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18.3 分式的加法与减法 课时对点练2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．已知一个正确的运算过程：被盖住了一部分，则被遮盖的算式是（ ）
A． B． C． D．1
2．某施工队每天挖掘米隧道，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘米隧道，比原来少用的天数为（ ）
A． B． C． D．
3．计算的结果是（ ）．
A． B． C． D．
4．某校举办了“学习二十大精神，争做五育标兵”系列活动，其中一项数学活动是计算接力赛，规则是：每一个人只能看到前一个人给的式子，然后只计算一步，再把结果传给下一个人，最后完成计算，某组同学计算过程如下，出现错误的是（ ）
A．只有甲 B．乙和丁 C．丙和丁 D．甲和丙
5．如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形，已知①和②能够重合，③和④能够重合，且这四个长方形的面积相等．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知其中A，B为常数，则的值为（ ）
A．7 B．9 C．13 D．5
8．对分式（）进行如下操作：将与1相加，结果记为，称为第一次操作；将第一次操作的结果与相加，结果记为，称为第二次操作；将第二次的操作结果与2相加，结果记为，称为第三次操作；将第三次操作的结果与相加，结果记为，称为第四次操作；将第四次操作的结果与3相加，结果记为，称为第五次操作；将第五次操作的结果与相加，结果记为，称为第六次操作，…，以此类推，下列三个说法：①第七次操作的结果；②；③第二十次操作的结果．其中正确的说法有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
9．计算的结果是____．
10．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树a棵．原计划每天种b棵树，由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前_______天完成任务．
11．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．如，分式与互为“3阶分式”．则分式与________互为“5阶分式”．
12．已知为整数，且为整数，则所有符合条件的的值的积为________．
13．一个各个数位互不相等且均不为的四位数，满足．则满足题意的的最小值为_________．对于，将其千位数字与个位数字互换，百位数字与十位数字互换，得到新的四位数，规定：．若能被的各个数位上的数字之和整除，则满足条件的的最大值为_________．
三、解答题
14．化简：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
15．列式计算：
(1)当把甲、乙两种饮料按质量比混合在一起，可以调制成一种混合饮料．调制这种混合饮料需___________甲种饮料？
(2)小敏用电脑打字的速度相当于手写速度的4倍，设她手写速度为字，那么她用电脑打3000字比手抄少花多长时间？
(3)甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修米，乙工程队每天修米（其中），则甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的多少倍？
16．甲、乙两码头相距千米，已知轮船在静水中航行的速度是千米/时，水流速度是千米/时（）．如果轮船从甲码头顺流航行到乙码头，又从乙码头逆流航行到甲码头，那么这样的航行过程中，轮船的平均速度是多少？
17．我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”．
例如，将分式分解：．
(1)将分式分解的结果为________；
(2)若可以分式分解为（其中，，是常数），则________，________；
(3)当时，判断与的大小关系，并证明．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D D D B D C D
1．【答案】D
【知识点】同分母分式加减法
【分析】此题考查了分式加减的运算能力，关键是能准确理解并运用该计算法则进行正确地计算．运用同分母分式相加减方法进行运算．
【详解】解：，
故选：D．
2．【答案】D
【知识点】列代数式、分式加减的实际应用
【分析】本题考查分式减法运算的实际应用，核心是通过计算不同施工效率下的施工天数，进而求出天数差．先根据原日挖掘量求出改进技术后的日挖掘量，再分别计算两种情况下挖掘米隧道所需的天数，最后用原天数减去改进后的天数得到少用的天数．
【详解】解：原来每天挖掘米，挖掘米隧道需要的天数为；
改进施工技术后，每天挖掘的长度为米，此时挖掘米隧道需要的天数为；
因此比原来少用的天数为．
故选：D．
3．【答案】D
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查了分式的加减运算，注意到分母 ，将第二个分式变形后合并，利用因式分解简化表达式即可；
【详解】解：
，
故选：D
4．【答案】D
【知识点】整式与分式相加减
【分析】根据分式的加减进行计算即可求解．
【详解】解：
，
∴甲和丙出现错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式与整式的加减运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
5．【答案】B
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算法则是解本题的关键．设四个长方形的面积均为S，，则，得出，，求出，，根据求出结果即可．
【详解】解：设四个长方形的面积均为S，，则，
∴，，
∴，
，
∴
．
故选：B．
6．【答案】D
【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值
【分析】本题考查了分式的运算，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键．
