资源简介

15.3 等腰三角形 课时对点练2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．如图，在中，，，点E、D、F分别在、、上，根据图上标注的已知条件，与不一定全等的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能确定
3．“红砖古厝，雕梁画栋，闽南建筑瑰宝，蔡氏古民居传文脉”．如图，南安蔡氏古民居的红砖墙图案可看作等腰三角形，点是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，在△中，平分，平分，与交于点，经过点，分别交，于点，．，已知，，则梯形的周长为（ ）
A．39 B．41 C．43 D．45
5．在中，，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
6．在如图所示的正方形网格中，点、均在格点（小正方形的顶点）上，连接，以为一边，在格点上找一点，使得为等腰三角形的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．已知平面直角坐标系中，点A的坐标为，在y轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6
8．下列说法错误的是（ ）
A．等腰三角形的两底角相等
B．有两个角相等的三角形是等腰三角形
C．等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合
D．等腰三角形是轴对称图形
9．如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，则图中一共有（　　）个等腰三角形．
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
11．如图， 在等边三角形中，，则的度数是_______．
12．已知、、 为的三边长，、 满足，且a为方程的解，则的形状为_______三角形．
13．在中，已知，那么 _______（填“＞”、“＜”或“=”）．
14．如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使，连接．有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是___________．（填序号）
15．如图为某工厂厂区示意图，办公大楼在工厂主干道上，车间，与办公大楼的距离皆为，且，．在主干道上选址仓库，从仓库到车间，修建厂区支路，，使得支路总长最短，测得仓库与办公大楼距离为．已修建的支路长为 ，还需修建的支路的长度用代数式可以表示为__________．
三、解答题
16．如图，中，，将沿直线平移到的位置（使点B与点C重合，点B、C、E在一条直线上），连接，求证：．
17．如图，在中，，点在上，且，求：
(1)图中有哪些等腰三角形？
(2)各角的度数．
18．如图，一轮船由西向东以海里/时的速度航行，在处测得小岛在北偏东方向，航行小时后，轮船在处测得小岛在北偏东方向，已知小岛周围海里范围内有暗礁，若轮船继续向前航行，有没有触礁的危险？为什么？
19．如图，边长为1的正方形网格中，的三个顶点A、B、C都在格点上．
(1)画出关于轴的对称图形（其中点A、B、C的对称点分别是D、E、F）；
(2)在轴上找一点，使得周长最短，请画出点所在的位置，并写出点的坐标．
20．在中，，平分，平分，过O点作，使，且．
(1)图中有几个等边三角形？
(2)若，你能求出的周长吗？
(3)你还能求出的周长吗？试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C A D D B C B C
1．【答案】D
【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、等边对等角
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定．根据等腰三角形的性质可得，再根据全等三角形的判定，逐项判断，即可．
【详解】解：∵，，
∴，
A、∵，
∴，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故本选项不符合题意；
D、∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
无法得到与全等，故本选项符合题意；
故选：D
2．【答案】C
【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、三角形内角和定理的应用
【分析】先根据三角形内角和定理求出第三个内角的度数，再依据等腰三角形的判定定理判断三角形类型．
【详解】解：第三个内角的度数为，
∵有两个内角相等，
∴这个三角形是等腰三角形．
3．【答案】C
【知识点】三线合一
【分析】本题主要考查了三线合一定理，根据等腰三角形“三线合一”的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、∵，，
∴，即，
又∵，
∴是的角平分线，故此选项不符合题意；
B、∵，，
∴是的角平分线，故此选项不符合题意；
C、由和现有条件不能得到是的角平分线，故此选项符合题意；
D、∵，，
∴是的角平分线，故此选项不符合题意；
故选：C．
4．【答案】A
【知识点】根据等角对等边证明边相等、角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等
【分析】本题考查了等腰三角形判定、平行线的性质和角平分线的定义，关键是根据角平分线的定义得出，解答．根据角平分线的定义得出，，进而利用平行线的性质得出，，进而解答即可．
【详解】解：平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
，，
梯形的周长，
故选：．
5．【答案】D
【知识点】含30度角的直角三角形
【分析】本题可利用含角的直角三角形的性质求解，根据直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，可知.
【详解】解：如下图所示，
在中，，，，
．
故选：D．
6．【答案】D
【知识点】格点图中画等腰三角形
【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键；因此此题可根据等腰三角形的定义在格点上分以为腰和底进行求解即可．
【详解】解：如图，
∴使得为等腰三角形的点有4个；
故选D．
7．【答案】B
【知识点】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
【分析】分类讨论①②③时，求出点P的个数．
【详解】因为为等腰三角形，
所以可分三类讨论：
①(有一个)．此时只要以A为圆心长为半径画圆，可知圆与y轴交于O点和另一个点，另一个点就是点P；
②(有两个)．此时只要以O为圆心长为半径画圆，可知圆与y轴交于两个点，这两个点就是P的两种选择；
③(一个)．作的中垂线与y轴有一个交点，该交点就是点P的最后一种选择．
综上所述，共有4个．
故选B.

