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14.3 角的平分线 课时对点练2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．观察如图作图痕迹，所作为的（ ）
A．高线 B．中线 C．角平分线 D．上的中垂线
2．在中，，是上一点，平分．若，，则点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，的外角的平分线与平分线交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，用一把长方形直尺的一边压住射线，再用另一把完全相同的长方形直尺的一边压住射线，两把直尺的另一边交于点P，则射线就是的平分线的依据是（ ）

A．等腰三角形中线、角平分线、高线三线合一
B．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
C．在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
5．已知，将两个完全一样的三角板按如图所示的方式摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且另一组对应边所对的顶点重合于点M，则点M一定在（ ）
A．的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的中线上 D．AB边的中线上
6．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路、、两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（ ）

A．各边垂直平分线的交点 B．中线的交点
C．高的交点 D．内角平分线的交点
7．如图，在中，，若以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，边于点，；再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交边于点．若的面积为，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，平分，于点，有下列结论：①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的个数为（ ）．
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题
9．平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的 _____．
10．如图，根据尺规作图所留痕迹，已知，可以求出______．
11．如图，是的角平分线，已知cm，cm，则_________．
12．如图，在中，．按以下步骤作图：
①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线；
②以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；作射线，与射线相交于点；
③连接．
若点到直线的距离为1，则点到直线的距离为__________．
13．如图，两两相交的三条公路中央有一深水湖泊，要在陆地建一个加油站P到三条公路距离相等，这样的位置有______处．

三、解答题
14．如图，已知，请你用尺规作图法作的角平分线．（不写作法，保留作图痕迹）
15．已知：如图，，．求证：
(1)；
(2)（要求不用三角形全等证明）．
16．如图，为了促进当地旅游发展 某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？
17．如图，在四边形中，，，平分交于点E，连接，若点E是边的中点，求的度数．
18．阅读下面材料：
三角形的内心
定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心．
我们可以证明三角形的三条内角平分线相交于一点．
如图①，已知，，是的三条内角平分线．
求证：，，交于一点．
证明：如图②，设，交于点，过点分别作，，，垂足分别为点，，．
∵点是的平分线上一点，
∴（依据1）．
同理．
∴．
∵是的平分线，
∴点在上（依据2）．
∴，，交于一点．
请解答问题：
(1)反思：上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是什么？
(2)归纳：三角形的内心到三角形三边的距离________．
(3)拓展：已知，，，，请直接用，，，表示的面积．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C D C A D C A
1．【答案】C
【知识点】作角平分线(尺规作图)
【分析】本题考查了角平分线的画法，根据角平分线的画法即可判断求解，掌握角平分线的画法是解题的关键．
【详解】解：由作图可知，为的角平分线，
故选：．
2．【答案】C
【知识点】角平分线的性质定理
【分析】根据角平分线的性质求解即可．
【详解】解：过点作于点，如图，
则有的长为点到的距离，
∵，
∴，
∵平分，且，，
∴，
∴点到的距离是 ．
3．【答案】D
【知识点】角平分线的性质定理、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题主要考查了三角形外角定义和性质以及角平分线的定义，由三角形外角性质得：，，再由角平分线定理得，，等量代换得出，根据已知条件，即可得出的度数．
【详解】解：在中，，
在中，，
∵、分别是和的平分线，
∴，，
∴，
∴，
∵
∴，
故选：D．
4．【答案】C
【知识点】角平分线的判定定理
【分析】本题考查了角的平分线的判定定理，根据在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上判定即可．
【详解】如图，根据题意，得,且，根据在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，得到射线就是的平分线

