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13.3 三角形的内角与外角 课时对点练2026-2027学年
人教版八年级数学上册
一、单选题
1．在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A．过作∥
B．延长到，过作
C．作于点
D．过上一点作，
2．体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，是的角平分线，过点作，垂足为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，，点在上，交于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．下列命题是假命题的是（　　）
A．三角形内角和为
B．直角三角形的两个锐角互余
C．等腰三角形的两底角相等
D．相等的角是对顶角
8．如图，已知，点在上，点，在上，连接，，， ，，平分．给出下列结论：①平分；②；③；④．上述结论中，正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题
9．如图，一个含的直角三角板的直角顶点在这两条平行线之间，另两个顶点均在这两条平行线的外部，设，，则x与y的数量关系为___．

10．如图，四边形中，，点、点在上，将沿折叠，点落在点处，线段所在的直线平分，将沿折叠，点刚好落在线段上的点处，且两条折痕形成的，则______．
11．下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应___________（填“增加”或“减少”）___________度．
12．如图，，则___________．
13．如图，是的角平分线，，垂足为D，，则__________．
三、解答题
14．学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务：
如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合．
理由：由操作可知，
所以 ________ （依据：________）．
所以，________（依据：________）．
即________________．
所以，三角形的内角和等于
15．如图1，在中，是的角平分线；
(1)填写下面的表格．
的度数
的度数
(2)试猜想与之间存在一个怎样的数量关系，并证明你的猜想；
16．在中，将，按如图所示的方式折叠，点，均落在边上的点处，线段，为折痕．若，求的度数．
17．如图，，分别平分，，它们交于点，求证：．
18．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，是“友爱三角形”．
如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），．
(1)求的度数．
(2)若是中边上的高，则，都是“友爱三角形”吗？为什么？试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B C A C D D
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理的证明、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．
【详解】解：由，则，．
由，得．故A不符合题意；
由，则，．
由，得．故B不符合题意；
由于，则，
无法证得三角形内角和是．故C符合题意，
由，得，．由，得，，那么．
由，得．故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．
2．【答案】B
【知识点】三角形的外角的定义及性质
【分析】三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，，
∵，
∴．
3．【答案】B
【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和为是解题的关键．根据三角形的内角和定理和平行线的性质即可求解．
【详解】解：，
，
，
．
故选：B．
4．【答案】C
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识点，三角形内角和定理的应用是解题的关键．根据是的角平分线，所以，由，得，故，在中，由，即可得出答案．
【详解】解：是的角平分线，
，
，
，
又，
，
，
即，
又，，
，
即，
，
故选：．
5．【答案】A
【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了翻折的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上性质．
根据翻折的性质得出相等角，再根据平角定义表示出，最后利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：根据折叠的性质得，，，
∴，
，
∴
，
∴
，
故选：A．
6．【答案】C
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、根据平行线的性质求角的度数
【分析】根据平行线的性质，得到，根据直角三角形的性质，得，解答即可．
本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：C．
7．【答案】D
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、判断命题真假、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形性质、等腰三角形性质、对顶角的定义．
根据三角形内角和定理、直角三角形性质、等腰三角形性质、对顶角的定义，逐项判断命题的真假即可．
【详解】解：三角形内角和为，A是真命题；
直角三角形的两个锐角互余，B是真命题；
等腰三角形的两底角相等，C是真命题；
相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角相等，但它们不是对顶角，D是假命题；
故选：D．
8．【答案】D
【知识点】垂线的定义理解、三角形内角和定理的应用、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算
【分析】利用平行线的判定与性质、角平分线和垂直定义可判断①②③；结合三角形的内角和定理可判断④，进而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴平分，故①正确；
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，则，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，，
∴，
∴，故④正确，
综上，正确的是①②③④．
9．【答案】
【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、根据平行线的性质探究角的关系、三角形内角和定理的应用
【分析】设含的直角三角板的三个顶点为，延长交于点，交于点，利用直角三角形的两个锐角互余，得到，利用平行线的性质，对顶角相等和三角形的内角和定理，通过等量代换即可得到答案．
【详解】解：如图，设含的直角三角板的三个顶点为，延长交于点，交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．

故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形，平行线的性质，三角形的内角和定理，对顶角的性质，作出正确的辅助线是解题的关键．
10．【答案】/度
【知识点】三角形折叠中的角度问题、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，由折叠的性质可得，设，则由平行线的性质可得，再由角平分线的定义推出，进而由平角的定义得到，则由三角形内角和定理可得，解方程即可得到答案．
【详解】解：由折叠的性质可得，
设，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为；．
11．【答案】 减少 10
【知识点】三角形的外角的定义及性质、对顶角相等、三角形内角和定理的应用
【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断．
【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，
∴∠ACB=180°-110°=70°，
∴∠DCE=70°，
如图，连接CF并延长，
∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，
∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，
∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，
要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，
若只调整∠D的大小，
由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°，
因此应将∠D减少10度；
故答案为：①减少；②10．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．
12．【答案】100°/100度
【知识点】三角形内角和定理的证明、利用邻补角互补求角度
【分析】根据邻补角和为180°，以及∠2，∠3的比例，可求出∠2的度数，根据∠2与∠1的比例可求出∠1的度数，进而可求出∠4的度数．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴，
∴
故答案为：100°．
【点睛】本题考查三角形的内角和，利用比例求各部分的角的值，补角的性质，能够熟练应用比例求出各部分的具体值是解决本题的关键．
13．【答案】/58度
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上性质．
根据垂直得出直角三角形，利用直角三角形的两个锐角互余得到角的度数关系，然后利用三角形的内角和定理得出，求出，然后利用角平分线的定义和直角三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴．
14．【答案】；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；
【知识点】三角形内角和定理的证明、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和的证明方法，先由内错角相等，两直线平行得到，再由两直线平行，同旁内角互补得到，据此可证明．
【详解】证明；由操作可知，
所以（依据：内错角相等，两直线平行）．
所以，（依据：两直线平行，同旁内角互补）．
即．
15．【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形内角和问题：
（1）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，得到，逐一进行计算即可；
（2）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴时，；
时，；
时，；
填表如下：
的度数
的度数
（2），证明如下：
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴．
16．【答案】
【知识点】三角形折叠中的角度问题
【分析】本题考查了图形的对折，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．
根据折叠的性质，找到相等的角，然后利用平角的定义计算即可；
【详解】解：由题意知：，
，
，
．
17．【答案】见解析
【知识点】三角形的外角的定义及性质
【分析】延长交于点，设，，利用三角形外角的性质求出，可得，同理求出，进而可得结论．
【详解】证明：如图，延长交于点，
设，，
∴，
，
同理可得，
，
．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角的和差计算，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键．
18．【答案】(1)，；
(2)、都是“友爱三角形”，
理由： 是中边上的高，
，
，，
，，
在中，，，
，
为“友爱三角形”；
在中，，，
，
为“友爱三角形”．
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键．
（1）利用“友爱三角形”的定义及结合解答即可；
（2）由，，，求出，，根据“友爱三角形”的定义即可得出结论．
【详解】（1）解： 是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），
，
，
，即，解得，
；
（2）略
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