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18.5 分式方程 课时对点练2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．下列方程中，属于分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于的分式方程的解为，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
3．我国著名院士袁隆平被誉为“杂交水稻之父”，他在杂交水稻事业方面取得了巨大成就．某水稻研究基地统计，杂交水稻的亩产量比传统水稻的亩产量多400千克，总产量同为3000千克的杂交水稻种植面积比传统水稻种植面积少2亩．若设传统水稻亩产量为x千克，则下列方程正确的是（ ）（亩：市制土地面积计量单位）
A． B．
C． D．
4．某学校预计购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进篮球的数量相等，设篮球的单价是元，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．一组学生去春游，预计共需费用120元，后来又有2人参加进来，总费用不变，于是每人可少分摊3元，原来这组学生的人数是 （ ）
A．人 B．人 C．人 D．人
6．在解方程的过程中，去分母后正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A．或 B．10或 C．3或 D．5或10
8．过年回家对中国人而言，是刻在骨子里的文化执念与情感刚需，核心意义在于阖家团圆与辞旧迎新的仪式感．放寒假后，小陈爸爸驾驶汽车开往距离出发地的爷爷家，出发后的前按原计划的速度匀速行驶，后按原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达爷爷家．若设前的行驶速度为，则根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．皮影戏是一种在灯光照射下用隔亮布进行表演的民间戏剧形式．某玩具厂准备生产皮影戏玩具8000套，为尽快完成任务，实际每天生产皮影戏玩具的数量是原计划的1.6倍，结果提前6天完成任务．设该玩具厂原计划每天生产这种皮影戏玩具x套，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图所示的电路的总电阻为10Ω，若R1＝2R2，则R1，R2的值分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题
11．分母中含有___________，叫做___________．
12．对于非零实数，，规定．若，则x的值为________．
13．如果关于x分式方程有增根，则增根____，若分式方程无解，则______．
14．为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了、两类玩具，其中类玩具的进价比类玩具的进价每个多元，经调查：用元购进类玩具的数量与用元购进类玩具的数量相同，则类玩具的进价______元/个．
15．一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间与最大航速逆流航行所用时间相等，则江水的流速为_____．
三、解答题
16．解分式方程：
(1)
(2)
17．已知关于x的分式方程．
(1)若分式方程有增根，求a的值；
(2)若分式方程的解为非负数，求a的取值范围．
18．某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木首需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．设正方形木板的单价为m元/块，已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍．
采购清单
单价（元/块） 数量（块） 总价（元）
正方形木板 m 120
长方形木板 300
(1)请将表格填写完整（用含m的代数式表示），并求m的值．
(2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完？
(3)该工厂发现有一批尺寸为的废旧木板，若用这批废旧木板切割成木箱所需的上述两种木板．
①请问如何切割才能将每块废旧木板恰好用完（不计损耗）．
②因工厂生产需要，还需制作竖式无盖木箱60个、横式无盖木箱50个，所有废旧木板恰好用完，则这批废旧木板共多少块？
19．为了迎接国庆，某市准备在“中央广场”设置一个花坛，现需要在花坛中摆放鲜花，园林处准备用招募工人和发放劳动报酬的方式来完成该项工作．“红星中学”的数学兴趣小组把“花坛建设”作为一项综合与实践的活动，完成了实践调查并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算支付给工人的总费用．
课题 花坛建设
调查方式 走访调研、实地查看
调研过程及计算 调研内容及图示 相关数据及说明： 1．花坛中摆放的鲜花有甲、乙两种，且要求所有的摆放工作在一天内完成，摆放甲鲜花的工人每人当天费用为250元，摆放乙鲜花的工人每人当天费用为300元； 2．共招募7名工人，每名工人在相同的时间内摆放甲鲜花2盆或摆放乙鲜花3盆，且每名工人只完成一项工作，要求摆放两种鲜花同时开始，并在当天同时完成； 3．整个任务需要摆放甲鲜花600盆和乙鲜花1200盆．
计算结果
试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B C A A A A B A
