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16.3 乘法公式 课时对点练2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图可以解释的乘法公式是（ ）
A． B．
C． D．
3．等于（ ）
A． B． C． D．
4．从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形（如图），然后用剩余的部分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．运用简便方法计算正确的是（ ）
A．103×103 B．
C． D．
7．已知，，则的值为（ ）
A．31 B．25 C．19 D．15
8．若多项式是一个多项式的平方，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如果a，b，c，d都是非零实数，且满足，下列结论中，（1）（2）（3），则一定成立的命题个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
10．若，则的值为___________．
11．若，，则______．
12．若二次三项式是一个完全平方式，则的值是___________．
13．如图，对该正方形的面积进行表达时能体现的乘法公式是______．
14．有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为，面积为，图2中阴影部分周长为，面积为，若，则的值为 ________．
三、解答题
15．计算
(1)；
(2)：
(3)先化简，再求值：，其中，
16．如图，边长为a的正方形中有一个边长为的小正方形，如图2是由图1的阴影部分拼成的一个长方形．
(1)设图1的阴影部分面积为，图2的阴影部分面积为，请直接用含a、b的式子表示______；______；
(2)直接应用，利用这个公式计算：．
17．如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
(1)图②中的大正方形的边长为_______；阴影部分的正方形的边长为_______；
(2)请用两种方式表示图②中阴影部分的面积；
(3)观察图②，、、这三个代数式之间有何数量关系？若，求的值．
18．如图，某小区有一块长为，宽为的长方形地，角上有四个边长为的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．
(1)用含有，的式子表示绿化的面积（结果写成最简形式）；
(2)物业找来阳光绿化团队完成此项绿化任务，已知该团队每小时可绿化，每小时收费元，则该物业应该支付绿化团队多少元（用含，的代数式表示）？试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C B D D C D C A C
1．【答案】C
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】两个二项式相乘，存在相同项和互为相反项，即可用平方差公式计算．
【详解】解：选项：，两项均为相反项，不符合要求；
选项：，两项均为相反项，不符合要求；
选项：，相同项是，相反项是和，符合平方差公式的结构，可以用平方差公式计算；
选项：，两项均为相反项，不符合要求．
2．【答案】B
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用
【详解】解：图形的面积可表示为，也可以表示为，
即可以解释的乘法公式是．
3．【答案】D
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查了平方差公式的应用．通过连续应用平方差公式简化表达式．
【详解】解：
故选：D．
4．【答案】D
【知识点】平方差公式与几何图形
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示左图、右图的涂色部分的面积是正确解答的关键．用代数式分别表示左图、右图的涂色部分的面积即可．
【详解】解：左图，涂色部分的面积为，
将剩余的部分拼成右图的长为，宽为，因此面积为，
因此有：，
故选：D．
5．【答案】C
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的计算是解题的关键．利用完全平方公式，将展开为，然后代入已知值计算．
【详解】解：∵，
又∵，，
∴
故答案为：C．
6．【答案】D
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查完全平方公式的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．可以表示为，利用完全平方公式展开即可简便计算．
【详解】解：∵ ，
∴
．
故选：D．
7．【答案】C
【知识点】通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查完全平方公式的运用．
由可得，整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
故选：C．
8．【答案】A
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题考查完全平方公式的逆用，掌握完全平方公式是解题关键．
将给定多项式与完全平方公式的结构对应，通过对比系数求出的值．
【详解】解：∵完全平方公式为，
已知多项式是某个多项式的平方，其结构与完全平方公式一致，
∴对应项可得，，
∴，代入得，
∴，
∴．
故选：．
9．【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【分析】本题考查代数式的运算与等式推导，解题的关键是通过对已知条件进行变形、运算来推导结论．
由已知条件，，，通过代数推导和构造特例验证各结论是否成立．
【详解】（1）由和，结合，可构造，或，．此时，故结论（1）恒成立．
（2）将代入，若，，则；若，，则．因此结论（2）恒成立．
（3）取，，，，满足已知条件，但，故结论（3）不一定成立．
综上，结论（1）和（2）一定成立，正确命题个数为2，
故选C．
10．【答案】2
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查平方差公式．根据进行计算即可．
【详解】解：，
，
又，
，
故答案为：2．
11．【答案】
60或68/68或60
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，通过对完全平方公式变形求值，运用完全平方公式进行运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
利用完全平方公式将表示为，再根据求出的值，代入计算．
【详解】解：∵，
∴，
又，
∵，
∴，
∴或，
当时，
；
当时，，
故答案为：或．
12．【答案】6或
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】直接利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，即或．
【点睛】掌握完全平方公式是解题的关键．
13．【答案】
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题主要考查了利用几何图形面积推导乘法公式．通过大正方形的面积两种表示方法进行求解即可得解．
【详解】解：根据题意，大正方形的面积为，
也可以表示为
则可以得到的乘法公式是，
故答案为：．
14．【答案】/
【知识点】整式的混合运算
【分析】本题主要考查整式的混合运算，根据题目中的数据，设大长方形的短边长为d，用含a，b，c，d的式子表示出，，，，代入即可求解．
【详解】解：设大长方形的短边长为d，
∴由图2知，，
∴，
，
，
，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值为．
故答案为：．
15．【答案】(1)
(2)
(3)11
【知识点】整式的加减中的化简求值、整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，整式的化简求值，
对于（1），根据多项式乘以多项式法则计算，再根据整式的加减法计算；
对于（2），根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并即可；
对于（3），先根据整式的混合运算法则计算，再将数值代入求值即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，
当，时，
原式．
16．【答案】(1)，；
(2)
【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形
【分析】（1）用大正方形的面积减小正方形的面积即可求出；直接利用长方形的面积公式即可求出；
（2）由（1）结合题意可得出平方差公式为．再将变形为，最后根据这个公式计算即可．
【详解】（1）解：由图可知，，．
故答案为：，；
（2）由题意可知，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查平方差公式与几何图形，利用平方差公式计算．利用数形结合的思想推导出平方差公式，并会利用平方差公式进行计算是解题关键．
17．【答案】(1)，
(2)，
(3)
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、已知式子的值，求代数式的值、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查了完全平方公式的几何意义与代数运算，以及非负数的性质，通过图形拼接理解代数公式是解答本题的关键．
（1）结合长方形的长、宽与拼接后图形的边长关系，确定大正方形和阴影正方形的边长；
（2）从 “阴影图形本身的形状” 和 “大图形与小图形的面积差” 两个角度，表示阴影部分的面积；
（3）通过观察图形面积的数量关系，推导代数公式，再利用绝对值的非负性求出对应字母的值，代入公式计算结果．
【详解】（1）解：大正方形的边长，阴影部分的正方形的边长；
（2）解：阴影部分的面积第一种直接用，
第二种可看作用大正方形的面积减去4个小长方形的面积为；
（3）解：由（2）可得，
，
由题意可得，，
代入上式可得．
18．【答案】(1)
(2)元
【知识点】整式的混合运算
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解决本题的关键是根据整式的混合运算法则进行计算即可．
根据绿化面积等于长方形的面积减去四个小正方形的面积，可得：，根据多项式乘以多项式的法则和完全平方公式展开，再合并同类项即可；
根据该团队每小时可绿化，每小时收费元，可得：，然后再根据单项式乘以多项式的法则进行运算即可．
【详解】（1）解：根据题意，得绿化的面积为：
，
绿化的面积是；
（2）解：根据题意得：元．
该物业应该支付绿化团队元．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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