根据分式的运算法则，逐一验证每个选项的计算是否正确，即可求解．
【详解】解：A、，，故选项A错误，不符合题目要求；
B、，故选项B错误，不符合题目要求；
C、，故选项C错误，不符合题目要求；
D、，计算正确.，故选项D正确，符合题目要求．
故选：D．
7．【答案】C
【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母
【分析】先对等式右侧通分，根据分式恒等式的性质，分子对应系数相等得到方程组，求解后计算的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，且，
∴，
∴．
8．【答案】D
【知识点】分式加减混合运算
【分析】根据题意找规律，再进行分式的运算求解．
【详解】解：①根据题意得：第七次操作的结果为，故①正确；
②根据题意得：，
∴，故②正确；
根据题意得：，
，
，
，
……
由此发现，，故③正确，
∴正确的说法有3个．
故选：D
【点睛】本题考查了分式的加减法运算，根据题意找出数字的变化规律式解题的关键．
9．【答案】1
【知识点】同分母分式加减法
【分析】本题考查了分式的加减，熟练掌握分式加减法的运算法则是解题的关键．
分母相同，将分子直接相减即可．
【详解】解：．
故答案为：1．
10．【答案】
【知识点】分式加减的实际应用
【分析】本题主要考查了分式减法的应用．根据题意列出代数式，再计算，即可．
【详解】解：根据题意得：
，
即结果提前天完成任务．
故答案为：
11．【答案】
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查了分式的减法运算，掌握运算法则是解题的关键．
由题意得，的“5阶分式”为，再根据异分母的分式减法法则计算即可．
【详解】解：由题意得，的“5阶分式”为：，
故答案为：
12．【答案】180
【知识点】分式加减混合运算
【分析】本题考查了分式的加减，先通分，再根据分式的加减法法则计算，根据题意求出符合条件的的值，计算即可，熟练掌握分式的加减法法则是解题的关键．
【详解】解：
∵为整数，且为整数，
∴或或或，
解得：或或或，
∴符合条件的的值的积为：
故答案为：．
13．【答案】
【知识点】整式的加减运算、分式加减乘除混合运算、不等式的性质
【分析】根据最小，可得，，，根据即可确定的最小值；规定化简，再根据整除特性得到为整数，令，，则，即可得到是整数，根据得出，，即可求出，，要使最大，可得，，，，即可得答案．
【详解】解：∵，，，互不相等，且均不为，
∴当，，时，最小，
∵，
∴，
∴；
∵对于，将其千位数字与个位数字互换，百位数字与十位数字互换，得到新的四位数，
∴，
∵
∴，
∴，
∵能被的各个数位上的数字之和整除，
∴为整数，
∴为整数，
设，，
∵，
∴，，，
∴为整数，
∵，
∴是整数，
∴是的正因数，
∵，
∴，
∴，
∵要使的值最大，四个数字互不相等且不为，
∴，，，．
∴的最大值为．
14．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查了分式的运算，
对于（1），根据分式的乘法，直接约分即可；
对于（2），将除法变为乘法，再计算即可；
对于（3），先算乘方，再按照顺序计算即可；
对于（4），先计算括号内的，再将除法变成乘法计算；
对于（5），先计算括号内的，再将除法变为乘法计算；
对于（6），先计算括号内的，再将除法变为乘法计算；
对于（7）（8），仿照（6）解答．
【详解】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式
；
（4）原式
；
（5）原式
；
（6）原式
；
（7）原式
；
（8）原式
．
15．【答案】(1)
(2)
(3)甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的倍
【知识点】列代数式、分式加减的实际应用
【分析】本题考查了列代数式（分式），分式的混合运算的应用，把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（1）设调制这种混合饮料需甲种饮料，根据甲种饮料千克数：溶液总质量甲种饮料质量：甲乙两种饮料质量和，列出方程计算即可求解；
（2）先利用速度公式分别表示出电脑打字和手写的时间，然后求它们的差即可；
（3）首先表示出甲乙所用时间为：、，计算其比值，化简即可得出结果．
【详解】（1）解：设调制这种混合饮料需甲种饮料，依题意有
，
解得，
故调制这种混合饮料需甲种饮料；
（2）解：设他手写的速度为字，则用电脑打字的速度为字，
则他电脑打3000字比手抄少花的时间为，即．
（3）解：由题意可知甲工程队修900米所用时间为：，
乙工程队修600米所用时间为：，
则其比值为：，
∴甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的倍．
16．【答案】这样的航行过程中，轮船的平均速度是
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查分式混合运算，正确列出分式方程是本题解题关键．根据平均速度=总路程÷总时间，得出分式，再进行分式的混合运算，即可求解．
【详解】解：根据题意得
答：这样的航行过程中，轮船的平均速度是．
17．【答案】(1)
(2)，；
(3)
【知识点】异分母分式加减法、加减消元法
【分析】本题主要考查了分式的加减运算、解二元一次方程组，解决本题的关键是根据分式的性质进行计算，利用求差法比较分式的大小．
（1）仿照题干提供的解题思路分解分式；
（2）根据分式的性质进行计算，可得，根据可以分式分解为，可得，从而得关于关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出、的值；
（3）根据分式的性质进行计算可得：，因为，可得：，从而可知．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
可以分式分解为，
，
，
解得：，
故答案为：，；
（3）解：，
证明：
，
，
，，
，
，
，
．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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