1．【答案】B
【知识点】分式方程的定义
【分析】本题考查分式方程的定义，掌握知识点是解题的关键．
分式方程是指分母中含有未知数的方程，根据此定义判断各选项即可．
【详解】解：分式方程需满足分母中含有未知数，
选项A：，分母无未知数，不是分式方程；
选项B：，分母x是未知数，是分式方程；
选项C：，分母2是常数，不是分式方程；
选项D：，分母无未知数，不是分式方程．
故选：B．
2．【答案】B
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】此题考查了分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，列方程即可．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
即可得，
解得
故选：B．
3．【答案】B
【知识点】列分式方程
【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
设传统水稻亩产量为x千克，则杂交水稻亩产量为千克，根据亩产量和种植面积的关系，杂交水稻种植面积比传统水稻少2亩，列出方程．
【详解】设传统水稻亩产量为x千克，则杂交水稻亩产量为千克
根据题意得，．
故选：B．
4．【答案】C
【知识点】列分式方程、分式方程的经济问题
【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；根据题意，篮球单价为x元，则足球单价为元，用360元购进的足球数量为，用480元购进的篮球数量为，两者相等，故得方程，然后问题可求解．
【详解】解：∵篮球单价为元，
∴足球单价为元，
∵购进足球数量为，购进篮球数量为，且数量相等，
∴；
故选C．
5．【答案】A
【知识点】分式方程和差倍分问题
【分析】设原来这组学生的人数为x人，然后根据开始费用为120元，加入2人后，分摊费用少3元列出方程求解即可．
【详解】解：设原来这组学生的人数为x人，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴原来这组学生的人数为8人，
故选A．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
6．【答案】A
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考查解分式方程，通过找到分母的最简公分母，乘以方程两边，消除分母，得到正确等式即可．
【详解】解：∵方程 的分母为和，
∴最简公分母为，
去分母得：，
故选：A ．
7．【答案】A
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查分式方程无解的判定，需结合增根的定义，分析整式方程的解为原分式方程增根的情况，熟练掌握分式方程增根的性质是解题关键．
【详解】解：∵原分式方程分母为、、
∴最简公分母为
去分母，两边同乘得：
展开整理得：
∵分式方程无解，且整理后的整式方程为一元一次方程（系数不为0，必有解）
∴仅需考虑整式方程的解为原分式方程的增根的情况
令原分式方程分母为0，得增根或
①将代入，得，∴
②将代入，得，∴
综上，的值为或，
故选∶A．
8．【答案】A
【知识点】分式方程的行程问题
【分析】本题考查分式方程在行程问题中的应用，解题的关键是找出等量关系，列出方程．根据“实际比原计划提前到达”的条件，分析原计划与实际行驶剩余路程的时间关系来列方程．
【详解】解：∵设前的行驶速度为，
∴原计划中行驶后剩余路程的时间为，
又∵后速度变为，
∴实际行驶剩余路程的时间为，
∵实际比原计划提前到达，该提前时间为剩余路段原计划时间与实际时间的差值，
∴
故选：A．
9．【答案】B
【知识点】分式方程的工程问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解答本题的关键．
设原计划每天生产x套，则实际每天生产套，再根据生产皮影戏玩具8000套，提前6天完成任务列出分式方程并求解即可．
【详解】解：设原计划每天生产x套，则原计划天数为，实际每天生产套，实际天数为 ．
∵ 提前6天完成任务，
∴ ，
故选：B．
10．【答案】A
【知识点】分式方程的其它实际问题
【分析】结合并联电路的性质，由等量关系，把R1＝2R2，代入得，解这个分式方程即可解答．
【详解】解：， R1＝2R2，
经检验，是分式方程的解，
故选：A．
【点睛】本题考查分式方程的应用，涉及公式，掌握相关知识是解题关键．
11．【答案】 未知数的方程 分式方程
【知识点】分式方程的定义
【分析】本题考查分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程，熟记分式方程的定义直接填空即可得到得到答案．
【详解】解：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程，
故答案为：未知数的方程，分式方程．
12．【答案】
【知识点】新定义下的实数运算、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了新定义实数的运算，解分式方程，根据新定义运算规则，将方程转化为分式方程，然后求解并检验分母不为零，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，即，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的解，
故答案为：．
13．【答案】
【知识点】分式方程无解问题