【点睛】本题考查等腰三角形的判定、坐标与图形性质，解决此类问题的方法主要是线段垂直平分线与辅助圆的灵活运用以及分类讨论时做到不重不漏．
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质；
根据等腰三角形的判定和性质判断各选项的正确性即可．
【详解】解：等腰三角形的两底角相等，A正确；
有两个角相等的三角形，对边相等，是等腰三角形，B正确；
等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，C错误；
等腰三角形是轴对称图形，D正确；
故选：C．
9．【答案】B
【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长
【分析】本题考查了角平分线，平行线的性质，等角对等边等知识，由角平分线定义可得，又，则，可得，所以，同理得， 然后通过线段和差即可求解，熟练掌握角平分线，平行线的性质，等角对等边是解题的关键．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴
，
故选：．
10．【答案】C
【知识点】找出图中的等腰三角形
【分析】根据等腰三角形的判定定理得到△ABD与△BAC是等腰三角形，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠C＝72°，推出△ADE和△BCE是等腰三角形，根据全等三角形的性质得到AE＝BE，得到△ABE是等腰三角形．
【详解】解：∵AB＝AC＝BD，
∴△ABD与△BAC是等腰三角形，
在△ABD与△BAC中，
，
∴△ABD≌△BAC（SSS），
∴∠D＝∠C＝72°，
∴∠BAD＝∠D＝∠C＝∠ABC＝72°，
∴∠∠ABD＝∠BAC＝36°，
∴∠DAE＝∠CBE＝36°，
∴∠AED＝∠BEC＝72°，
∴∠D＝∠AED＝∠C＝∠BEC，
∴△ADE和△BCE是等腰三角形，
∵∠AED＝∠BEC，
∴△ADE≌△BCE（AAS），
∴AE＝BE，
∴△ABE是等腰三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
11．【答案】/75度
【知识点】等边对等角、等边三角形的性质
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质．根据等边三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
12．【答案】等边
【知识点】等边三角形的判定、三角形三边关系的应用、绝对值非负性、绝对值方程
【分析】本题主要考查了根据三角形三边判断三角形的性质，准确求解题中的式子是解题的关键．
根据绝对值和平方的非负性可得到b、c的值，再根据式子解出a的值，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，，
∵a，b，c为的三边长，
∴，即
∵a是方程的解
∴，
∴，
∴是等边三角形．
故答案为：等边．
13．【答案】
【知识点】大（小）边对大（小）角定理
【分析】本题考查了大（小）边对大（小）角定理．根据三角形中“大边对大角”的性质，通过比较对应边的大小关系判断角的大小关系，即可作答．
【详解】解：在中，是的对边，是的对边，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
14．【答案】①②③④
【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质
【分析】根据等边三角形的性质及等边对等角依次判断即可．
【详解】∵是等边三角形，是中线，
∴平分；；故①②正确；
∵，
又，
∴，
∴，
∴
∴，故③④正确，
综上其中正确的是①②③④．
15．【答案】
【知识点】最短路径问题、线段问题(轴对称综合题)、列代数式
【分析】本题考查轴对称的性质与最短路径问题，解题关键是利用轴对称将线段和转化为两点之间线段，结合等边三角形判定求总长，再作差得长度．
作点关于的对称点，连接，则（最短路径），由角度计算得，结合，判定为等边三角形，得．由，得．
【详解】解：作点C关于直线的对称点连接，交于点D，
此时，，根据两点之间线段最短，即为所求的仓库位置．
由对称性，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
∵，且，
∴，
故答案为：．
16．【答案】
证明：∵沿直线平移到的位置，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】利用平移的性质求解、根据等角对等边证明边相等
【分析】本题考查了平移的性质，等腰三角形的判定，掌握这两个知识点是关键；由平移的性质得；由得，进而可证明结论成立．
【详解】略
17．【答案】(1)
(2)
【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、找出图中的等腰三角形
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟记相关结论是解题关键．
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形，据此即可求解；
（2）设，根据可得，进一步由可得，再由得，根据三角形的内角和定理即可求解．
【详解】（1）解：∵，，，
∴是等腰三角形
（2）解：设．
，
；
，
；
，
，
，
，
．
18．【答案】若轮船继续向前航行，没有触礁的危险，理由见解析．
【知识点】含30度角的直角三角形、根据等角对等边求边长
【分析】本题主要考查了含30度角直角三角形的性质，等角对等边，关键找出题中的等腰三角形，然后再根据直角三角形性质求解．作，利用直角三角形性质求出长，再和海里比较即可看出船不改变航向是否会触礁．
【详解】解：作于，
∵在处测得小岛在北偏东方向，
∴，
∵在处测得小岛在北偏东方向，
∴，
∴，
∴，
∵海里，
∴海里，
∴海里，
∵，
∴若轮船继续向前航行，没有触礁的危险．
19．【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】最短路径问题、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查了轴对称变换，“两点之间，线段最短”，掌握轴对称的坐标点特点是解题关键．
（1）先分别作出A、B、C关于x轴的对称点D、E、F，再连接D、E、F三点即可；
（2）由上问已知，C点关于y轴的对称点是点，连接A、两点，与y轴的交点即为P点，这时最短，则周长最短，即可求出答案．
【详解】（1）解：如图所示，关于x轴的对称图形．
（2）如图所示：C点关于y轴的对称点是点，连接A、两点，与y轴的交点即为P点，
有，
则，此时最短，
∵ ，
∴此时周长最短．
由图形可知，点P的坐标为．
20．【答案】(1)图中有2个等边三角形
(2)能，的周长为30
(3)能，的周长为45
【知识点】两直线平行内错角相等、角平分线的有关计算、等边三角形的判定和性质
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据“等角对等边”得到，即可证明是等边三角形．同理证明，可得出是等边三角形；
（2）由，，得到．根据角平分线的定义及平行线的性质得到，得出，同理可得，即可得到．再根据是等边三角形，即可根据等边三角形的性质求出周长；
（3）根据是等边三角形即可求解．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
综上所述，图中共有2个等边三角形．
（2）解：根据（1）可得，，
∴，
即．
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得．
∴．
根据（1）可得是等边三角形，
∴，
∴．
（3）解：∵，，
∴，
由（1）可知是等边三角形，
∴．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