故选C．
5．【答案】A
【知识点】角平分线的判定定理
【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键．
根据角平分线的判定定理“在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上”可推出在的平分线上，即可得到答案．
【详解】解：如图，
，
点在的平分线上．
故选：A
6．【答案】D
【知识点】角平分线性质的实际应用
【分析】此题主要考查了角平分线的性质的实际应用，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在和的角平分线的交点处，即可得出答案．
【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点处，
故选：D．
7．【答案】C
【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)
【分析】由作图可知，平分，可得的边上的高与的边上的高相等，则，即可求解．
【详解】解：由作图可知，平分，
∴点到、的距离相等，即的边上的高与的边上的高相等，
∴，即，
∴．
8．【答案】A
【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用
【分析】对于①，由角平分线的性质可得；对于②③，容易证明，则，，因此，故②③正确；对于④，利用同角的余角相等可证明；对于⑤，由，，结合，即可证明．
【详解】解：对于①：∵平分，
又∵，，
∴，，故①正确；
对于②：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故②正确；
对于③：∵，
∴，
∴平分，故③正确；
对于④：∵，
∴，，
∴，故④正确；
对于⑤：∵，，
又∵，
∴，即，故⑤正确；
综上，正确的结论有个．
9．【答案】角平分线
【知识点】角平分线的判定定理
【分析】根据角平分线的判定可知．
【详解】解：根据角平分线的判定可知：平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线，
故答案为：角平分线．
【点睛】本题考查了角平分线的判定，解题关键是明确在角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
10．【答案】/25度
【知识点】角平分线的有关计算、作角平分线(尺规作图)
【详解】解：由尺规作图可知是的角平分线，
．
11．【答案】
【知识点】角平分线的有关计算、角平分线的性质定理
【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质并表示出是解题的关键；
过点分别作，，垂足分别为点，，根据角平分线的性质得到，表示面积，，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点分别作，，垂足分别为点，，
∵是的角平分线，
∴，
∴，，
∵cm，cm，
∴，
故答案为：．
12．【答案】1
【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)
【分析】根据角平分线的性质进行解答即可．
【详解】解：由题意得：平分，
∴点P到的距离等于点P到的距离，
∵点到直线的距离为1，
∴点到直线的距离为1．
13．【答案】三
【知识点】角平分线性质的实际应用、作角平分线(尺规作图)
【分析】此题考查了三角形角平分线的性质，分别作外角的角平分线，交点分别为，即为所求的点，解题的关键是熟练掌握三角形角平分线的性质及其应用．
【详解】解：如图所示，，即为所求的点，

故答案为：三．
14．【答案】如图所示，射线即为所求，
【知识点】作角平分线(尺规作图)
【分析】根据判定全等三角形的原理，以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点，作射线，交于点，射线即为所求．
【详解】略．
15．【答案】(1)
证明：∵，
∴与均为直角三角形，
在与中，
，
∴，
∴．
(2)
证明：∵，
∴平分，
∵，
∴，，
∴．
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理
【分析】（1）证明，即可证得结论；
（2）根据角平分线的性质，即可证得结论．
【详解】（1）略
（2）略
16．【答案】度假村应该在围成的三角形三条角平分线的交点处．
【知识点】角平分线性质的实际应用
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．
【详解】解：∵度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等，
∴度假村应该在围成的三角形三条角平分线的交点处．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
17．【答案】
【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理
【分析】过点E作于点F，利用角的平分线的性质和判定解答即可．
本题考查了角的平分线的性质和判定，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】解：如解图，过点E作于点F，
∵，平分，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴．
18．【答案】(1)依据1：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
依据2：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
(2)相等
(3)
【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理
【分析】本题主要考查角平分线的性质定理及判定定理，熟练掌握角平分线的性质定理及判定定理是解题的关键．
（1）根据题意可直接进行作答；
（2）结合（1）可得答案；
（3）由（2）可得，然后根据三角形面积公式进行求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，上述证明过程中，
依据1：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
依据2：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；
（2）结合（1）可知，三角形的内心到三角形三边的距离相等．
故答案为：相等；
（3）∵，，，，
∴，
∴
，
即的面积表示为．
答案第1页，共2页
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