【分析】先明确增根的定义（使分式方程分母为的根 ），求出增根；再将分式方程化为整式方程，结合增根情况或整式方程无解的情况，确定的值．本题主要考查了分式方程的增根及无解的情况，熟练掌握“增根是使分式方程分母为的根，分式方程无解包括产生增根和整式方程本身无解（本题整式方程恒有解，主要考虑增根情况 ）”是解题的关键．
【详解】解：对于分式方程，其分母为．
根据增根定义，令，
解得，
∴增根 ．
先将分式方程两边同乘（ ），
化为整式方程：，即 ．
因为分式方程无解，产生增根，即，把代入，
得，
解得 ．
∴时，分式方程无解 ，
故答案为：，．
14．【答案】
【知识点】分式方程的经济问题
【分析】设类玩具的进价为元个，则类玩具的进价为元个，根据用元购进类玩具的数量与用元购进类玩具的数量相同，列出方程并解方程即可；
【详解】解：设类玩具的进价为元个，则类玩具的进价为元个，
由题意得，
解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
所以类玩具的进价为元个．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系并列出方程是解题关键．
15．【答案】6
【知识点】分式方程的行程问题
【分析】此题主要考查了分式方程的应用，根据题意可得顺水速度为，逆水速度为，根据题意可得等量关系：以最大航速沿江顺流航行所用时间＝以最大航速逆流航行所用时间，根据等量关系列出方程求解即可．
【详解】解：设江水的流速为，
根据题意得：，
，
解得．
经检验，是原方程的解．
答：江水的流速为．
故答案为：6．
16．【答案】(1)；
(2)无解
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查分式方程的求解，核心思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验根的合理性．
（1）确定最简公分母为，去分母转化为整式方程求解后进行检验；
（2）确定最简公分母为，去分母转化为整式方程求解，检验发现所得根为增根，故原方程无解．
【详解】（1）解：方程两边同时乘以最简公分母，得：，
移项合并同类项得，
两边同时除以3得；
检验：当时，得，
∴是原分式方程的解；
（2）解：方程两边同时乘以最简公分母，得：，
去括号得，
合并同类项得，
移项得，即，
两边同时除以7得；
检验：当时，，
∴是增根，原分式方程无解．
17．【答案】(1)
(2)且
【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次）
【分析】（1）先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，表示出x，再根据分式方程有增根时分母为0，从而求出x的值，再列出关于a的方程，解方程即可；
（2）根据分式方程的解是非负数和分式的分母不能为0，列出关于a的不等式组，解不等式组，求出答案即可．
本题主要考查了分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的一般步骤．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
∵分式方程有增根，
∴，
解得：，
∴，
，
，
；
（2）解：∵分式方程的解为非负数，
∴，
由①得：，
，
，
由②得：，
，
，
∴a的取值范围是：且．
18．【答案】(1)，，；
(2)竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱4个；
(3)①有两种切割方式，第一种切割方式为长方形木板7块，第二种为正方形木板8块和长方形木板2块；②这批废旧木板共70块．
【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、分式方程的其它实际问题
【分析】本题考查分式方程的应用，二元一次方程组的应用．读懂题意，正确的识图，找准等量关系，列出方程组，是解题的关键．
（1）根据题意列出分式方程进行求解即可；
（2）设竖式无盖木箱做个，横式无盖木箱个，根据题意列出方程组进行求解即可；
（3）①设每块废旧木板切割正方形木板块，长方形木板块，根据题意，列出二元一次方程，利用都是非负整数，求解即可；
②根据题意，进行求解即可．
【详解】（1）解：填写表格如下：
采购清单
单价（元/块） 数量（块） 总价（元）
正方形木板 120
长方形木板 300
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：；
（2）解：当时，正方形木块的数量块，长方形木块的数量块．
设竖式无盖木箱做个，横式无盖木箱个，
根据题意，得，
解得，
答：竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱4个；
（3）解：①设每块废旧木板切割正方形木板块，长方形木板块，根据题意，
得，
，
因为都是非负整数，
所以或．
答：有两种切割方式，第一种切割方式为长方形木板7块，第二种为正方形木板8块和长方形木板2块；
②所需正方形木板块，长方形块．
所以第二种切割方式的木板为块，第一种切割方式的木板为块，
所以废旧木板共块．
答：这批废旧木板共70块．
19．【答案】支付工人的总费用为元
【知识点】分式方程的工程问题
【分析】设安排x名工人摆放甲鲜花，名工人摆放乙鲜花，根据整个任务需要摆放甲鲜花600盆和乙鲜花1200盆列方程，解方程并检验即可．
【详解】解：安排x名工人摆放甲鲜花，名工人摆放乙鲜花，
根据题意得：，
解得：．
检验：当时，．
所以原分式方程的解为．
当时，（名），
费用：（元）．
答：支付工人的总费用为元．
答案第1页，共2页
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