解的应用，解题关键是熟练掌握提公因式法因式分解．根据电压计算公式直接代值计算求解即可．
【详解】解：，，，
∴，
∴，
∴．
18．【答案】“▲”代表的数字是3，“■”代表的数字是．
【知识点】十字相乘法、构造二元一次方程组求解
【分析】本题考查了因式分解，解二元一次方程组．根据同意得到，再根据等式的性质得到二元一次方程组，据此求解即可．
【详解】解：设“▲”代表的数字为，“■”代表的数字为，
．
，
，
解得，
“▲”代表的数字是3，“■”代表的数字是．
答案第1页，共2页
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